Anderson-et-al-2 (1185924), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Кроме того, если интерес представляет только установившееся решение, то в левую часть уравнения (9.56) на неявном слое можно добавлять сглаживающий член второго порядка. Порядок последнего члена, может быть вторым, поскольку он не оказывает влияния на установившееся решение, когда Л"И = О. После добавления сглаживающих членов разностная схема принимает следуюший окончательный вид: На шаге 1 Л"1)1 суть оставшиеся члены левой части уравнения (9.57).
Уравнения (9.59) и (9.60) суть системы уравнений, которые имеют блочную трехдиагональную структуру, аналогичную структуре уравнения (8.98) с той лишь разницей, что в случае двумерных уравнений Навье — Стокса для сжимаемой жидкости блоки суть матрицы размером 4)(4, Уорминг и Бим [вагш(пд, Веаш, 1977[ исследовали устойчивость своей схемы для двумерного волнового уравнения и, + с,и„+ с,и = 0 (9.62) $ 9.2. Уравнения Навье — Стокса для сжимаемой жидкости воз Шаг 1 (]1] + — ' [6„([А) — [Р] + [Я ])" — 6'„Я]" — в!Ь~Ц Л" (), = = Правая часть уравнения (9.56) — ве(бл+ 6~~) 1)".
(9.64) Шаг 2 ([1]+, + в [6„([В] — [%]+ [8„))" — 6'„[Зà —.,6'„Ц Л'и = Л" и,. (9.65) Шаг 3 Цв+~ 11о + ЬеЦ (9.66) ( 1+ 26а и 31!+Ва) ' (9.67) Была исследована [ОезЫег1 е1 а1., 1978) возможность максимализации скорости сходимости зависящего от времени решения за счет выбора отношения коэффициентов при сглаживающих членах.
Оказалось, что скорость сходимости схемы Бима— Уорминга (с дискретизацией по Эйлеру на неявном слое) для уравнений Эйлера оптимальна, когда е,/е =2. (9.68) Бим и Уорминг показали, что их схема может быть значительно упрощена, если 1ь считать постоянной величиной. Тогда (1ь», 1ьи) = 0 и уравнения (9.50) и (9.53) сводятся к уравнениям [Р) — [)с„] = О, [1г] — [Зи] = О.
Если требуется только установившееся решение, то Таннехил и др. [ТаппеЫ11 е1 а1., 1978] предложили вязкие члены в левой части схемы (т. е. [Р], [)с,), [Я], Я], [Яи], [5)) положить равными нулю, при условии' что в ней оставляют сглаживание на неявном слое (е; ) 0). При этом используется тот факт, что левая часть уравнения (9.57) стремится к нулю по мере установления решения. Это существенно упрощает схему Бима— Уорминга, особенно если используется система координат, отличная от декартовой.
Полагают, что такую упрощенную схему можно применять для вычислений в диапазоне чисел Рейнольд- где Ь, 6е и 6' — обычные операторы с центральными разностями, а,е, и е; — коэффициенты при сглаживающих членах на явном и неявном слоях соответственно. Используя анализ Фурье устойчивости, можно показать, что для устойчивости схемы коэффициент при сглаживающем члене на явном слое должен лежать в диапазоне 904 Гл.
9. Численные методы решения уравнений Навве — Стокса са от умеренных до очень больших, так как скорость сходимости при этом ие изменяется, как показывают тесты. Чтобы еще уменьшить затраты машинного времени, система связанных друг с другом уравнений Навье — Стокса в приближении тонкого слоя была преобразована (С!сапззее, РпИ!аш, 1981] к диагональному виду, после чего они решаются независимо одно от другого. (9.69) и, = — си, + !си„„, с > О, !с > О.
Исходная явная схема Мак-Кормака для уравнения (9.69) (см. п. 4.5.6) приводит к следующим уравнениям: Предиктор (ил+!) цл + (Дцл) г (9.71) Корректор Див+!! Сил+! иле!! !. Сий+! 2цл+! ! ил+!! — -сЫ с — — ) рЫ с )еяр! = Дс ( с с-!) (С!в)в ( с+! с с — !) ' (9.72) ( л+!) с1 л ! (с ле!) ! (Д л+!) ] (9.73) Эти уравнения записаны в дельта-форме с Дцл цл+! цл и х сДХ с с с (9.74) Нижний индекс ехр! употребляется для указания того, что дан- ная величина вычисляется по явной схеме Мак-Кормака.
Не- явная схема Мак-Кормака является неявным аналогом уравне- ний (9.70) — (9.74) и задается следующими уравнениями: 9.2.4. Неявная схема Мак-Кармана Мак-Кормак (МасСоппас(с, 1981) разработал неявный аналог своей схемы, состоящий из двух шагов. На первом используется первоначальный вариант схемы Мак-Кормака, тогда как на втором — неявная схема, что устраняет какие-либо ограничения в связи с устойчивостью. В результате получаются либо верхние, либо нижние блочные двухдиагональные системы уравнений, которые решать проще, чем обычные трехдиагональные системы.
Объясним неявную схему Мак-Кормака на примере линейного уравнения Бюргерса й 9.2. Уравнения Навье — Стокса ддя сжимаемой жидкости 606 Предиктор (1+ — ) Ли,"+' =(Лил)„а, + — Ли,"~,', цл+! — цл+ Лц'и-! с с ! (9.75) (9.76) (9.79) или цл+! [ссл+ (ивсе!) + (Ли"+') ай!~ + О ](Лг)~]. (9.83) Таким образом, мы показали, что Уравнение (9.78) = Уравнение (9.73)+ О](Лс)а].
(9.84) Уравнения (9.75) и (9.77) приводят к двухдиагональным системам алгебраических уравнений, которые легко решаются за Корректор (1+ — ) Ли,"+' = (Лис+'),„, + — Ли",' „'(9.77) иле' = 2 (ил+ ил+! + Ли",+'), (9.78) где (Ли,".),„, и (Ли,"+'),„,определяются по уравнениям (9.70) и (9.72) соответственно, а Л выбирается таким образом, чтобы Л) !пах~(с+ —,~ — —,с ), 0.0~. Эта схема безусловно устойчива и имеет второй порядок аппроксимации как по времени, так и по пространству, при условии что величина )сЛ1/(Лх)а ограничена при стремлении Л1 и Лх к нулю. Это легко показать, так как члены, добавленные к исходной схеме Мак-Кормака второго порядка для получения уравнений (9.75) и (9.78), сами имеют третий порядок.
То есть уравнение (9.75) можно записать в виде Ли,"" = (Ли",),„, + — (Лил"' — Ли",+!) = = (Ли",),„, + Л (Лс)' д ( дс ) + О ](Лг)~] (9.80) и аналогично уравнение (9.77) в виде Лиле! =(Лц" ' ) а! — Л(Л() д 1 дс ) + О ИЛ!)~]. (9.81) Подставляя (9.76), (9.80) и (9.81) в уравнение (9.78), получаем цл+1 — [2цл + (Лил) + (Лиат!) ] + О ](Л()а] (9 82) 606 Гл. 9. Численные методы решения уравнений Навье — Стокса один проход всей расчетной области. Например, уравнение '(9.75) можно записать в виде — (Ьи~ )ехр~ + (ЛЫ/Ьх) ам< +1 ! + Лат/Ьх (9.85) так что если мы идем от правой границы ((=Ы1), где и известно, к левой (1= 1), мы можем непосредственно определить ои",+'.
Это напоминает процедуру, используемую в явных схемах переменных направлений из п. 4.2.10. Параметр Л выбирают из рассмотрения предела устойчивости исходной явной схемы Мак-Кормака, задаваемого в приближенном виде Ьх (81)еяа' ~ ~С+ 2И1аХ (9.86) Если Ж ( (М) еааь то с+- — — <О 2м ах Дх М (9.87) Л) с+ — — —. 2и Ьх ьх ат' (9.88) Когда неявную схему Мак-Кормака используют для решения двумерных уравнений Навье — Стокса для сжимаемой жидкости — + — + — =О, дп дЕ дР д1 дх ду (9.89) это дает следующий алгоритм. Предиктор (й()с!)еяа~ 51 ~ дк + ьу (' ф а Ела у Лан"; ~~ (9.90) Пл+! йа + о1)л+! (9. 92) и из уравнения (9.79) следует, что Л равно нулю.
В этом случае нет необходимости для обеспечения устойчивости на втором шаге применять неявные процедуры и неявная схема Мак-Кормака сводится к исходной явной. Но если Л1 ) (И),„аь то Л выбирается таким образом, чтобы, 5 9.2. Уравнения Навье — Стокса дая сжимаемой жидкости 607 Корректор +! т ряи~~ Ч и!~ х 11!+!' =.ф(1)е, !+ 11",,!!'+ !И)!,,'!'). (9.95) В этих уравнениях Л„, Л„, т„и 1'„обозначают обычные разно- сти вперед и назад по пространству, а Л вЂ” разность вперед по времени Л!. Тогда выражение типа эквивалентно Лб!,+!' — а Л„([Ве] М)!У!').
Вязкие члены в Е и Г дискретизируются так же, как и в явной схеме Мак-Кормака. Матрицы [А'] и [В'] имеют положительные собственные значения и связаны с матрицами Якоби [А] = = дЕ/д(1 и [В] = дг/д() (как будет показано ниже). Без учета вязких членов и в предположении совершенного газа матрицы Якоби [А] и [В] можно диагонализироватеи [А] = [В„]-! [Л„] [В„], [В] = [В„] ! [Лв] [5и], где — 1/а' 1 [З,] = (9.97) 1 1/пав О [Вя] = (9.98) О О О и О О О и+а О О О и О О О [л ]= (9.99) О О ра О О 1 — ра О О О 1 О О ра Π— ра 1 — и/р — о/р ар 1 — и/р — о/р ар О О 1/р О О 1/р — ир — ор О О 1/р О О 1/р — и[) — ор О О О О О О 698 Гл.
9. Численные методы решения уравнений Нааье — Стокса о 0 0 о [Лв! = о о о о о о о о (9.100) о+а 0 0 о — а где 0 дл, 0 0 0 !1», 0 0 0 а!л, 0 0 0 с/в, 0 0 0 с(в, 0 0 0 а!в, -0 0 0 (9.102) [Пл] = 0 (9.103) Р]= в, !ал,= п!ах~([и]+ — — — — ), 0.0], а!л,= щах~(]и+ а[+ — — — —,), О 0], с(в,=гпахф о+ а]+ — — — — "), 0 01, с(в,=!пах~([о — а!+ А 2 ы ), 0.0], и = и!ах('/а1а, Й). (9.104) и а = (и' + о')/2, р = у — 1, а = ~/ур/р — скорость звука. Матрицы [А'] и [В'] отличаются от матриц [А] и [В] тем, что их собственные значения все положительны и в них приближенно включен учет вязких эффектов. Эти матрицы определяются следующим образом: [А']=Р.] !Рл][В.], [В'] = [З„г! [П!!] [3„], $ 9.2.
Уравнения Навье — Стокса для сжимаемой жидкости 609 Если в некоторой области течения устойчивости для явной схемы 1 [!и1+а+ 21. Ьх Л(( — '[!" 1+' + 2[ Ьу Л( удовлетворяет условиям 2т р (ох) ] 2т 1! р(ау!' ] (9.106) то дл и Ив в соответствии с уравнениями (9.104) равны нулю и неявная схема Мак-Кормака сводится к своему явному аналогу. В противном случае для обеспечения устойчивости не обойтись без неявной части схемы Мак-Кормака. Результирующие разностные уравнения суть верхняя или нижняя блочные двухдиагональные системы, которые легко решаются.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
