Anderson-et-al-2 (1185924), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Для схемы А размер первого шага по маршевой координате выбирается иэ условия Ьх = ри (Ьу)з!2р. Сопоставьте схемы А и В по точности и простоте программирования. Для сравнения численного решения с точным выберите в качестве точного решения автомодельное решение уравнений пограничного слоя, представленное в виде таблицы в монографии Шлихтинга (5сй!!сЫ!пд, 1979!. Вычислите коэффициент трения с! Р (ди/ду) /(ри~~/2) из полученного вами численного решения.
Величину (ди/ду) найдите, построив интерполяциониый полипом второго порядка для прилежащих к стенке узлов. Ограничьтесь проведением 75 шагов в продольном направлении. Проверьте чувствительность метода к величине шага по маршевой координате. Проведите расчеты прн Лх = 15, 25, 46. Для схемы В проверьте, как задание начальных условий влияет на точность полученных результатов. Для этого сначала проведите расчет в продольном направлении, задав в качестве начального условия для уравнения двнженвя о = 0 при х = О, а потом повторите этот расчет, определяя о при х = 0 итерационно (используя уравнение неразрывности). 7.14.
Повторите задачу 7.13 со следующими изменениями: выберите неяв. ную разностную схему н форму записи уравнений пограничного слоя (в физических или преобразованных координатах). В качестве схемы А выберите схему с линеарнзацией методом запаздывающих коэффициентов, а в качестве схемы  — схему с линеарязацией по Ньютону при совместном решении уравнений неразрывности н движении. 7.15. Повторите задачу 7.13, используя уравнения пограничного слоя, записанные в физических или преобразованных координатах.
Пусть далее схема А — любая неявная схема, выбранная вами, а схема  — явная схема (Дюфорта — Франела, «классикнь или явная схема переменных направлений). 7.16. Модифицируйте разностную схему, использованную при решении задач 7.13 — 7.15, так, чтобы она позволила рассчитывать пограничный слой с заданным градиентом давления, Проверьте свою разиостную схему, сравнив 511 Задачя рассчитанные вами профили скорости с автомодельнымн решениями Фолкнера — Скан (см. монографию Шлихтинга [ЗсЫкййп8, 1979)), полученными для потенциального течения с и,(х) = и,х~ (иь т — константы, х — продольная координата).
Проведите сравнение при т = 1/3 и 0.0654. В качестве и, вы можете задать любую удобную вам величину. 7.17. Модифицируйте разностную схему, использованную при решении задач 7.13 — 7.!5, так, чтобы она позволила рассчитывать погранячный слой с вдувом нли отсосом. Проверьте свою разностную схему, сравнив рассчитан'- ные профили скорости с результатами Хартнетта и Эккерта [Наг(пе(1, Ес(гег(, !957), полученными при вдуве и отсосе и заданнымн соотношениями п„,(х) (/ Я~„/и, = 0.25 п — 2.5 соответственно. 7.18. Постройте разностную схему для решения уравнений ламинарного пограничного слоя сзкнмаемой жидкости. Уравнение энергии решайте независимо от «»стальных уравнений. Напишите программу для ЭВМ и рассчитайте число Стэнтона и коэффициент трения для пластины, обтекаемой воздухом, при М, = 4, Т /Т = 2. Зависимость коэффициента вязкости от температуры задайте по формуле Сазерленда (5.40).
Число Прандтля Рг и коэффициент теплопроводности с считайте постоянными (Рг = 0,75, с» = 1 10» Дж/кг К). Сравните результаты расчетов с аналитическими данными ван Дрнста [чап ВНез(, 1952) (данные по теплообмену можно найти в работе Кейза и Крауфорда [Кауз, Сга»ч!огд, 1980)). 7.!9. Модифицируйте разностную схему, использованную при решении задач 7.13 — 7.!5, так, чтобы она позволила рассчитывать турбулентный погра. яичный слой несжимаемой жидкости на пластине. Используйте алгебраическую мод,ель турбулентности, приведенную в гл. 5. Проведите расчет для случая и = 33 м/с, ч = 1.51 10-' мэ/с. Постройте профили скорости, рассчятанпые вами, в координатах «закона стенки» и сравните их с приведенным на рис.
5.7. Сравните рассчитанные значения сг с измеренными Вигхардтом н Тилльмзном [%!е8)загд(, Т(йшапп, 1951). Последние приведены в следуюшей таблице; 7.20. Проверьте соотношение (7.79). 7.21. Найдите конкретный внд членов 1)л/ и /7~ в уравнении (7.94), полученном пРи применении метода Дюфорта — Франкела к расчету внутренних течений. 7.22 Проверьте соотношение (7.97) для полностью неявного метода. 7.23.
Проверьте соотношение (7.100). 7.24. Проверьте соотношение (7.!04). 7,25. Выведите (7.1!6). 612 Гл. 7. Численные методы решения уравнений пограничного слоя 7.26. Напишите конкретный вид уравнений (7.!1О) — (7.112) в декартовой системе координат для случая трехмерного ламинарного пограничного слоя несжимаемой жидкости. Постройте конечно-разностный аналог этих уравнений, используя метод Кранка — Николсона. Поясните, как вы будете проводить линеаризацию разностных уравнений.
7.27. Повторите задачу 7.26 для схемы зигзаг, предложенной Краузе. 7.28. Выберите подходящую неявную разностиую схему расчета уравнений трехмерного ламинарного пограничного слоя в плоскостя симметрии модельного течения, описанного в п. 7.7.4. Сопоставьте рассчитанный козффициент тренин с данными Пебецн [СеЬес!, 1975) и (или) с рис. 7.30(Ь). 7.29. Проведите расчет модельного течения, описанного в п. 7.7.4, по схеме Кранка — Николсона при помощи сетки, описанной в том же разделе. Сравните результаты расчетов с данными Пебеци (СеЬес1, 1975]. 7.30. Напишите разностную схему зигзаг решения уравнений двумерного нестацнонарного пограничного слоя несжимаемой жидкости.
Глава 8 Численные методы решения параболизованных уравнений Навье — Стокса 5 8.1. Введение Уравнениями пограничного слоя можно пользоваться для расчета многих течений вязкой жидкости, как было показано в гл. 7. Имеется, однако, ряд важных задач динамики вязкой жидкости, которые пе могут быть решены при помощи уравнений пограничного слоя. В этих задачах допущения пограничного слоя просто несправедливы.
Например, если имеет место полное слияние вязкого и невязкого потоков, то их нельзя рассчитывать независимо друг от друга, как это делается в теории пограничного слоя. Поэтому приходится решать систему уравнений, справедливую как в невязкой, так й в вязкой областях течения. На рис. 8.1 изображены некоторые поля течений, для описания которых уравнения пограничного слоя непригодны. Гиперзвуковое течение разреженного газа вблизи заостренной входной кромки плоской пластины (рис. 8.1(а)) является классическим примером вязкого потока, который нельзя рассчитывать при помощи уравнений пограничного слоя. Фактически в непосредственной близости от входной кромки газ нельзя даже считать сплошной средой, так что в этой части пбля течения неприменимы и уравнения Навье — Стокса.
В области слившегося слоя, когда газ уже можно рассматривать как сплошную среду, ударная волна и вязкий слой слиты в одно целое и неотличимы друг от друга. Ниже по течению ударный слой можно рассматривать как разрыв и между ним и вязким слоем возникает явно выраженная область невязкого потока. Отсюда начинается область взаимодействия, которая далее делится на области сильного и слабого взаимодействия.
Течение в области слабого взаимодействия по мере продвижения вниз по потоку в конечном счете развивается в классическое прандтлевское погранслойное течение. Очевидно, уравнениями пограничного слоя нельзя пользоваться в области слившихся слоев, так как вязкий слой и ударная волна слиты друг с другом абсолютно неразличимо. В начале области сильного взаимодействия вязкое течение нельзя рассчитывать независимо от невязкого из-за того, что они сильно взаимодействуют друг с з 8.1. Введение (б) Рис. 8.1.
Примеры течений, для описания которых уравнения пограничного слоя неприменимы. (а) Обтекание входной кромки плоской пластины гиперзвуковым потоком разреженного газа; (Ь) слой смешения с сильным поперечным градиентом давления; (с) обтекание затупленного тела сверхзвуковым потоком на больших высотах: (б) течение в двугранном угле. другом. В области слабого взаимодействия уже возможен расчет вязкой и невязкой частей ноля течения независимым образом, но это следует делать путем итераций, как показано в гл.
7. Другими словами, сначала рассчитываются уравнения пограничного слоя с приближенно заданными граничными условиями на внешней границе. Затем можно рассчитать невязкую часть течения с поправкой на толщину вытеснения, что дает новые уточненные условия на внешней границе для следующей итерации в пограничном слое. Эту процедуру можно повторять, пока решение во всей области не будет меняться от итерации к итерации. За исключением случаев очень слабого ' взаимодействия, замечено, что такая итерационная процедура часто менее эффективна, чем решение уравнений, пригодных как для вязкой, так и для невязкой областей поля течения [1)ау)з, ЯнЬ)п, 1980]. На рис. 8.1(Ь) изображено течение в слое смешения, для которого уравнения пограничного слоя (уравнения тонкого сдвигового слоя) неприменимы.
Поперек слоя смешения существует сильный градиент давления. Следовательно, обычные уравнения пограничного слоя (уравнения тонкого сдвигового слоя), содержащие уравнение движения в нормальном направлении в виде (8.1) др/ду = О, 5ГВ Гл. 8. Решение параболнзованных уравнений Навье — Стокса в этом случае непригодны и требуется более полное уравнение движения в нормальном направлении. Другой пример поля течения, которое нельзя описать уравнениями пограничного слоя — сверхзвуковое обтекание затупленного тела на больших высотах (рнс.
8.1(с)). В пространстве между ударной волной и телом (т. е. в ударном слое) существует сильное взаимодействие между пограничным слоем и невязким течением, поэтому для расчета такого течения используют уравнения, пригодные для обеих областей (вязкого и невязкого течений). На рис. 8.1(б) изображено течение в двугранном угле (угле, образованном двумя пересекающимися плоскостями). Это наш последний пример течения, когда уравнения пограничного слоя неприменимы. Как показано в гл. 7, в уравнения пограничного слоя включаются производные только по одной, так называемой нормальной координате.
Вблизи вершины двугранного угла производные, входящие в вязкие члены, по обоим нормальным направлениям будут величинами одного порядка. Такого рода конфигурации часто встречаются, например, в каналах прямоугольного сечения и в местах сочленения крыло — фюзеляж. Очевидно, что полные уравнения Навье — Стокса можно испольэовать для расчета полей течений, изображенных на рис. 8.1, как впрочем и любого другого течения, для которого неприменимы уравнения пограничного слоя. В некоторых случаях только их и можно применять. К сожалению, уравнения Навье — Стокса с трудом поддаются решению, поскольку это сопряжено с большими затратами машинного времени и памяти. Особенно это верно в отношении уравнений Навье— Стокса для сжимаемой жидкости, которые образуют смешанную систему эллиптически-параболических уравнений для стационарных течений и гиперболически-параболических уравнений для нестационарных течений, Обычно даже для расчета стационарного течения применяется зависящая от времени процедура решения, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
