Anderson-et-al-2 (1185924), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Теперь мы перейдем к описанию разностных схем, в которых градиент давления входит в качестве неизвестной в систему алгебраических уравнений. В этом случае матрица коэффициентов уравнения уже не является трехдиагональной. В ранних схемах такого типа (НогпЬеск, 1963) для решения системы уравнений использовался обычный метод исключения Гаусса. Впоследствии для этих целей стали применять более эффективные блочные методы 1В!о11пег, 1977; СеЬес1, СЬапа, 1978; Клоп, Р!е(сЬег, 1981).
Метод, предложенный Квоном и Плетчером 1Кчгоп, Р!е(сЬег, 1981), является модификацией обратного метода В, описанного в п. 7.4.3. Для расчета внутренних течсний с отрывными зонами используется приближение Флюгге-Лотц. Опишем изменения, которые необходимо внести в обратный метод В для того, чтобы с его помощью можно было рассчитывать двумерные внутренние течения несжимаемой жидкости в каналах. Предположим, что течение симметрично относительно средней линии канала, расположенной при у = Н72, где у — координата, отсчитываемая от стенки канала, а Н вЂ” его высота.
Для описания течения вос- 475 4 7.5. Методы расчета внутренннх точечна пользуемся уравнениями (7.64) и (7.65). Граничные условия на внешней границе имеют вид (7.99) где оу- = рлдн р,и-~ а — — аит-1 Унт-2' Условия на внешней границе (7.99) можно теперь записать в виде = с~ийт 1 с~и,тт (7. 101 ) ф'„'ет' = т/2Р, (7. 102) где ад ар 4 К с=, се=— 4 — К' " '4 — К' Уравнения (7.101) и (7.102) необходимо решить совместно с уравнениями (7.74), (7.75) и (7.78).
Однако нам нужно получить еще одно дополнительное соотношение, так как для определения пяти неизвестных и"„+', й+' и й+'е, ф'+' ы Х" +' у нас есть пока лишь четыре независимых соотношения (7.101), (7.74), (7.75) и (7.78). Это дополнительное соотношение можно найти, записав уравнение (7.72) для неизвестной и"+' в виде и"+' = Ад„т тине+', + Н'ц е74а+'+ Си . (7.103) где т — расход на единицу ширины канала (в двумерном случае). Конечно-разностные аналоги исходных уравнений имеют вид (7.68) — (7.71), причем, как и ранее, под х"+' подразумевается безразмерный градиент давления — (1/р) 4(р/дх. Различие методов расчета внутренних и внешних течений состоит лишь в способс определения величин х"+' и и"„ по условиям на внешней границе, так как два рассматриваемых случая отличаются лишь этими условиями. Для аппроксимации величины ди/дУ(нтт со втоРым поРЯДком точности воспользУемсЯ оДносторонними разностями, тогда получим 476 Гл.
7. Численные методы решения уравнений пограничного поля Из полученной системы уравнений можно определить т"+', используя обозначения а, = 1 — А~ц / (с/ — свАиг е), а, =(с, — с, А/ ) Н'ц, — с Н / а = (с, — с А'„) Сц/, — сеС~ц ы /Й 2 / / а„=- — — Š— С = р лр лр /ц-/ //г-и Тогда „+, а/ае — а/а/ а,а,— а/ав ' Осевую составляющую скорости на линии симметрии можно теперь найти из соотношения и"+' = — Х"+'+ —. (7.105) /ц а, а, ' Теперь, используя соотношения (7.72) и (7.73), можно провести обратную подстановку и вычислить неизвестные и"+' и ер"+/, двигаясь от внешней границы к стенке.
Остальная часть алгоритма подробно рассмотрена в п. 74.3. Единственное различие между обратным методом В и только что описанным методом расчета внутренних течений состоит в небольшом отличии граничных условий. Вследствие этого приходится слегка изменить алгебраические соотношения, которые используются для нахождения 11о+' и и"+' на этапе, предшествующем обратной подстановке в блочном трехдиагональном алгоритме. Одним из интересных приложений этого метода является расчет ламинариого течения в канале с внезапным симметричным расширением, где вниз по потоку от места расширения канала возникает область возвратно-рециркуляционного течения.
Обычно возникающая в этом случае картина линий тока показана на рис. 7.19. Расчет проведен описанным выше методом решения уравнений пограничного слоя, при этом предполагалось, что перед расширением профиль скорости такой же, как в полностью развитом течении. Здесь Вел — число Рейнольдса, подсчитанное по высоте ступеньки, а Н,(Ня — отношение высот канала до и после расширения. Обычно такие течения рассчитывались на основе полных уравнений Навье — Стокса.
з.о а.о 4.0 г.о х/ь Рис. 7.19. Линии тока, рассчитанные в приближении пограничного слоя [К4чоп, Р1е!сйег, 1981] для ламниарного течения в симметричном канале с внезапным расширением; меа = 50, Н1/Нз = 0.5, 1.О 0.8 0.6 о.г 0.0 а,г -0.4 -0.6 -0.8 -1.0 -0.1 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.1 0,8 0.8 1.0 Ию; Рис. 7.20. Профили скорости прн ламинарном течении и симметричном канале с внезапным расширением, Кеь = 55 (число Рейнольдса вычисляется по и,.), Н,/Нз = 1/3 !Клоп, Р!е1сйег, 199!!; — расчет при помощи уравнений пограничного слоя, — — — — — расчет уравнений Навье — Стокса, проведенный Дерстом и дрл значками обозначены экспериментальные данные Дерста и др. 478 Гл.
7. Численные методы решения уравнений пограничного поля На рис. 7.20 проведено сопоставление рассчитанных этим методом профилей скорости с результатами измерений и расчетов полных уравнений Навье — Стокса в симметричном канале с внезапным расширением. На этом рисунке иь,„— максимальное значение скорости перед расширением 1ступенькой), Оо — высота канала вниз по потоку от места расширения, а рсь — расстояние от стенки до средней линии канала. Символы й, Н, и Н, имеют тот же смысл, что и на предыдущем рисунке. 12.0 10. 0 50 100 150 700 250 300 350 "ен. 1 Рис, 7.21. Рассчитанное расстояние до точки присоединения для ламинарного течения в симметричном канале с внезапным расширением при Н,!Нз = 0,5 1Кгчоп, Р!е1сЬег, 19811; — расчет прн помощи ураннений пограничного слоя; О результаты расчетов Ханга при помощи уравнений Навье — Стокса; П результаты расчетов Морнхары при помощи уравнений Навье — Стокса.
При использовании методов, основанных на решении уравнений пограничного слоя, затраты машинного времени оказываются на порядок меньше, чем при решении полных уравнений Навье — Стокса. В рассматриваемом случае метод, основанный на, решении уравнений пограничного слоя, позволяет получить хорошее согласование рассчитанных н экспериментально измеренных значений. На рис. 7.21 проведено сопоставление рассчитанного расстояния до точки присоединения с результатами расчетов полных уравнений Навье — Стокса. Число Кенг подсчитано по высоте канала до расширения. В целом результаты расчетов уравнений пограничного слоя и Навье — Стокса находятся в хоро- з 7.5.
Методы расчета внутренних тсченвй 479 шем согласии, исключение составляют течения с числами Рейнольдса, меньшими 20, когда наблюдается тенденция к расхождению результатов расчетов уравнений пограничного слоя и Навье — Стокса. 7.5.3. Заключительные замечания В $7.3 были подробно описаны несколько конечно-разностных схем решения уравнений тонкого вязкого слоя, пригодных для расчета обычного пограничного слоя во внешних течениях. Рассматривая здесь методы расчета внутренних течений, мы не повторяли деталей численных методов, общих для внутренних и внешних течений.
Вместо этого основное внимание было уделено тем особенностям, которые характерны для этих течений и являются специфическими именно для внутренних течений. В этом разделе мы ограничились течениями в каналах с прямой осью. Блоттнер !В!о!!пег, 1977] показал, что приближение тонкого вязкого слоя (известное также под названием приближение «узкого канала») может быть распространено и на искривленные двумерные каналы, высота которых меняется.
При этом уравнения пограничного слоя надо записать в форме, учитывающей влияние продольной кривизны [чап Руке, 1969!. Обусловленный кривизной канала нормальный градиент давления определяется по формуле др нриз ~0, дп 1+ нп где и — координата, нормальная к средней линии канала, а х — кривизна средней линии канала. Методы расчета вязко-невязкого взаимодействия можно применять для анализа внутренних течений тогда, когда в потоке существует невязкое ядро.
В большинстве случаев влияние взаимодействия должно быть пренебрежимо мало. Исключения составляют течение на входе в канал при низких числах Рейнольдса и течение в каналах с внезапным изменением площади поперечного сечения. При учете вязко-невязкого взаимодействия происходит передача информации вверх по потоку; следовательно, в этом случае можно ожидать более точных результатов для течений, в которых поле давлений зависит от условий ниже по потоку.
Течение нсвязкой несжимаемой жидкости в каналах обычно рассчитывают, решая уравнение Лапласа для функции тока. Для вязкой подобласти течения в этом случае можно использовать обратный метод В, описанный в п. 7.4.3. Такой комбинированный подход, учитывающий взаимодействие, применялся для расчета течений в канале с обратным уступом.
480 Гл. 7. Численные методы решения уравнения пограничного поля в 7.6. Свободные сдвиговые течения Уравнения тонкого вязкого слоя являются весьма точной математической моделью для многих свободных сдвиговых течений. К ним относятся плоские н осесимметричные струи, как затопленные, так и в спутном потоке, плоские слои смешения и следы за телами. Подавляющее большинство свободных сдвиговых течений, встречающихся в инженерных приложениях, являются турбулентными. В настоящее время модели турбулентности, используемые для описания свободных течений, носят куда менее общий характер, чем модели турбулентности, применяемые для пристенных пограничных слоев.
До сих пор не удалось найти модель турбулентности, которая позволила бы проводить расчет развития плоских и осесимметричиых струй и не требовала бы при этом изменения параметров модели. Полный курс, посвященный расчету свободных сдвиговых течений, должен был бы на 60 оь состоять из описания моделей турбулентности, на 25 7в — из описания физических особенностей различных свободных сдвиговых течений и на 15 7а — из описания численных методов. Численные методы, которым в основном посвящена наша книга, составляют наиболее простую часть задачи точного расчета характеристик свободных сдвиговых турбулентных течений. Круглые струи, которые широко исследовались экспериментально и теоретически, являются достаточно характерным примером свободных сдвиговых течений.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
