Anderson-et-al-2 (1185924), страница 22
Текст из файла (страница 22)
ф" +! — и"+! — (7.119) да ~Ь» 2оа Так как при последовательном расчете в направлении оси г мы переходим от столбца с номером (и+ 1, 72 — 1) к столбцу с номером (п+ 1,72), то единственной неизвестной в соотношении (7.119) является ~);а»~. Линеаризация получившихся уравнений проводится почти так же, как в случае схемы Кранка — Николсона. Полученные уравнения имеют более компактный вид, так как осреднение проводится по двум точкам, а не по четырем. Например, член уравнения (7.111), помеченный цифрой (2), можно представить в виде ит1!27 и+!Га (Ри 1 Рлт!) (!7и 1 ли+1) Схема зигзаг приводит к системе линейных алгебраических уравнений с трехднагональной матрицей, которую можно решить прогонкой.
Конечно-разностный аналог уравнения неразрывности можно построить путем рассмотрения контрольного объема с центром в точке (а + 1/2, 1 — 1/2, й), как показано на рис. 7.26(Ь). Среднее значение Р на грани контрольного объема, параллельной 7.7. Трехмерные пограничные слои 501 плоскости ц, г, можно найти при помощи осреднения лишь в направлении оси ть так как центр грани совпадает с сеточной линией, на которой А постоянно. Среднее значение 6 на грани, параллельной плоскости х,т(, определяется путем осреднения по схеме зигзаг (или по диагонали).
Проиллюстрируем процедуру осреднения на примере члена д(аО)/дг, входящего в уравнение неразрывности схемы Краузе. Если шаг сетки Ьг постоянен, то л(оО) ~лене = [[(аО) г, «+ г + (аО) г- и «+ ~ + (аО) ~,+~' + (аО) Д' «[— — [(аО)~,«+ (аО)7 и«+ (аО)~ь«-1+ (аО)~+1, « ~))/4бг. (7.121) При использовании схемы зигзаг величина Р определяется из уравнения неразрывности в центре верхней грани контрольного объема (эта грань параллельна плоскости х, г), т.
е. в точке (п + 1/2, 1, /е). В памяти ЭВМ эту величину обычно располагают в элементе массива с номером (и + 1,1,7«), как показано на рис. 7.26(Ь). Схема зигзаг Краузе имеет ту же погрешность аппроксимации, что и схема Кранка — Николсона.
Более подробно схемы Кранка — Николсона и зигзаг описаны в работе Блоттнера и Эллиса [В!о11пег, Е!Из, 1973). Различные модификации схемы зигзаг. Опишем кратко две модификации схемы зигзаг, позволяющие рассчитывать потоки с положительным и отрицательным вторичным течением. Уонг (%апд, 1973) предложил двухшаговый метод второго порядка точности, который не требует линеаризации членов уравнений движения. Как и для любого другого двухшагового метода, начальные условия должны быть заданы в этом случае на двух слоях по маршевой координате. Поэтому один или несколько первых шагов проводят обычно по другой разностной схеме.
Проекция на плоскость х, г шаблона, используемого для построения двухшаговой разностной схемы, показана на рис. 7.27. Заштрихованная область показывает, как и ранее, приближенный размер зоны зависимости такого шаблона. Для нахождения решения необходимо знать значения величин на и-м и (п — 1)-м слоях. Схема является явной и центрированной относительно точки (п,), й).
Производные по х и г аппроксимируются в точке (п,1, )е) центральными разностями. Производные вида д/дт!(адр/дг!) представляются как среднее разностных производных в точках (п + 1, 1, А) и (п — 1, 1, й). Ограничения на шаги разностной сетки, накладываемые принципом влияния, имеют вид 502 Гл. 7. Числеяиые методы решения уравнений пограничного слоя При г') 0 никаких других формальных ограничений на устойчивость нет. Китченс и др. [К11сЬепз е1 а1., 1975] провел сопоставление четырех различных разностных схем расчета трехмерного пограничного слоя.
Он показал, что одна из предложенных схем (схема Р) отличается небольшим ростом .ошибки и удачными условиями устойчивости. Кроме того, результаты, полученные по этой схеме, по-видимому, мало чувствительны к нарушению усло- и пч1 — й-! — ~ Х и п'1 й-1 -~- м п-1 Рис.
7.27. Лвухшаговая схема. Рис. 7.28. Схема 0 1КЦсйепа е1 а1., 19751. вий, накладываемых принципом влияния. На рис. 7.28 показана проекция шаблона, используемого при построении этой схемы, на плоскость х, г. Приближенный размер области зависимости рассматриваемой схемы показан заштрихованной областью Описываемый метод неявный.
Производные по х аппроксимируются в точке (а+ 1/2, 1, я) центральными разностями, но при этом благодаря специальной аппроксимации производных из неустойчивой схемы удается получить устойчивую. При аппроксимации производной дф/дх значение неизвестной в узле (п,/, й) заменяется средним значением величин фг~,а+1 и фг,а-ь следова. тельно, на сетке с равнсгмерным шагом мы получим дФ в! а — ов(ог а 1+ту а — 1) дх Ьх Производные в поперечном направлении г аппроксимируются в точке (п,(,(е) центральными разностями.
Производные вида д/г)т)(арф/дЧ) заменяются средними значениями разностных про- 4 7.7. Трехмерные пограничные слои изводных в узлах (и+ 1, 1', А) и (а, 1, й). Погрешность аппроксимации такой схемы составляет 0(Лх, (Лг)2/Лх, (Лт))2, (Лг)2) [К11сЬепз е1 а1., 1975]. Для этого метода ограничения на шаги разностной сетки, накладываемые принципом влияния, имеют тот же вид, что и для двухшаговой схемы. В рассматриваемом случае ограничения, накладываемые условиями устойчивости и принципом влияния, совпадают.
7.7.4. Примеры расчетов В этом разделе опишем результаты расчетов модельного трехмерного течения, показанного на,рис. 7.23. Расчеты были проведены по схеме зигзаг для случая ламинарного течения несжимаемой жидкости, т. е. решались уравнения (7.110) — (7.112). В последних по г узлах разностной сетки расчеты проводились по схеме Кранка — Николсона, что позволяло избежать необходимости задавать условия на (й + 1)-м слое по г. Результаты расчетов такого течения, проводившихся несколькими исследователями, описаны в ряде работ (укажем, например, на работу Цебеци [СеЬес!, 1975]). В рассматриваемом случае скорость не- вязкого потока определяется соотношениями и,,=и (1+ах — /з, из,— — — 2и а' —,. 2 72 2 Уе У1 71 Здесь и — характерная скорость набегающего потока, 7~ = =(х хо) + я, 72 = — (х — хо) + х, уз =(х хо)х; хо — рас стояние от оси цилиндра до передней кромки пластины, а — радиус цилиндра.
Координаты х и х отсчитываются от передней кромки пластины и линии симметрии соответственно. Полезно выписать выражение для значения величины диз,,/дг в плоскости симметрии: ди ] — 2и аз З,е дн 12-0 (х — хе) Расчеты были проведены для случая и = 30.5 м/с, а = 0.061 м, хо =0.457 м на сетке с шагами Лх = 0.0061 м, Лг) =0.28, Лг= = 0.0061 м. Типичные профили скорости для рассматриваемого течения показаны на рис.
7.29. В частности, заметим, что максимум вторичных течений расположен вблизи стенки на трети толщины пограничного слоя. Зависимость угла поворота потока (в плоскости х, г) от расстояния до стенки показана на рис. 7.30(а). Максимальный скос потока наблюдается вблизи стенки. Направление вектора скорости меняется по нормали к стенке примерно на 13'. Следовательно, в этой точке такой же Ш Гл. 7. Численные методы решения уравнений пограничного слоя угол раскрытия имеет и область зависимости (см. рис. 7.24).
На рис, 7.30(Ъ) показано изменение коэффициента тренин вдоль 8.0 6.0 6.0 т) 4.0 5.0 4.0 2.0 0.0 0.5 1.0 0.0 0.5 1.0 1.5 и /и! из/и (а) (Ь) Рис. 7.29. Профили скорости в трехмерном пограничном слое на пластине с установленным на ней цилиндром при х = 0.219 и, г = 0.079 м. (а) Профиль продольной составляющей скорости; (Ь) профиль поперечной составляющей скорости. 16 и с!. 'в !ч 4 0 2 4 6 0,0 О.1 0.2 0.3 ! Ч л!ш (и) (Ь) Рис.
7.30. Трехмерный пограничный слой иа пластине с установленным на ней цилиндром. (а) Изменение по нормали к поверхности угла между направ- лением потока и плоскостью х, П при х = 0.2!9 м, г = 0.079 м; (Ь) изменение коэффициента трения вдоль плоскости симметряи. оси х. Цилиндр, установленный на пластине, приводит к отрыву потока в плоскости симметрии при х — 0.26 м. Если расчет пограничного слоя проводится традиционными методами, то репге- э 7.7.
Трехмерные пограничные слои ние в плоскости симметрии вниз по потоку от этой точки найти нельзя, так как в ней равны нулю составляющие скорости по обеим осям х и г. В дальнейшем было бы интересно проверить, позволяют ли обратные методы расчета пограничного слоя пройти через особые точки и в трехмерном случае'~.
7.7.6. Заклитчительные аамечання В этой главе мы рассмотрели лишь несколько наиболее характерных схем, которые используются для расчета трехмерных пограничных слоев. На практике используются и другие разностные схемы, некоторые из них описаны в работах [%апй, 1974; К!1сйепз е1 а1., 1975; В!о11пег, 1975Ь). Цебеци [СеЬес1, 1975) обобщил блочный метод Келлера на трехмерный случай. В своей более поздней работе [СеЬес! е1 а1., 1979а) он воспользовался аппроксимацией производных, аналогичной аппроксимации производных в схеме зигзаг, что позволило ему провести расчет течения, в котором поперечная составляющая скорости меняет знак. В настоящее время нет такой разностной схемы, которая была бы лучше других для любых течений.
Для того чтобы эффективно провести расчет во всей области течения, в некоторых случаях используют одновременно несколько разностных схем. Начинать составление программы расчета трехмерного пограничного слоя мы рекомендуем со схемы зигзаг. Имея такую программу, можно пытаться улучшать ее, используя преимущества, которыми обладают другие схемы, приведенные выше. Важным вопросом при описании трехмерных течений является моделирование турбулентности. Большинство расчетов трехмерного пограничного слоя проведено в предположении, что турбулентная вязкость — скаляр, который может быть найден по обобщенной модели пути смешения Прандтля, описанной в гл..5 (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
