Anderson-et-al-2 (1185924), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Подходящая разностная аппроксимация второго порядка величины 5 задается следующим образом: ( ' '~ ')~. (9.135) 4ах Ьу В случае стационарной задачи уравнение Пуассона для давления решают только один раз, т. е. после того как вычислены установившиеся значения й и яр. Если требуется определить только значение давления на стенке, нет необходимости решать уравнение Пуассона во всей области течения.
Вместо него можно решать более простое уравнение для давления на стенке, которое получают, записывая уравнение движения в направлении, параллельном стенке, для жидкости, находящейся вблизи стенки. Пусть стенка расположена в плоскости у = 0 декартовой системы координат (рис.
9.2), тогда уравнение движения 616 Гл. 9. Численные методы решения уравнений Навье — Стокса в направлении, параллельном стенке (уравненне движения по координате х), есть (9.136) (9. 137) которое дискретизируется следующим образом: ртьь1 ра-ь1 ьь ~+ ьье ~ба) (9 138 2Ьл 1 (.
2ау Чтобы воспользоваться уравнением (9.138), необходимо знать давление хотя бы в одной точке на поверхности стенки. Давление в соседней точке можно определить при помощи аппроксимации первого порядка с односторонней разностью для др/дх в уравнении (9.137). После чего по уравнению (9.138) можно найти давление во всех остальных точках стенки. В случае системы координат, связанной с поверхностью стенки, запишем уравнение (9.137) в виде (9.139) где з измеряется вдоль поверхности тела, а п — по нормали к ней. Описанный ранее метод установления для решения уравнения переноса завихренности и уравнения Пуассона требует, чтобы были заданы подходящие выражения для тр и (, на границах.
Задание граничных условий для этих величин очень важно, так как они непосредственным образом влияют на устойчивость н точность решения. Рассмотрим постановку граничных условий на стенке, расположенной в плоскости у = О. На поверхности стенки ар есть константа, которую обычно полагают равной нулю. Чтобы найти ь на стенке, разложим тр в ряд Тейлора в окрестности точки (й !), расположенной на стенке: тра 1+ д ~ акр+ 2 д а ~ ~йр~ + .... (9.140) Поскольку на непроницаемой границе и по определению (9.122) (9.142) о $9.3. Уравнения Навье — Стокса для несжимаемой жидкости 617 то уравнение (9.140) можно переписать как Ф, =Фч, — —,1п (11И'+ [(ЛУ)'], или (9.
143) + 0(Л ). с ! (Ьу)а Д. Это выражение первого порядка для ~с, часто дает лучшие результаты, нежели выражения более высокого порядка, подверженные неустойчивостям при ббльших числах Рейнольдса. Например, следующее выражение второго порядка, впервые использованное Р(енсеном [Лепзеп, 1959], приводит к неустойчивым вычислениям в диапазоне от умеренных до больших чисел Рейнольдса: Брили [ВН!еу, 1970] объяснял неустойчивость, замечая, что выражение для ар в виде полинома, принятое при выводе уравнения (9.144), не согласуется с вычислениями и = д~/ду в точке (1, 2) по центральной разности.
Вычисляя и в точке (1, 2) по выражению которое согласуется с уравнением (9.144), Брили обнаружил, что его вычисления устойчивы даже при больших числах Рейнольдса. Классической задачей с замкнутыми границами является расчет течения в полости с движущейся стенкой, показанной на рис. 9.3. В этой задаче вязкая несжимаемая жидкость в полости приводится в движение движущейся верхней стенкой. Граничные условия для этой задачи указаны на рис. 9.3. Задача о течении в полости с движущейся стенкой является прекрасным тестом для сравнения разных методов решения уравнений Навье — Стокса для несжимаемой жидкости.
Обычным тестовым условием является условие пес = 100, где пес = И/т (9.146) и 1 — ширина полости. Подробные результаты вычислений можно найти в работах [Вигддга1, 1966; Вогешап, Ра((оп, 1973; )сцЬ(п, Нагг(з, 1975], результаты эксперимента — в работах [М111з, 1965; Рап, Асг(чоз, 1967]. Очень важно правильное задание значений ь и ар на границах различного типа, таких, как линии симметрии, свободные 20 д. Анаерсоя н ар. Том а 618 Гл. 9. Численные методы решения уравнений Навис — Стокса поверхности, входная и выходная плоскости, линии, на которых задается условие непротекания, и т. д.; кроме того, следует быть особенно внимательным, чтобы правильно моделировать физику течения.
В монографии Роуча 1йоас1те, 1972) имеется превосходный обзор постановки граничных условий самого разного типа. Альтернативный способ решения уравнений Навье — Стокса для несжимаемой жидкости, записанных в переменных завих- и=фи--и, о=о, Р=О, 4=-фн„ н Ф д И фй Ое В Ое 'т' 01 с тйу Рис. 9.3. Задача о течении в полости с движущейся стенкой.
ренность — функция тока, связан с использованием стационарного уравнения переноса завихренностн и — + о — =т7 ь. дй сдй дк ду Это эллиптическое уравнение можно решать методами, аналогичными применяемым для уравнения Пуассона. Такой подход с успехом использовался некоторыми специалистами, но оказалось, что он приводит к неустойчивостям. Поэтому вместо решения стационарных уравнений рекомендуется пользоваться методом установления. Распространение подхода с использованием завихренности и функции тока в качестве независимых переменных на трехмер- 4 9.3. Уравнення Навье — Стокса для несжимаемой жидкости 619 ные задачи осложнено тем, что для действительно трехмерного течения нельзя ввести функцию тока. Однако в этом случае существует векторный потенциал [Ах1х, Не!1пшз, 1967) (не путать с потенциалом скорости) Ф=Ф 1+е»»)+ар*К (9.148) удовлетворяющий уравнению неразрывности Ч Ч= О, (9.149) (9.150) при этом Ч= р Х р д9г д9» и= — —— ду дг д9а д9х о= — — +— дх дг д9» дЬ Ф= дх ду После подстановки (9.150) в уравнение (9.120) получаем рх(рх р)=1.
(9.151) Так как векторный потенциал может быть выбран произвольно так, чтобы он удовлетворял условию Ч ° ар = О, (9.152) уравнение (9 151) можно упростить, что дает 'Ряф = — 1. Это векторное уравнение Пуассона приводит к трем скалярным уравнениям Пуассона, которые необходимо решать на каждом временнбм шаге. Аналогичным образом уравнение переноса завихренности в случае трехмерной задачи является векторным, которое распадается на три скалярных параболических уравнения для определения компонент завихренностн Ь„ с„ ь,: — +и — +о — +ш — — ~ — — Ь вЂ” — с — =ту ~ дьх ~ дьх д1» дьх ди ди ди д~ дх ду дг "дх»ду .* дг ™ д1» д1» дь» дь» ди до до — + и — + о — + су — — ~ — — ~ — — ~ — = ттв~, (9.153) д~ - дх ду дг "дх»ду * д»' д1~ д~~ д4~ 'д~~ дв дю дв — +и — +о — + ту — * — ~ — ь — — ~ — = тра~,.
д1 дх ду дг " дх ду * дг Таким образом, на каждом времеинбм слое мы вынуждены решать три параболических и три эллиптических уравнения с частиымп производными. Поэтому при решении трехмерных задач подход с использованием завихреииости и функции тока в каче- 20Ф 620 Гл. 9, Численные методы решения уравнений Навье — Стокса стве независимых переменных не дает преимуществ по сравнению с подходом с использованием примитивных переменных.
Прежде чем перейти к обсуждению второго из только что упомянутых подходов, опишем кратко еще один, являющийся гибридом двух названных. В этом гибридном подходе зависимыми переменными являются компоненты вектора завихренности ь„, ьа, ь, и компоненты вектора скорости и, о, то. Компоненты вектора завихренности получают из решения уравнения (9.!53), а компоненты вектора скорости определяют, решая следующее уравнение: ЧтЧ = — Ч )( ь. (9.154) Последнее векторное уравнение йолучают путем умножения уравнения, определяющего завихренность, на оператор Ч и упрощения полученного двойного векторного произведения Ч )С (Ч Х Ч) = Ч Х ~.
Агарвал [Апагтра!, 1981) установил, что при использовании гибридного подхода нет необходимости в применении сетки с расположением узлов в шахматном порядке, что требуется в подходе с использованием примитивных переменных. К тому же постановка граничных условий проще в гибридном подходе, нежели в подходе с использованием векторного потенциала, описанного выше. (9.156) 9Л.2. Подход с использованием примитивных переменных Подход с использованием завихренности и функции тока в качестве независимых переменных теряет свою привлекательность, когда его применяют к трехмерным течениям, так как в этом случае не существует одной функции тока (как обсуждалось в предыдущем параграфе). Поэтому в трехмерных задачах уравнения Навье — Стокса для несжимаемой жидкости решают также путем использования примитивных переменных и, о, то, р. В декартовой системе координат безразмерные уравнения Навье — Стокса для несжимаемой жидкости в примитивных переменных имеют следующий вид: Уравнение неразрывности (9.155) Уравнение движения ло координате х ди', ди* ° ди", ди' —,+и —,+о —,+э — „= дС' дк' ду' дк" ме й 9.3.
Уравнения Навье — Стокса для несжимаемой жидкости 621 Уравнение движения по координате у до" ° до' , до' , до* —, + и' — „+ о' —, + ш' —. = д1' дх" ду* дк' др' ! / дао' дао' дао' х ду' нес т. дк* ду'а дх'а ~ (9.157) Уравнение движения по координате г дв", дв' ° дв* дв' —, + и' —, + о —, + св' — „= дС' дк' ду' да" кеь (9.
158) Эти уравнения приведены к безразмерному виду с использова- нием следующих соотношений: др" ди' до" дв' дй' дха ду' да' (9. 160) где р" — искусственная плотность и Р— фиктивное время, аналог реального времени в течениях сжимаемой жидкости. Искусственная плотность связана с давлением так называемым искусственным уравнением состояния р' = р'Ю (9.161) где и — коэффициент искусственной сжимаемости, который будет определен ниже.
Отметим, что установившееся решение не ° и, к, р и= —, х= —, р= р Уа ' ° о, у ° тУ,„, в х У Е тв'= —, а'= —, Вес= Одним из первых для решения уравнений Навье — Стокса для несжимаемой жидкости, записанных относительно примитивных переменных, был предложен метод искусственной сжимаемости [Спог(п, 1967]. В этом методе в уравнение неразрывности включен член с искусственной сжимаемостью, который обращается в нуль, когда решение устанавливается во времени.
При этом уравнения Навье — Стокса образуют смешанную систему гиперболически-параболических уравнений, которая решается обычным методом установления. Проиллюстрируем его на примере уравнений (9.155) — (9.158). Уравнение неразрывности заменяется следующим уравнением: 622 Гл. 9. Численные методы решения уравнений Навье — Стокса зависит от р и 1«, так как дра/д1' — «О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
