Anderson-et-al-2 (1185924), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Шифф и Стегер [8сЫ(1, 81епег, 1979) включили маршевый с шагами назад метод в свой алгоритм решения параболизованных уравнений Навье — Стокса, что эквивалентно решению конических уравнений Навье — Стокса в соответствии с описанным выше методом установления. При этом параметры потока сначала принимаются равными их значениям в свободном потоке и уравнения решаются маршем от х=хо до х=хо+Ьх при помощи той же явной схемы, которая применялась при решении параболизованных уравнений Йавье — Стокса, но с др/дх=О. После каждого шага по маршевой координате решение масштабируется по уже имеющимся параметрам потока в точке х=хо. Вычисления повторяются до тех пор, пока параметры потока не перестанут изменяться.
Конические уравнения Навье — Стокса получают из полных уравнений Навье — Стокса (8.145) 880 Гл. 8. Решенне параболнзованнмх уравнений Навье — Стокса Полученные преобразованные уравнения можно записать в строго дивергентной форме где Л=(1+Ра+уа)ыа. Допущение местной конической автомодельности требует, чтобы дЕ" дР* дб' — =О, — =О, — =О. до , ' до ' да (8.148) Тогда уравнение (8.147) приводится к виду дт з»з 0 )+ Л (Е +нР +УС)+ д ~л ( — з3Е +Р)1+ + д ) Лз ( — уЕ'+ С')) = О.
(8.149) Решение рассчитывается на сферической поверхности радиуса г'=г/Ь, равного единице. На этой поверхности а = 1, 'так как г' = 1(х)з+ Ь)з+ (')а»чз = о. Следовательно, уравнение (8.149) можно переписать в виде (8 150) где — РЕ'+ Р' Рз= Аз 2 (Е" + РР" + уб') Нз= Лз Оз $3 =— з — у,з — уЕ +б" Сз Частные производные в вязких членах Е*, Р* и С' легко преоб- разуются при помощи соотношений д д д — = — РЛ вЂ” — уЛ вЂ”, дг' дй ду ' д д — =Л вЂ”, ду" ,др ' д д — =Л вЂ”. дг' ду ' (8.152) Поэтому выражения для сдвиговых напряжений и тепловых потоков, заданные уравнениями (5.47), принимают следующий + ф и') + + [ф(Е'+ 8Р'+ уС')1+ + д ~хз ( — 1»Е'+ Р')1+ д ~», ( — уЕ*+ С')~=0, (8.147) э' З.б.
Конические уравнении Навье — Стокса вид: '.-= Зйе ( 2()ЛП' — 2цЛич Лов Лот',) зи' 3 йеь т„'„= ~ ~~ (2Лоа + ~Ли,', + уЛй — Лта'), саа 3 и (2Ла ~, + ДЛ 1', + уЛ т — Лов) зйе т „= — (Лп~ — рЛо1 — уЛо ), ° )г т„', = й (Лиг РЛпга — уЛшт)' ° 1г' 'А '„,= — "' (Л *,+Л;), Ф д,' = ", ( — 8ЛТ' — уП*), а ( 1)Мг и Р ' а т (т — 1)М' йе Рг Ф Лт'. (т — 1) Мг йе Рг (8.153) где 1.— радиус сферической поверхности, на которой вычисляется решение. Следовательно, решения конических уравнений Навье — Стокса прямо зависят от величины радиуса к=1„на котором они вычисляются. Это и отличает их от невязких решений, которые не зависят от г и поэтому являются действительно коническими. Конические уравнения Навье — Стокса можно решать, используя зависящие от времени алгоритмы, которые будут рассматриваться в гл.
9 в связи с решением двумерных уравнений Навье — Стокса для сжимаемой жидкости. Поэтому отложим обсуждение разностных схем для решения конических уравнений Навье — Стокса. В заключение следует напомнить, что конические уравнения Навье — Стокса являются весьма приближенной формой полных уравнений Навье — Стокса, поэтому ими нельзя пользоваться в тех случаях, когда требуется высокая степень точности. Отметим, что в выражениях для сдвиговых напряжений и тепловых потоков фигурирует число Рейнольдса гсеь.
Оно рассчитывается по формуле йеь — — р к' 1,/)ь, (8.154) 582 Гл. 8. Решение параболизованных уравнений Навье — Стокса Задачи 8.1. Проверьте уравнение (8.8). 8.2. Выведите уравнения (8.9) — (8.11). 8.3. Сведите записанные в декартовой системе координат уравнения в приближении тонкого слоя к системе уравнений на границе, па которой нет проскальзывания (у = 0). Предположите, что стенка поддерживается при постоянной температуре Т . 8.4. Сведите записанные в криволинейной системе координат уравнения в приближении тонкого слоя (уравнения (8 9) †(8,1!)) к системе уравнений на границе, на которой нет проскальзывания (ч = 0).
Предположите, что стенка поддерживается при постоянной температуре Т . 8.5. Получите уравнение (8.!5) из (5.19). 8.6. Получите уравнение (8.16) из (5.19). 8.7. Получите уравнение (8.17) из (5.31). 8.8. Получите уравнение (8.23) из (8.17). 8.9. Выведите уравнения ламинарного сжимаемого пограничного слоя из уравнений (8.14) — (8.17).
Заметим, что Ьз 0(1) н (б/бь)з.м 1. 8.!О. Используйте приближение тонкого слоя для уравнений (8.37)— (8.39) и покажите, что они эквивалентны уравнениям (8.40), (8.10) и (8.11). . 8.1!. Проверьте, что уравнение (8.44) эквивалентно уравнению (8.43). 8.12. Покажите, что собственные значения уравнения (8.44) задаются уравнением (845). Подсказка: )٠— (А1)-1(В1)( = )(АД-' ) ЦАД вЂ” [ВД).
8.!3. Выведите уравнение (8.47). 8.14. Проверьте уравнения (8А8) — (8.49). 8.1б. Выведите уравнение (8.50). 8А6. Для параметров потока М, = О.б, Ке//;= ри/р =!000/ш,у 1.4, Рг = 0.72 решите уравнение (8.50) и покажите, что его корни будут вещественными, если е = ОА, что удовлетворяет уравнению (8.52).
8.17. Решите задачу 8.16 с и = 0.5 и покажите, что по крайней мере один корень уравнения (8.50) не будет вещественным и положительным. 8.18. Если все собственные значения уравнеяия (8.50) вещественные, то покажите, что они положительные, если удовлетворены условия, заданные уравнениями (8.51) и (8.52). 8.19. Поместите множитель е перед членом в уравнениях энергии н движения в продольном направлении и оцените условия, при ноторых уравнение (8.44) остается гннерболическии,,если и ( 1. Считайте, что о С и. 8.20.
Линеаризуйте следующие члены, используя уравнение (8.61). (а) и!+!, /, во!+1,/,'а! (Ь) /и™++,гч а)зоу++',/ „; ( с ) х и ! + + ) !в + + Задачи т+! м+!»»+! (6) и»+! / ьо» ь! / ью.+1 / э1 »»+! г ч»т! и мт! (е) и»+ / »~|о!+! | ь) и»| ь! / 8.21. Выведите выражение для матрицы Якоби дЕ»/дО, заданное уравнением (8.78). 8.22. Выведите уравнение для матрицы Якоби др/д(), заданное выражением (8.79).
8.23. Выведите выражение для матрицы Якоби дб/дО, заданное уравнением (8.80). 8.24. Если приближенно положить, что е»муМз, выведите ныражение для матрицы Якоби дЕ»/дО, уже не считая ы не зависящим от 13. 8.25. Выведите выражение для матрицы Якоби др,/дО, заданное уравнением (8.84). 8.28. Выведите выражение для матрицы Якоби дб»/д0, заданное уравнением (8.85). 8.27. Элементы матрицы [С]» в уравнении (8.98) можно представить в виде (с» )», где 1 = 1, 2, ..., 5 и л» = 1, 2, ..., 5. Определите элемент (см)». 8.28. Определите элемент (с»»)» в задаче 8.27. 8.29.
Определите элемент (с,з), в задаче 8.27 8.30. Элементы матрицы [В], в уравнении (8.98) можно представить в виде (Ь| )м где ! = 1, 2, ..., 5 и л» = 1, 2, ..., 5. Определите элемент (Ь»4)»' 8.3!. Определите элемент (Ь„), в задаче 8.30. 8.32. Определите элементы (а»з)м (Ь»»)» и (с»»)» матриц [А]», [В]* н [С]» в уравнении (8.98).
8.33. Воспользуйтесь разностной формулой (8.70) для двумерного параболизованного уравнения Навье — Стокса дЕ' др др — + — + — 0 дк дх др и постройте алгоритм, аналогичный заданному уравнениями (8.94) †(8.97) для трехмерного параболизованного уравнения Навье †Сток. 8.34. Разработайте детали алгоритма коррекции скорости для трехмерной параболизованной процедуры в случае течения сжимаемой жидкости з канале прямоугольного сечения. Используйте метод потенциала ф и р'- метод. Воспользуйтесь сеткой с расположением узлов в шахматном порядке. 8.35. Днскретнзируйте уравнение движения по координате у для модели частично параболизозанных уравнений Навье †Сток, следуя процедуре, описанной в п.
8.4,3 для уравнения движения по координате к. 8.36. Покажите, что описанная для уравнения Пуассона для давления в модели частично параболизованных уравнений Навье-Стокса формули- 884 Гл. 8. Решение параболизованных уравнений Навис — Стокса ровка задачи удовлетворяет следующему условию: ~~ з,г(хац= ~ — р хс.
8.37. Предложяте способ распространеняя модели частично параболизованных уравнений Навье — Стокса на трехмерные течения. 8.38. Объясните, как формулировать граничные условяя на гранаде, которая является линией симметрии (например, ось двумерного канала), в случае применения сеткя с расположением узлов в шахматном порядке. Объясните в терминах алгоритма прогонки.
8.39. Примените к уравнению (8.!45) преобразование переменных а=я*, р = рь/хь, у = хе/х~, т = Гь и выведите коияческие уравнения Навье— Стокса, которые используйте далее к расчету решения в сечении х = Е, хь Глава 9 Численные методы решения уравнений Н авье — Стокса ф 9.1. Введение Для некоторых задач расчета течения вязкой жидкости нельзя получить точное решение при помощи упрощенных уравнений, обсуждавшихся в гл.
6 — 8. К примерам таких задач относятся взаимодействие ударной волны с пограничным слоем, обтекание входной кромки, некоторые волновые течения в следе н другие течения с сильным вязко-невязким взаимодействием и большими отрывными зонами. В этих случаях необходимо решать полные уравнения Навье — Стокса (или осредненные по Рейнольдсу уравнения Навье — Стокса).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
