Anderson-et-al-2 (1185924), страница 34
Текст из файла (страница 34)
8. Решение параболнаованнык уравнений Навье — Стокса Член оди/ду аппроксимируется по гибридной схеме: ди кл+' ) . Ол+' (Иль! — ил+' ) + ( — ) 1,( .—, ) Лр' д ~ +' +' вь ' Л++Л У,+ь! ) ил+ — ил+ Л бл+! !+! I+! !+! ! Р (Р' '+' Г+! Лр' Лр+ + Лр ' ил+1 ил+! + б +' + ' +'! (1 — 1Р') А+ !!-! ! р лт! л+! + л + ! ! ! ! + ! ! + ! ! ( 1 1 ) В !+!, /+1 (8. 124) Величины В', А и В определяются следующим образом.
Пусть л+! л+! Йе+ = а„, (,!Лр б„, (Лд Йе ~В т ш т Йе, — критическое сеточное число Гейнольдса, равно 1.9 (см. п. 7.3.3)л Когда Йе+ ) Йе„В'=Йе,/Йе'", А=1, В=О. Когда Йе+ < — Йе„)й = Йе,/Йе, А =О, В=1. Когда Йе <Йе,<Йе+, Я7=1, А=О, В=О. ( — '„„=, дт л+! З, л+! л-!-! ( и!+!, !.н и!+!, ! .,) ил+! л+! и!+!, / и!+!, г-! Лр- (8.125) Производная давления в уравнении движения в продольном направлении аппроксимируется в виде ар ~" ' р"„,, — р",„,, ал ~!+!, Лв+ (8.126) что обеспечивает влияние на и",+,' ! давления из точки, расположенной ниже по потоку. Таким образом, зта схема представляет собой взвешенное среднее центральных разностей и разностей вверх по потоку при умеренных и больших сеточных числах Рейнольдса и вырождается в схему с центральными разностями при малых сеточных числах Гейнольдса.
Вторая производная дискретизируется следующим образом: 5 8А. Методы решения уравнений Навье — Стокса дая доавук. течений 567 Уравнение движения по координате у дискретизируется аналогичным образом. Так как используется сетка с расположением узлов в шахматном порядке, то о,"+,' т вычисляют не в тех же самых точках, что и и,"+,' .
Расчет коэффициентов в разностном уравнении движения по координате у должен производиться с учетом этого. Так, например, при аппроксимации члена идо/дх коэффициент должен рассчитываться как среднее и двух / слоев. При аппроксимации производной давления используются значения давления по обе стороны от точки, где вычисляют величину и с ч ар р+,, — р+...
ду с+1 т Ьу (8.127) а(и,+и,) а(,+о,) (8.128) где и. и о,— поправки к компонентам скорости, ир и о' — пред- варительные значения компонент скорости, полученные из урав- нений движения в сечении 1+ 1. Определим потенциал ф: дФ о с ау дФ и = —, » (8.129) тогда д»Ф д»Ф двр дор р р дх» ду» дх ду (8.130) При решении уравнений движения используют наилучшую оценку поля давления. Подробности того, как ее получают, будут даны ниже.
При заданном давлении уравнения движения являются параболическими и решаются раздельно — уравнение движения по оси х для й++,' ~ и уравнение движения по оси у для о,"++,' . Для неизвестных в сечении 1+ 1 имеем трехдиагоиальную систему алгебраических уравнений, которую можно решить методом прогонки.
Как отмечалось при обсуждении трехмерной параболической'процедуры, решение для компонент скорости не будет удовлетворять уравнению неразрывности, пока мы не определим правильное поле давления. Поэтому компоненты скорости, полученные из решения уравнений движения, являются предварительными. Полагают, что поправки к скорости выражаются через потенциал ф таким образом, что подправленные компоненты скорости удовлетворяют уравнению неразрывности, т, е.
868 Гл. 8. Решение параболиааванных уравнений Навье — Стокса Соответствующее разностное уравнение имеет вид '11+2. / ~1+1. / ~1+1, / ат, / ал + Г 221+1,/+! Ф/+1. ! 111-Ь1. ! 1+1, 1-1 ау+ ( оу (и ),, — (и ), (в„),, — (вр), 2 + (Яв), (8.131) Такое алгебраическое уравнение можно выписать для потен- циала в каждой точке сетки поперек потока: 1 = 2, 3, ..., 11/У, где / = 2 есть первая точка ф сетки сразу над нижней границей, а / = й/У есть точка ф сразу под верхней границей. Таким обра- зом, мы имеем трехдиагональную систему уравнений для неиз- вестных функций ф/+1,/, если фс; и ф/+2,/ известны. Чтобы вы- числить фс; и ф;+2, ь делают следующие допущения: (а) ф;; = ф;+1, ь означающее, что поправки к скорости равны нулю в сечении 1, в котором сохранение массы уже обеспечено.
(ь) ф;+2,/=О, означающее, что (о,);+2,; равно нулю, как должно быть, когда достигается сходимость. Любое другое до- пущение относительно ф/+2, ! будет несовместимо с требованиями сходимости. Граничные условия, необходимые для решения трех- диагональной системы относительно ф;+1, !, выбираются так, чтобы они были совместимы с заданными граничными усло- виями для скорости. Например, если скорость задается на верх- ней и нижней границах, то о, будет равно нулю на этих гра- ницах. Тогда граничными условиями для ф;+1,/ будут ф/+1,1= =ф/+1,2 И ф/+, И/ — — фЬЬ1 И/+1. После того как феь1, ! найдены, опРеделЯем попРавки к ско- рости при помощн разностных аппроксимаций выражений (8.129), а именно И/+1. ! И/+1, ! О/+1, /-1 Р)1+1, / д у Теперь скорректированные скорости удовлетворяют уравнению неразрывности в каждой точке сечения 1+ 1, но не удовлетворяют точно уравнениям движения, пока не будет достигнута сходимость.
Между двумя глобальными итерациями поле давления обновляется' путем решения уравнения Пуассона для давления 5 8.4. Методы решения уравнений Навье — Стокса для дозвук. течений 589 методом последовательной верхней релаксации по точкам. При этом уравнение Пуассона получают из уравнений движения; т. е. можно записать др т ди ди дтн Х вЂ” = — р 1ьи — + о — — т — ) =61, дх ь дх ду дут ) др / до ди дао х — = — р 1ьи — + о — — и — ) = 62. ду ~ дх ду дух) При дискретизации приведенных выше уравнений величины 61, 62 вычисляются в центре отрезка между точками, которые используются для аппроксимации производных давления, стоящих в левой части.
Следовательно, точки 61 совпадают с точками и, а 62 — с точками о. Тогда дтр дар д61 д02 (8.132) где 61 и 62 вычисляются с использованием скоррскгированных скоростей, удовлетворяющих уравнению неразрывности. Это порождает поле давления, которое вынуждает в конце концов решения уравнений движения сходиться при локальном сохранении массы. Источниковые члены 5 рассчитываются и хранятся в памяти ЭВМ во время всей глобальной итерации. Обычно делается одно уточнение поля давления методом последовательной верхней релаксации во время прохождения поля течения сверху вниз. Нетрудно обновить давление релаксацией по одной линии, прежде чем переходить к определению скорости в следующем сечении по й Еще несколько уточнений методом последовательной верхней релаксации делают в конце глобальной итерации, К хорошим результатам приводит использование параметра верхней релаксации, равного 1.7.
Однако источниковый член обычно уточняется методом нижней релаксации с параметром 0.2 — 0.65, а на первых глобальных итерациях даже с еще меньшим параметром. Все граничные условия для уравнения Пуассона для давления являются граничными условиями Неймана, которые получаются из уравнений движения. В соответствии с теоремой Гаусса имеем ~ ~ Я е1хйу= ~ — 4!С, где С вЂ” граница области течения и др/дп — задаваемое на ней граничное условие Неймана. Для сходимости процедуры решения уравнения Пуассона необходимо удовлетворить разностному эквиваленту этого равенства. На сетке с расположением узлов в шахматном порядке это дела!от, связав давление в гранпч- 670 Гл 8. Решение параболизоианных уравнений Нааье — Стокса ных р-точках с давлением внутри области через заданные на границе производные уравнением, в которое неявным образом входит номер итерации метода последовательной верхней релаксации по точкам.
Такой прием полностью устраняет зависимость от заданного на границе давления [М!уакоба, 1962) при решении уравнения Пуассона для давления. Когда дискретизация 5„ обладает свойством консервативности, итерационный процесс будет сходиться. Дискретизация уравнения (8.132) в р-точке, смежной с нижней границей и лежащей внутри области, иллюстрирует такое задание граничных условий: х й и й-1-1 й+1 ь Рг.ьг,г Р1+1,2 Р1+1,2 Р1,2 + Ьх„ах+ Ьх и+1 й+! и+1 й+1 + Р еь з Р1+!л Р1+1, г — Р +1,1 'ЬУ„+ 1. ЬУ+ ЬУО!1», - "О!1, 2 ОХ1, З ОХ1, 2 Ьхи Ьуа (8.133) где величины давления на текущей итерации входят в неявном виде.
Теперь можно исключить из уравнения Пуассона давление р«++!! ! в фиктивной точке под нижнем границей, подставляя уравнение (8.134) в (8.133). Это дает ««» й+! й+1Ь ! Х й» й+! ! Р1+2, 2 Р1+1, 2 Р!.1.1, 2 Р!, 2 Р1+1 3 Р1+1, 2 Ьх„ Ьх+ )+.,:~ Ьх„ ЬУа Рассмотрение дискретизации 5 подтверждает, что требование, вытекающее из теоремы Гаусса, в случае нашей процедуры удовлетворяется.
При вычислении ~~ Я Ихс(у остаются только члены со значениями 61 и 62 на границах, остальные 6 уничто- Здесь й — номер итерации в процедурс последовательной верхней релаксации решения уравнения Пуассона, и+ 1 обозначает текущую итерацию. Граничное условие для уравнения Пуассона на нижней границе берут таким: (др/ду) = 62, т. е. производная давления на границе оценивается по уравнению движения. Дискретизируют его следующим образом: й«1 й+1 Угу!,2 Р1-21. ! (8.134) ЬУ- $ 8.4.
Методы решении уравнений Навье — Стокса дни доавук. течений 871 жаются. Эти 61 и 62 на границах в точности равны ~ (др1дп) ИС, когда граничные условия выражаются через 61 и 62, как это видно из уравнений (8.134) и (8.135). Подытожим кратко основные этапы процедуры решения частично параболизованных уравнений Навье — Стокса. 1. Из решения уравнения движения получают первое приближение профилей скорости в сечении 1+ 1, используя для этого определенное некоторым образом начальное поле давления. Для первой глобальной итерации это начальное поле давления можно получить при следующих предположениях: (а) др/дх= — рве(т(и./г(х) и др/ду=О нли (Ь) др/ду=О; а также при использовании метода секущих для определения др/дх (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
