Anderson-et-al-2 (1185924), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Параболизованные уравнения Навье — Стокса 535 дольиой скорости М„, которая равна 1, когда М, = 1, и больше 1, когда М, ) 1 (рис. 8.4). Отсюда следует, что при М„) 1 продольный градиент давления может быть полностью включен в уравнение движения. Однако при М„( 1 только часть этого члена, а именно оздр/дх, следует оставить с тем, чтобы собственные значения оставались вещественными и положительными.
Заметим также, что оз стремится к нулю вблизи 1.2 1.0 0.6 г"(м ) 0.Б 0.4 0.2 0.0 0.2 0.4 О.Б 0.6 1.0 Рис. 8Л. Ограничение на изменение продольного градиента давления в дозвуковых областях потока. стенки, где М„= О. Таким образом, мы видим, что решения параболизованных уравнений Навье — Стокса, полученные маршевым методом по пространственной координате, подвержены неустойчивостям (расходящиеся решения), когда продольный градиент давления полностью сохраняется в дозвуковых 'частях пограничного слоя, так как тем самым вводится в них элемент эллиптичности. Предложены различные способы преодоления этой трудности, и мы их сейчас обсудим. Самый очевидный способ борьбы с неустойчивостью — полностью отбросить градиент давления в дозвуковых зонах.
Это даст устойчивую маршевую схему, но и приведет к ошибкам для полей течений с большими продольными градиентами давления. Следует, однако, заметить, что вариации давления в про- Яб Гл. а. Решение параболнзованных уравнений Навье — Стокса др рс — р дх ох (8.53) т. е. это есть разность назад первого порядка. Лубард и Хеллиуэлл [ЕиЬагб, Не1!(чте11, 1973] исследовали устойчивость (расходимость), используя разности назад для продольного градиента давления в уравнениях движения и энергии, Они применили неявную разностную схему и показали при помощи анализа устойчивости по Фурье, что неустойчивость будет иметь место, если (8.54) бх ( ((ах)ннн. Это условие устойчивости очень необычно, так как обыкновенно из анализа устойчивости по Фурье вытекает, что неустойчивость будет иметь место, если Лх больше некоторого (Ьх) Когда такой анализ был произведен для двумерных параболизованных уравнений Навье — Стокса (8.48) — (8.49), то оказалось, что Ъ (Ри/И) [((/М',) — ) 1 (ДР)' (Пх)шин т в!па(8/2) (8.55) дольном направлении будут по-прежнему сказываться на численном решении в случае, если давление определяется из уравнения движения по координате у и уравнения энергии.
Альтернативный подход состоит в задании изменения продольного градиента давления. Очевидно„приравнивание нулю градиента давления — один из путей того, как это можно осуществить. Если продольный градиент давления определен, его можно исключить из матриц [А1] и [Аа]~ в уравнениях (8.44) и (8.48) и рассматривать как источниковый член в задаче нахождения собственных значений. Следовательно, продольный градиент давления уже не будет влиять на математическую природу уравнений.
При решении уравнений пограничного слоя продольный градиент давления обычно известен из расчета внешнего течения невязкой жидкости или в случае внутренних течений определяется из закона сохранения массы. К сожалению, при решении параболизованных уравнений Навье — Стокса продольный градиент давления заранее неизвестен и должен вычисляться в процессе решения. В некоторых работах продольный градиент давления был сохранен и в дозвуковых зонах и аппроксимировался разностями назад, которые рассчитываются с использованием информации с предыдущего слоя по маршевой координате. Например, когда рассчитывается решение на слое (+ 1, производная др/дх представляется в виде 5 8.3.
Параоолиаованные уравнения Навье — Стокса 537 ди др ду дре — + — + — = — — ", дх дх ду ду (8.56) где р — волновое число (!е <!<у). Лубард и Хеллиуэлл показали также, что если продольный градиент давления аппроксимировать на неявном слое, как и все остальные члены параболизованных уравнений, то минимальный допустимый шаг (<ьх) удваивается. Чтобы объяснить столь необычное условие устойчивости, Рубин [КиЫп, 1981] высказал предположение, что (Лх) <„ является размером области передачи эллиптического взаимодействия вверх по потоку.
Если (Ьх) ) (Лх) <„то это взаимодействие как бы «не замечается» н маршевая процедура устойчива. В противном случае, если (Лх) ( (Лх) <„, численное решение пытается учесть это эллиптическое взаимодействие, что ведет к расходящимся решениям, поскольку передача влияния вверх по потоку в маршевой процедуре запрещена. Рубин и Лин [КиЫп, 1.!п, 1980] показали, что размер области эллиптического взаимодействия имеет порядок толщины дозвуковой зоны. Поэтому если дозвуковая зона сравнительно большая, то минимальная допустимая величина Ьх может быть слишком велика для осуществления точных (или устойчивых) вычислений.
Другой метод учета градиента давления в продольном направлении называется приближением подслоя. Первыми его предложили Рубин и Лин [КцЬ!и, Ып, 197!], а позже он был применен для параболизованных уравнений Навье — Стокса Шиффом и Стегером [БсЫ11, 8!едег, 1979]. В приближении подслоя градиент давления в вязкой дозвуковой области вычисляется в точке вне подслоя, в которой скорость сверхзвуковая. Такое приближение основано на том, что в тонком дозвуковом вязком подслое др/ду пренебрежимо мало. Так как градиент давления задается в дозвуковой зоне, то маршевый по пространственной координате метод даст, видимо, устойчивое решение. Однако, как наблюдали Шифф и Стегер, в некоторых случаях возможны все же расходящиеся решения.
Они могут быть обусловлены взаимодействием через давление сверхзвуковых и дозвуковых областей, которое описывается нормальным уравнением движения и уравнением энергии. Новый метод учета продольного градиента давления предложили Виньерон и др. [%дпегоп е! а!., 1978а]. В этом подходе в дозвуковой вязкой зоне часть продольного градиента давления от(др/дх) в уравнении сохраняется, а остальная (1 — <о)(др/дх) либо опускается, либо рассчитывается на явном слое при помощи разностей назад или приближения подслоя. Уравнение (8.41) переписывается в виде.
838 Гл. 8. Решение иараоолизоваиных уравнений Навьи — Стокса где 0 (1 — ш) р 0 (8.57) 0 и Е, Р и Р„определяются уравнениями (8.42). Параметр ш вычисляется по уравнению (8.47) с некоторым коэффициентом запаса сс ауМа !+(у — !)М' ' Виньерон и др. [Н(дпегоп е1 а!., 1978Ь[ для анализа устойчивости использовали метод Фурье. Для уравнения (8.56) с опущенным членом дР/ду они применили простую неявную схему (неявную схему Эйлера), а производная др/дх аппроксимировалась разностью назад.
Как и ожидалось, они обнаружили, что если рассчитываемый на явном слое градиент давления опущен, то маршевый по пространственной координате метод будет всегда давать устойчивое решение, так как уравнения остаются гиперболически-параболическими. Если этот член остается, то возникает неустойчивость, когда бх меньше некоторого (Лх) Оказалось, что при ш = 0 (йх) ш задается зависимостью (8.55), что подтверждает результаты более ранних работ Лубарда и Хеллиуэлла. Существуют и другие способы представления продольного градиента давления [Ып, КнЬ(п, 1979; Вппде1п е! а1., 1980; Уапеп1со е! а!., 1980).
Во многих задачах механики жидкости эллиптические. эффекты передачи влияния вверх по потоку сравнительно малы и в упомянутых выше методах удается предотвратить возникновение неустойчивостей, причем довольно точное решение получается за одно-единственное прохождение поля течения. В других задачах, в которых влияние распространения возмущений вверх по потоку велико (из-за отрыва, наличия следа или ударной волны и т.
п.), эти методы оказываются несостоятельными. В результате возникает неустойчивость или предпринимаемые для ее подавления меры приводят к большим ошибкам. В этих случаях можно использовать процедуру глобальной релаксации ло давлению [КпЬ!и, Ь!и, 1980[. В ней сначала задается некоторое распределение давления во всем поле течения для определения градиента давления в каждой точке. Начальное распределение давления можно получить, либо полагая предельный градиент давления равным нулю, либо применяя з 8.3.
Параболизованные уравнения Навье — Стокса 539 метод Виньерона с дР/дх = О, либо беря достаточно большие Лх. Зная градиент давления, параболизованные уравнения Навье — Стокса можно решить с помощью устойчивой конечноразностной маршевой процедуры при условии, что градиент давления аппроксимируется надлежащим образом. Это решение дает новое распределение давления, которое можно использовать для расчета градиента давления, необходимого при следующем прохождении расчетной области. Такая итерационная процедура продолжается до получения сходимости. Для адекватного моделирования эллиптического характера поля течения градиент давления должен влиять на течение вверх по потоку.
Этого можно добиться, аппроксимируя его разностями вперед, т. е. когда вычисляется решение на слое 1 + 1, градиент давления представляют в дискретном виде (8.59) дл ав Такого рода дискретизация возможна только при использовании глобальной релаксационной процедуры по давлению, так как обычно йч+2 нам неизвестно. Губин и Лин исследовали устойчивость, когда др/дх аппроксимируется разностью вперед, и показали, что имеет место безусловная устойчивость.
Однако мы приближаемся к границе устойчивости, когда дозвуковые области становятся очень большими. Глобальная релаксационная процедура по давлению представляется многообещающей для задач, в которых влияние вверх по потоку существенно. Однако следует помнить, что эта процедура требует значительно больших затрат машинного времени, нежели типичные расчеты параболизованных уравнений Навье — Стокса с одним прохождением поля течения. В некоторых случаях затраты машинного времени сравнимы с теми, которые требуются для расчета полных уравнений Навье— Стокса. Следовательно, для этих задач параболизованные уравнения Навье — Стокса уже не обладают никакими преимуществами по сравнению с полными уравнениями Навье — Стокса.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
