Anderson-et-al-2 (1185924), страница 30
Текст из файла (страница 30)
(8.88) Левая часть уравнения (8.86) приближенно факторизуется таким образом: =Правая часть уравнения (8.86). (8.89) Точность этого факторизованного выражения можно определить, выполняя перемножение и сравнивая результат с левой $8,3, Пврвболнзоввнные урввнення Нввье — Стокса 547 частью уравнения (8.86). Проделав это, получим Х 8 ( У вЂ” — „" ) ) Ь'13 = Правая часть уравнения(8.86), (8.90) так что Левая часть уравнения (8.89)= =Левая часть уравнения (8.86)+ 01(Ьх)в). (8.91) Следовательно, приближенная факторизация не влияет на формальную точность конечно-разностного алгоритма.
Частные производные д/ду и д/дг в уравнении (8.89) аппроксимируются центральными разностями второго порядка точности. Например, невязкий член дискретнзируется как ((уи,/УУ)' а'01,„, — ) (ур,/аУ)' а'У1,, 2 ау а каждый элемент вязкого члена (8.92) (а л (ВЛ'(/~)~, имеющий нид дискретизируется как (а т(о(Ва'Ут)IМЪ+ив (а (то(Ва~Ут)/8У1 ))-пв ау а„„, ЯЫУ,)„, — (Ва|У,),'( — а, „,((Ва'У,), — (Ва'У,), ,1 (ау)в (аз+ а~ял) 1(Во У~)~ ~ — (ВА У~)Д вЂ” (а + а~,) ((Ва'У~) — (ВЬ Ут)~ 2 (Ьу) (8.93) Задаваемый уравнением (8.89) алгоритм реализуется следующим образом: 848 Гл. 8.
Решение параболнаованиых уравнений Навье — Стокса Шаг 1 = Правая часть уравнения (8.86). (8.94) Шаг 2 (8.95) Шаг 3 Шаг 4 а]г+' = Ю + Л%. (8.97) На шаге 1 из решения системы уравнений (8.94) определяется векторная величина ЬгП!. Эта система уравнений имеет блочную трехдиагональную струк- туру где [А], [В] и [С] — матрицы размером 5 Х 5, [/хг[)г] и [КНЯ] — вектор-столбцы, элементы которых суть компоненты векторов Лг()! и правой части уравнения (8.86).
Эту систему можно решать, используя процедуру, описанную в приложении В. Определив Ьг].]!, на шаге 2 этот вектор-столбец умножают на (дЕ'/д[])г, что позволяет избежать в процессе решения необходимости вычисления обратной матрицы [(дЕ'/д0) '] — '. На шаге 3 блочная трехдиагональная система решается по направлению в. Наконец, на шаге 4 вектор неизвестных в слое (+ 1 (т.
е. О'+!) определяют просто добавлением Л!а] к вектору [в,) [с,] ---о ! [Аг1 [Вг1 [Сг1 ! ! ! [А,] [в ] [с] ! ! ! ! ! ! ! [Ак-г] !Вк-г] [Ск-г] о- — [Ак] [В ] к [лги,], [а гуг] г [а!и!]г ! ! ! ! ! [о ог]к-! [а'и,]к [КНЗ], [ННЗ]г [ННЗ]г ! ! ! ! [ннз]к-! [КНЗ]к (8.98) в 8.3. Параболнаованвые уравнения Навье — Стокса 549 неизвестных в слое с1 Затем можно из 1)с+! найти примитивные переменные: ,с+! усе! 1Сс+1 и с+ ! ус-ь ! ! уИ! п'+' =— и"+' ' ! и!+! с+! с и"' ' ! ГСс+! (нс+!)а 1 (осе!)а 1 (мс+!)а е с+! а и+' ! 2 (8.99) В алгоритмах такого типа для подавления высокочастотных осцилляций часто приходится добавлять сглаживание. Это легко осуществляется добавлением к правой части уравнения (8.86) на явном слое диссипативного члена четвертого порядка (8.100) Шифф и Стегер [ЯсЫ11, 8(епег, 1979[ разработали неитерационный неявный алгоритм, аналогичный только что описанному.
В этом алгоритме, а также в алгоритме, разработанном Виньероном и др. [Ч)дпегоп е1 а!., !978), решение получают при помощи вычислительных плоскостей (т. е. поверхностей, на которых определяют решение), нормальных к оси тела. Большинство конфигураций могут быть рассчитаны подобным образом. Однако в случае тел, поверхность которых сильно наклонена по отношению к набегающему потоку, осевая компонента На формальную точность алгоритма добавление члена четвертого порядка малости не влияет. Отрицательный знак перед ним необходим для того, чтобы демпфирование было положительным [см.
уравнение (4.21)]. Для устойчивости сглаживающий коэффициент е, должен быть меньше 1/16. Члены с четвертыми производными рассчитываются по следующим конечноразностным выражениям: (Лд) д, (и') и~с~, — 4и~с~с, +ба!, — 4иС с, + ВС-а,а, (ба) д, (1) ) = ыс, «+а — 41)с, а+ ! + Щ, а — 4ыс, а-! + Ис, а а 4 д с . с с с 850 Гл. 8. Решение параболиаованных уравнений Навес — Стокса скорости в невязкой области может стать дозвуковой, что делает дальнейшие вычисления невозможными. Чтобы обойти эту трудность, было предложено [Таппе!т!11 е! а!., 1982] использовать описанную выше разностную схему для параболизованных уравнений Навье — Стокса, записанных в неортогональных координатах общего вида (8.37) — (8:39) ). В результате ориентация каждой поверхности решения ($ = сопи!) в достаточной степени остается произвольной, так что она может быть выбрана наиболее подходящим для данной задачи образом. Обычно оптимальная ориентация достигается тогда, когда эта поверхность почти перпендикулярна местному направлению потока.
Аналогичным образом для достижения оптимальной ориентации вычислительных плоскостей в метод Лубарда — Хеллиуэлла была введена неортогональная система координат [Не1!!оте!! е! а!., 1980!. Были предложены и другие неявные алгоритмы решения параболизованных уравнений Навье — Стокса, использующие соответствующим образом расщепленную неявную линеаризованную блочную (1.В1) схему [Мс1топа!б, ВП!еу, 1975; Вг1!еу, Мс0опа!д, 1980! и неявную факторизованную схему с итерациями [! 1, 198Ц. Неявная линеаризованная блочная схема Макдональда и Брайли имеет такую же структуру, что и схема Бима — Уорминга в дельта-форме. 9 8.4.
Методы решения параболизованных и частично параболизованных уравнений Навье — Стокса для дозвуковых течений В предыдущих разделах рассматривались течения, которые являются сверхзвуковыми в большей части рассматриваемой области.
В данном параграфе мы обсудим два подхода, используемых для дозвуковых течений. В обоих рассматриваются параболизованные уравнения Навье — Стокса н отличаются они только тем, как в них рассчитывается давление. 8.4Л. Параболические процедуры дли трехмерных внутренних течений Этот подход применяют для внутренних течений, в которых можно выделить преобладающее направление. Компонента скорости в этом основном направлении должна быть положительной, т.
е. обратное течение в направлении основного потока запрещено, На компоненты скорости вторичного течения ограничений нет. Как и для всех форм параболизованных уравнений Навье — Стокса, диффузией в продольном направлении пренебрегают. э 8.4. Методы решения уравнений Навье — Стокса для доавук, течений 881 Прежде чем продолжить наше рассмотрение, заметим, что параболизованные уравнения Навье — Стокса будут допускать для дозвуковых течений передачу влияния в продольном направлении через градиент давления, о чем шла речь в п. 8.3.2. В настоящем подходе эллиптический характер поведения в продольном направлении подавляется применением аппроксимации, которая впервые была предложена в работе [Позшап, Бра!б!пп', 1971).
Этот подход удобно рассмотреть на примере прямого канала прямоугольного сечения. Тогда уравнения сохранения могут быть записаны в декартовой системе координат. Аналогичным образом рассматриваются течения в искривленных каналах с постоянным поперечным сечением, но при этом должна быть использована другая система координат. Брили и Макдональд [ВН!еу, Меропа!б, !979) распространили трехмерную параболическую модель течения на случай более общей геометрии. Пусть ось канала совпадает с направлением оси х.
Тогда координатные плоскости (у, х) перпендикулярны направлению основного течения. Запишем уравнения в виде, пригодном как для ламинарных, так и для турбулентных течений. Переменные будем считать величинами, осредненными по времени. Аналогичным образом мы поступали в гл. 7. При выборе параболизованных уравнений Рейнольдса ламинарной и турбулентной диффузией в продольном направлении будем пренебрегать.
Более того, поскольку мы рассматриваем только дозвуковые задачи, то будем считать, что р'и'/рй, р'о'/рб и р'м'/ргв столь малы, что нет различия между величинами, осредненными обычным способом и с использованием плотности в качестве весовой функции. Членами с флуктуациями давления в уравнении энергии также будем пренебрегать. Символами т и д будем обозначать напряжения н тепловые потоки соответственно как молекулярного, так и турбулентного происхождения.
За исключением членов с градиентами давления, уравнения трехмерной параболической процедуры выводятся из уравнений (5,68), (5,73) и (5.84). После упрощающих допущений они выглядят так; Уравнение неразрывности — + — + — =О, дри дро дрш дх ду дн риаА=сопз1 (полный расход газа), (8.102Ь) Уравнение движения ло координате х ди ди ди дд дехи дтха ра — + ро — + ргв — = — — + — "" + — "' . (8.103) дх ду дн Вх ду дх ббя Гл. 8. Решение иараболиаоаанных ураанеиий Нааье — Стокса Уравнение движения по координате у до до до др дт„„ дт„а ри — + ро — + ри — = — — + — "" + — "' .
дх ду дх ду ду дх (8.104) Уравнение движения по координате г дш 'дш дш др [дт у дт ри — +ро — +рш — = — — + — *" + — ~. дх ду дг дг ду дх (8.105) Уравнение энергии дТ дТ дТ д д РисР д + Роса д +Ри'сл д = д ( Чд) + д ( Ч*)+ +[17'и д +т „д +т (8.106) Уравнение состояния р=р(р, т). (8. 107) В аппроксимации давления по Госману и Сполдингу [бозгпап, Зра!61пя, 1971[ давление д определяется только при помощи уравнения движения по координате х, причем считают, что оно изменяется только по направлению х. Давление д будет найдено по заданному полному расходу массы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
