Anderson-et-al-2 (1185924), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Аналогично получается другая система уравнений путем приведения к безразмерному виду уравнений Навье — Стокса с переменными порядка единицы в невязкой части поля течения. В обеих системах сохраняются члены вплоть до второго порядка по параметру е: 676 Гл. 8. Решение параболизоваииых уравнений Навье — Стокса Уравнение энергии ° / и' дТ', дТ' Ч и' др' ° др' е' (т')' + ((+К ')(г'+ ' ф) д ' Р+К Ч')(г +Ч сов~) р ар'1' (8.141) Эти уравнения были обезразмерены следующим образом: Ч г попе попе лове позе и, и, Т й= —, й= —, Т= —, (8.142) ° Р вв Нее~ В предположении тонкого ударного слоя нормальное уравнение движения сводится к уравнению движения по координате Ч в приближении тонкого ударного слоя др' К*р" (и')в (8.143) дЧ !+ КЧ Приведенные выше уравнения легко можно переписать для декартовой системы координат в двух измерениях, полагая не=О, К'=О, х'=$', у'=т)'.
(8.144) Записанные в декартовой системе координат уравнения вязкого ударного слоя можно сравнить с параболизованными уравнениями Навье — Стокса [уравнения (8.29) — (8.33) ) . Оказывается, что уравнения неразрывности и движения по координате х в этом случае совпадают, а уравнения движения по координате у и уравнение энергии вязкого ударного слоя проще соответствующих параболизованных уравнений Навье — Стокса. В методе решения, который впервые предложил Дэвис, переменные в уравнениях вязкого ударного слоя относят к параметрам потока за ударной волной. Это позволяет использовать одну и ту же сетку в направлении, нормальном к поверхности тела, для всего поля течения вокруг тела.
Используя приближение тонкого слоя, рассчитывают начальное приближение. В этом приближении уравнения вязкого ударного слоя являются полностью параболическими, что позволяет применять стандартные алгоритмы решения уравнений пограничного слоя. В последующих глобальных итерациях используется уже полное уравнение движения по нормальному направлению. К тому же па первой глобальной итерации считают, что ударная волна э 83. Уравнения вязкого ударного слоя является концентрической.
Такое допущение возможно, так как рассматривались только тела в форме гиперболоида из-за трудностей, обусловленных разрывом кривизны в случае конфигураций типа сфера — конус. На второй итерации угол наклона ударной волны рассчитывался по толщине ударного слоя, вычисленной на первой итерации. Решение маршевым методом начинали, исходя из приближенно найденного решения на линии тока вблизи критической точки. Это решение получалось из уравнений вязкого ударного слоя, которые в этом случае сводились к обыкновенным дифференциальным уравнениям вдоль 4=0. Решение в каждом последующем сечении по $ получалось путем решения каждого из уравнений вязкого ударного слоя отдельно в такой последовательности: 1) уравнение энергии; 2) уравнение движения по координате $; 3) уравнение неразрывности; 4) уравнение движения по координате г!. Метод Дэвиса оказался неудовлетворительным по нескольким причинам.
Прежде всего его применение ограничено телами с аналитически заданной формой. (например, гиперболоид). Эту трудность первыми разрешили Майнер и Льюис [М!пег, 1еяг!з, 19751, которым удалось рассчитать обтекание конфигурации сфера — конус. Они в качестве начального приближения взяли форму ударной волны такой, какой она получается из решения задачи об обтекании затупленного тела невязким газом, а вблизи сочленения сфера †кон воспользовались переходной функцией, чтобы получить гладкое распределение кривизны. Позднее Сривастава и др. !Яг)чаз!ача е! а1., 1978) преодолели это ограничение за счет дискретизации специального вида, аппроксимирующей резкое изменение параметров, когда функция, задающая поверхность, терпит разрыв.
Другой недостаток оригинального метода Дэвиса — плохая сходимость формы ударной волны, когда последняя утолщается. Эту трудность преодолели Сривастава и др. 18г!чаз4ача е! а1., 1978, 1979], которые заметили, что релаксационный процесс, связанный с формой ударной волны, аналогичен взаимодействию толщины вытеснения и внешнего невязкого течения в теории сверхзвукового взаимодействующего пограничного слоя.
В результате проблему сходимости формы ударной волны удалось разрешить при помощи неявного метода переменных направлений 1%ег!е, Ча!за, 19741 для взаимодействующих пограничных слоев. Еще один недостаток метода Дэвис» состоит в том, что с его помощью нельзя получить решение в области дальнего следа 578 Гл. 8. Рсшение параболизованник уравнений манье — Стокса за тонкими телами.
Это является следствием того, что уравнения вязкого ударного слоя решаются раздельно. В частности, два уравнения с первым порядком аппроксимации (неразрывности и движения в нормальном направлении) вводили неустойчивости, которые росли в продольном направлении. Решая ураза пения неразрывности и движения в нормальном направлении совместно, Васкевицу и др, [%азк1етч1сх е! а!., 1978] удалось справиться с проблемой неустойчивости.
Этого же добились Хосни и др. [Нозпу е1 а1., 1978], решая все квазнлипеарнзованные уравнения вязкого ударного слоя одновременно. Когда все названные выше трудности удалось преодолеть, стало возможно применение уравнений вязкого ударного слоя к более сложным задачам. Меррей и Льюис [Мпггау, [.ечт1з, 1978] использовали их для расчета обтекания трехмерных тел общей формы под углом атаки. Их алгоритм с успехом применялся и во многих других задачах, Не так давно в работах, выполненных под руководством Льюиса, были учтены эффекты турбулентности [Ягела, 1ету18, 1980] и свойства реальных газов [ТЬаге]а е! а1., 1982; Ятчаш!па![тая е1 а1., 1983].
5 8.6. Конические уравнения Навье — Стокса При рассмотрении конического приближения течений невязкой жидкости пользуются тем обстоятельством, что в поле течения, окруженного коническими границами, отсутствует, масштаб длины в коническом направлении. В результате не происходит изменений параметров течения в радиальном направлении и трехмерная задача течения невязкой жидкости сводится к двумерной. Это приводит к автомодельному решению, которое одно и то же для всех постоянных значений радиуса и масштабируется линейно при изменении радиуса.
Приближение конического течения строго справедливо только для течений невязкой жидкости. Однако даже в таком поле течения эксперимент обнаруживает вязкие области, над которыми доминирует коническое невязкое течение. В этих случаях Андерсон [Апдегзоп, 1982] предложил быстрое вычисление теплопередачи и трения при помощи решения нестационарных уравнений Навье — Стокса методом установления на единичной сфере с производными в радиальном направлении, равными нулю. Таким образом, уравнения Навье — Стокса решаются в локальном коническом приближении.
Мы будем называть уравнения, которые решаются подобным образом, коническими уравнениями Навье — Стокса. Местное число Рейнольдса определяется по радиусу, на котором производятся вычисления. В результате решение не является автомодельным в $ 8.6. Конические уравнения Навье — Стокса отэ где 0», Е», Р» и б' — безразмерные векторы, определяемые выражениями (6,46). К этим уравнениям применяется сначала коническое преобразование вида и = Нх')в+ (р')я+ (з')а) нв, ~=;„-а- у= — г, т=г, р* (8.146) смысле конического течения невязкой жидкости, а масштабируется по местному числу Рейнольдса, которое входит в результирующую систему уравнений.
Сначала конические уравнения Навье — Стокса использовались [Мстсае, 1976),для расчета обтекания конуса ламинарным потоком под большим углом атаки. Позже они применялись для расчета ламинарного обтекания дельтовидного крыла [Идпегоп е1 а1., 1978; В(и(огб, 1978) и трехмерного течения в двугранном ' угле [ТаппеЫ11, Апбегзоп, 1980).
Модель вихревой вязкости и конические уравнения Навье — Стокса использовались в работе [Мсрсае, Нпзза(п1, 1978) для расчета турбулентного обтекания конуса под большим углом атаки. Во всех названных случаях (кроме одного, когда невязкое течение не было полностью коническим) рассчитанные вязкая и невязкая структуры удивительно хорошо совпадали с имеющимися экспериментальными данными. Конические уравнения Навье — Стокса оказались полезными еще и потому, что дают вполне хорошие начальные приближения для расчетов по модели параболизованных уравнений Навье — Стокса обтекания конических (нли заостренных) тел.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
