Anderson-et-al-2 (1185924), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Кроме того, все эти схемы имеют ограничение на максимальный размер шага по времени, вытекающее из условия устойчивости. Однако условия устойчивости для схем «классики» и Аллена — Чена не зависят от вязкости, что выделяет их в лучшую сторону среди прочих схем, Для схемы «классики» допустимый размер шага по времени, обусловленный условием Куранта — Фридрихса — Леви, в случае двумерной задачи запишется в виде Ьх (~-~1)КФЛ»я ! и )+(о(+ 21/и (9.39) пример схемы Кранка — Николсона или схемы Лаасонеиа. Таким образом, уравнения (9.36) и (9.38) можно решать с шагом по времени, не ограниченным вязким критерием устойчивости. Оказалось, что схема быстрого счета обладает (10 — !00)-кратным быстродействием по сравнению с расщепленной по времени схемой для течений при больших числах Рейнольдса.
Правда, ввиду ее сложности довольно трудно составить программу расчета на ЭВМ по этой схеме. Позднее Мак-Кормак (МасСогшасК 1981] разработал неявную версию своей исходной схемы, о чем речь пойдет в п. 9.2.4. й 9.2. Уравнения Навье — Стокса для сжимаемой жидкости 597 если Ьх = Лу. Важное преимущество схемы Браиловской состоит в том, что она требует вычисления вязких членов только на одном шаге двухшаговой процедуры. В обзоре [Реуге1, Чсч(апб, 1975] можно найти и другие явные схемы решения урав.нений Навье — Стокса для сжимаемой жидкости. 9.2.3.
Схема Бима — Уормннга Разностная схема Бима — Уорминга [Веаш, вагш(пй, 1978] решения уравнений Навье — Стокса для сжимаемой жидкости относится к классу неявных схем переменных направлений, предложенных в рабочих [(лпс(ешп()с, К(11ееп, 1973; Мс()опа!б, Вг!- 1еу, 1975]. Можно показать, что при выполнении некоторых условий все эти схемы эквивалентны. В п. 4.5.7 обсуждалось применение схемы Брили — Макдональда к вязкому уравнению Бюргерса. Для простоты ограничимся случаем двумерных уравнений Навье — Стокса для сжимаемой жидкости и применим схему Бима — Уорминга к этим уравнениям, записанным в следующей векторной форме: ды дЕ (Щ ду (О) дос (И, Ы„) дуя(0, (Су) дС + дк + ду дх + дя + д%с((С Ба) двсв($3 Бу) ду ду (9.40) где р ри Е(0)= ро Е„ ри ри'+ р г,(и) = (Е,+ р)и О 2 з 9(2и. — оу) )ь (и„+ о„) г2 )со (ив + о,) + '— )ьи (2и, — о„) + О )ь(и„+ о„) 2 — )ь(2о„ вЂ” и„) )ьи(иу+ о„) + — )ьо(2оу — и„)+ ро рио Ро +Р (Ес + р) о Ч,+Ч,= (9.41) 'мТ„ 'мТ„ бйа Гл.
9. Численные методы решения уравнений Навье — Стокса Последнее равенство можно переписать в виде ДаЕ (А)а Лат| + () ((2)Р] (9.45) где [А) — матрица Якоби дЕ/д(): о ! ~ (1 7) О О ' (7 — Ф -и г + н') ~ (7 — г)нр 3 — 7 1-7 аг Е ог 2 (7 - 3)и (А) =— 7Ег 7 ) г (3 г 7Еги Ь(1 . )н(нг г аг Р 2 Р В схеме Бима — Уорминга решение получают установлением по времени в соответствии со следующей разнбстной формулой: + 0 ~(0, — — — Оа) (гаг)а+ (сгг)а1, (9.42) где Ла() = а)аы — Ва.
Эта общая разностная формула при соответствующем выборе параметров Ог и Оа описывает многие обычные разностные схемы, как мы видели в я. 8.3.3. В случае уравнений Навье — Стокса для сжимаемой жидкости обычно используют либо неявную схему Эйлера (Ог — — 1, 8а = 0) с первым порядком аппроксимации по времени, либо трехточечную неявную схему с разностями назад (Ог — — 1, 8а — — г/г) со вторым порядком аппроксимации по времени. Подставляя (9.40) в уравнение (9.42), получаем А"1) = + [ — ( — Ь'Е+Ь"Ч, +Ь" Ча)+ = ( — Л" Р+Л" %~+ Л" %а)~ + + ' Л" '1) + 0 ~(8, — — — Оа) (Ы) + (М)~).
(9.43) Эта разностная формула в так называемой дельта-форме уже обсуждалась ранее. Дельта-члены линеаризуются путем разложения в ряд Тейлора. Например, ЛаЕ линеаризуется при помощи соотношения е"+ = е" + ( зц ) (и"+ — и") + о 1(лг) 1. (9.44) $9.2. Уравнения Навье — Стокса дня сжимаемой жидкости 699 и у — отношение удельных теплоемкостей. Матрица Якоби выписана в предположении совершенного газа. Аналогичным образом можно линеаризовать и д»Р: Д"Р' = [В]" Д" и + О [(Д1)а], (9.47) 3-7 1-7 — вг + — »г 2 2 (и) =- (7-1)и (7 — 3)» — + (1 -7)гг(»' + и') ! (7 — 1)»» 7Е!» Р 7Е, 7-! — — + — (3»' р 2 Вязкий дельта-член д»Уг(0, 0 ) линеаризуют, записывая д"у, = ~ ОУг ) д" $3 + ( РЫ д "Ю + О [(дт)а] = =[Р] Д ()+Щ Д Ц„+О[(Д1)']= = ([Р] — [)Ц)" Д" $) + — „([)]]" Д"Щ+ О (Д1)а], (9.49) где [Р] — матрица Якоби дУ1/да), [Ц вЂ” матрица Якоби дУ!/де), и [)с ] = д[Ц/дх.
Эти матрицы можно записать в следующем виде: о ' о 1 (4 ) — »р„ И вЂ” (Ег) = —— 1 (9. 50) »г( — ») -»ги„ [л] =— 1 -и» вЂ” ( — и —,— )»' — (р- — )»' —— р' ! ( —., и — — „, )» ! где [В] — матрица Якоби дР/да): 4 (зр) 1 о о 1. (з Р) 1 1 о 4 -и 3 о ! о 1 !о 1 1 ! о 1 1 ! о 11 1 1 !»г) ! 1 (9.
48) о 1 ! о 1 ! о 1 й (9. 51) 600 Гл. 9. Численные методы решения уравнений Навье — Стонса Л Щ, = ([О] [8„])" Л"и+ — ' У]" Л"и) + О [(Л1)а], (9.52) где о ~ о о и о о ! — ир„ о ~ 4 ! Ю)-[3) =-— 1 р (9.33) ирт о ~о о ~о 3 — и 'о (9.54) о и о [3) =— 1 Р 4 — — «а 3 Члены со смешанными производными вычисляются на явном слое без потери точности, если просто заметить, что л"ч,=Л" 'ч,+ о [(л1)'], л"п, = л"-'в, + о [(лг)'1 (9.55) при постоянном шаге Лй Вычисление таким способом членов со смешанными производными приводит к блочной трехдиагональной форме уравнений. Описанный в п.
8.8.8 вариант линеаризации [8(едег, 1977] вязких членов можно использовать вместо линеарнзации, заданной уравнениями (9.49) и (9.52). Метод Стегера особенно полезен, когда при решении уравнений Навье — Стокса выполняется преобразование координат. Матрица Якоби [Р] — [)с ] выписана в предположении, что и и й локально не зависят от а). Аналогично Ли%я((), 0а) линеаризуется в виде й 9.2. Уравиеиия Нааье — Стокса дая сжимаемой жидкости 601 Подставляя (9.45), (9.47), (9.49), (9.52) и (9.55) в уравнение (9.43), получаем ([1]+ —,'.,".,' ~ —,'„([А]- [ ]+ [7.])"-,г [7]" + + — '([В] -%]+ [Я)" - — ", Н"~~ й" Ц = + а ~(Е, — ф — Е,) (ж)а, (61)'], (9.56) где [1] — единичная матрица. В уравнении (9.56) выражения типа д ([А] [Р] [ [Я ])л1 бл Ц д [([А] — [Р]+ Ра])" 4" Ц].
означают Левая часть уравнения (9.56) факторизуется следующим образом: ]([1]+ ~+й ~~„([А] — [Р] — [)С ]) — аса И]"~~ Х Х ([1]+,"0' У ([В] — Я+ [5„])" — [Я]"3 Л" Ц = =Левая часть уравнения (9.56)+ О [(М)а], (9.57) Частные производные в этом алгоритме вычисляются со вторым порядком точности по центральным разностям.
Схема Бима — Уорминга реализуется следующим образом: Шаг 1 ([]+ 1+й, ~а ([А] [Р]+[1"]) а * [)'] 11~ Ц' = Правая часть уравнения (9.56). (9.59) и окончательный вид схемы Бима — Уорминга таков: Левая часть уравнения (9.57) =Правая часть уравнения (9.56). (9.58) 602 Гл. 9. Численные методы решения уравнения Навье — Стокса Шаг 2 ~[1[+,",' [ — '([В[ — [О[+ [3„))" — — ', [3)" и'Л"() = Л" Бь (9.60) Шаг 3 11" +'= 1)" + й"Б. (9.61) и для уравнения диффузии и, = аи,„+ Ьи,„+ си„„. (9.63) Последнее уравнение параболическое, если Ьа ( 4ас и (а, с) ) ) О. Уорминг и Бим обнаружили, что для уравнения (9.62) схема безусловно устойчива, если Оа ) О, а для уравнения (9.63) она безусловно устойчива при Оя 0.385.
Заметим, что ни схема «чехарда» (61 = О, Оа = — 1/2), ни неявная схема с центрированными разностями по времени (О~ = 1/2, Оя = 0) не являются безусловно устойчивыми для уравнения (9.63). Однако трехточечная схема с разностями назад (61 = 1, Оа = 1/2) безусловно устойчива, и ее можно использовать, когда необходим второй порядок аппроксимации по времени. Чтобы успешно реализовать вычисления с приближенно заданными начальными данными и подавлять возникающие высокочастотные осцилляции, часто бывает необходимо в схему Бима — Уорминга вводить демпфирование. Это можно осуществить добавлением в правую часть уравнения (9.56) на явном 'слое диссипативного члена четвертого порядка вида (8.100).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
