Anderson-et-al-2 (1185924), страница 20
Текст из файла (страница 20)
4 7.7. Трехмерные пограничные слои 491 В большинстве случаев необходимые для расчета трехмерного пограничного слоя начальные распределения величин Р, 6, ! (или иь ив, Н, если расчет проводится в непреобразованных криволинейных ортогональных координатах) во второй пересекающейся плоскости можно найти путем решения системы уравнений в частных производных в плоскости симметрии. Формулировку задачи в плоскости симметрии мы обсудим ниже, а пока отметим, что в некоторых случаях такую плоскость выделить не удается '.
В качестве примера укажем на обтекание заостренных вращающихся конусов, рассмотренное в работах [Ртвуег, 1971; Рчгуег, Бапбегз, 1975[. Высказывались различные мнения о том, возможно ли для уравнений трехмерного пограничного слоя решать задачу с начальными данными, заданными лишь в одной плоскости [11п, гчнЬ(п, 1973а[. Оказывается, что при использовании разностных схем с запаздывающей аппроксимацией производных в поперечном направлении [Рчгуег, Запбегз, 1975; К11сЬепз е1 а1., 1975[ задачу удается решить маршевым методом, задав начальные условия лишь в одной плоскости. Такое решение может быть найдено лишь в области, размер которой определяется принципом влияния.
Указанная разностная аппроксимация уравнений и принцип влияния будут приведены в п. 7.7.3. Плоскость симметрии течения на пластине с установленным на ней цилиндром показана на рис. 7.23. При обтекании не- вращающихся осесимметричных тел под углом атаки в потоке обычно существуют две плоскости симметрии: одна из них расположена на наветренной, а другая — на подветренной стороне тела. Для задания начальных условий обычно используют решение, полученное в первой из этих плоскостей.
В плоскости симметрии ег= — = — = — =О. дР дк даб . дг ди дав (7.114) Невязкий поток и свойства жидкости также симметричны относительно плоскости симметрии. Из соотношений (7.114) следует, что уравнение движения в проекции на ось х и уравнение энергии сводятся к двумерным уравнениям. Однако задача остается трехмерной, так как в уравнении неразрывности член с производной в поперечном направлении отличен от нуля.
Раскрыв в уравнении (7.100) член с производной в поперечном направлении и учтя соотношения (7.114), приведем уравнение неразрыв- о Пример расчета течения без плоскости симметрии приведен также в работе [371 в списке дополнительной литературы на стр. 712.— Прим перса 16ч 492 Гл. 7. Численные методы решения уравнений пограничного поля ности к виду где диз/дз диз, еИл Уравнение движения в проекции на ось «(7.112) не позволяет получить какую-либо полезную информацию, так как всюду в плоскости симметрии сг = О.
Однако, дифференцируя это уравнение по г и учитывая условия симметрии, получаем уравнение, из решения которого можно определить требуемую величину бг! — — + У вЂ” + «РЙгКз — Фо (Π— РОг)+ аз дк + газо(Π— Ол)+«ОКз+ д ~( " — ~. (7.116) Вводя обозначение йг"„,= диз„/д«, представим параметры ()о и рзо в виде к дФ'е г хйее, г Азйге г дк ' г'о азиз е Величину %',,г надо найти из решения для невязкого течения. Уравнение (7.116) для сг, имеет тот же общий вид, что исходное уравнение движения в проекции на ось а. Его решение в плоскости симметрии может быть найдено маршем вдоль оси «.
Произвольный параметр йр„по которому обезразмеривается скорость вторичного течения, должен быть выбран так, чтобы исключить возникновение особенности. Выше мы предполагали, что в передней критической точке и в плоскости симметрии 1(ие = из,ез а В остальной части течения Фе = иле. 7.7.3.
Некоторые особенности методов расчета трехмерных течений Решение уравнений трехмерного пограничного слоя связано с рядом довольно сложных моментов, с которыми мы не сталкивались ранее при анализе двумерных течений. Решить уравнения невязкого течения и определить градиент давления, входящий в уравнения пограничного слоя, в трехмерном случае обычно намного труднее, чем в двумерном. Вычисление метрических коэффициентов и получение другой информации, необходимой для расчета течения в криволинейной ортогональной системе ко- з 7.7. Трехмерные пограничные слон 4ЗЗ ординат, связанной с обтекаемым телом, для тел сложной формы также может оказаться непростой задачей.
Модель турбулентности должна носить более общий характер, чтобы с ее помощью можно было определять еще одну составляющую тензора вязких напряжений. При построении конечно-разностных аналогов уравнений особое внимание надо обратить на следующие два момента: (1) необходимо учесть области влияния и зависимости уравнений трехмерного пограничного слоя и (2) разностная аппроксимация производных в поперечном направлении йвласгль влияния яи оеве» ~ з Рис.
7.24. Области зависимости и влияния уравнений трехмерного пограничного слоя. должна позволять получать устойчивое решение при положительной и отрицательной скорости вторичного течения. В плоскости х, я уравнения трехмерного пограничного слоя имеют гиперболический характер, поэтому условие устойчивости их решения во многом похоже на условие Куранта— Фридрихса — Леви (КФЛ), которое подробно обсуждалось нами при анализе методов расчета волнового уравнения. Большую роль в формулировке и интерпретации принципа влияния для трехмерного пограничного слоя сыграли работы [Яае1г, 1957; Пег, мае(х, 1962; Юапй, 1971; К1(с)тепз е( а!., 1975). Так как развитая ими концепция относится одновременно к областям влияния и зависимости, то ее обычно называют принципом влияния.
Для правильного построения разностных схем необходимо уметь определять области зависимости, поэтому именно этому вопросу мы уделим основное внимание. Рассмотрим точку Р, расположенную внутри пограничного слоя (рис. 7.24). Принцип влияния сводится к тому, что вслед- 494 Гл. 7. Численные методы решения уравнений пограничного поля стане диффузии влияние решения в точке Р мгновенно достигает всех точек линии, нормальной к обтекаемой поверхности и проходящей через точку Р (линии АВ на рис.
7.24), а влияние вниз по потоку связано с конвекцией вдоль всех линий тока, проходящих через эту точку. Нормали к обтекаемой поверхности образуют характеристические поверхности, а скорость распространения возмущений в этом направлении бесконечна. Возмущения в любой точке линии АВ передаются мгновенно вдоль всей этой линии и сносятся вниз по потоку всеми линиями тока, проходящими через АВ. Две крайние линии тока, проходящие через АВ, определяют горизонтальный размер клиновидной области влаяния точек линии АВ. Любые возмущения решения на линии АВ могут сказаться лишь в области, ограниченной характеристиками (нормалями к стенке),. проходящими через две эти крайние линии тока.
Обычно одной из крайних линий тока является предельная линия тока, а другой — линия тока невязкого потока. Очевидно, параметры потока на линии АВ определяются тем, что происходит выше по потоку, а область зависимости — характеристиками, проходящими через две крайние линии тока, расположенные вверх по потоку от АВ '>. Возмущения в любой точке этой клиновидной области вверх по потоку могут оказать влияние на течение на линии АВ. Крайними называются линии тока, проходящие через АВ и составляющие максимальный и минимальный угол с плоскостью ха =' сопз( (или з = сопз(). Область зависимости определяет минимальный размер области, в которой необходимо задать начальные данные для определения решения на линии АВ.
Принцип влияния можно сформулировать и для других уравнений в частных производных. Газностный шаблон, используемый для аппроксимации производных на линии АВ, должен учитывать характер области зависимости, т. е. область зависимости разностного'уравнения должна быть не меньше области зависимости исходного уравнения в частных производных. Мы уже показали, что для случая гиперболических уравнений в частных производных это требование приводит к условию КФЛ. Точная количественная формулировка условий, следующих из анализа областей зависимости, определяется используемым шаблоном. Например, если при определении решения на (а+ 1)-м слое производная д6/дз аппроксимируется центральными разностями на а-м слое (шаг Лг постоянен), то из прин- о Эта формулвровка прнппппа влияния не всегда справедлива (см.
(9) в списке дополнительной литературы па стр. 7Г2). — Прим. перев. й 7.7, Трехмерные пограничные слои 495 ципа влияния следуют условия устойчивости Р)0 ! д!дка !<1 (7.117) Неравенство (7.117) эквивалентно требованию о том, чтобы локальный угол между линией тока и плоскостью г =сонэ! лежал внутри угла, тангенс которого определяется параметрами сетки и равняется Ьайх/(Й1Лх). Нам бы хотелось, чтобы условия (7.117) выполнялись на заданном шаге по х, причем шаг Лх определяется параметрами течения на предыдущем слое.
Очевидно, что проводить итерации лишь для того, чтобы определить максимально допустимый шаг невыгодно, поэтому обычно новый шаг по х находят по последним уже вычисленным значениям 6 и Р. При этом для того, чтобы учесть возможное изменение величин 6 и Р на шаге Лх, приходится вводить некоторый коэффициент запаса.
Для определения с помощью неравенства (7.117) величины максимально допустимого шага по маршевой координате, это неравенство необходимо применять во всех внутренних узлах. расположенных в данном слое по х, и только потом устанавливать новый шаг Лх. При расчете течений, в которых знак величины 6 не меняется, можно построить разностные схемы, обеспечивающие автоматическое выполнение накладываемых принципом влияния ограничений. Ниже мы проиллюстрируем это на примере схемы Кранка — Николсона расчета трехмерного пограничного слоя. Для трехмерных пограничных слоев надо проводить и анализ устойчивости разностных схем.
Появление в уравнении движения дополнительной конвективной производной обычно оказывает влияние на устойчивость разностной схемы. Условие устойчивости схемы, вероятно, изменится при переходе от двумерного течения к трехмерному. Анализ устойчивости надо проводить независимо от анализа областей зависимости, что прекрасно показано в работе Китченса и др. [К!!спеца е( а1., 1975]. Для некоторых схем условия, следующие из анализа областей зависимости, совпадают с условиями, полученными из анализа устойчивости разностной схемы методом Неймана. Но так бывает не всегда. Китченс и др.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
