Anderson-et-al-2 (1185924), страница 39
Текст из файла (страница 39)
После каждого шага прсднктор илп корректор можно найти примитивные переменные р, и, о, ш, е, р, Т, «декодируя» век- Кеа = ппп(йеа„йеаа, цела), (9.16) где Йеах = р)и1ах р1о1ьу р1ш(аа р )теда = р Йеах = р (9.17) Е 9.2. Уравнения Навье — Стокса для сжимаемой жидкости оэ! тор 1): и, и, иа ри ро (9.18) и4 и, рте следующим образом: р=ио и= —, и, ! ца на+от+ ма и= — '— и, 2 и, и, о= — И=в и, и, (9.19) р=р(р, е), Т=Т(р, е). и,,=л„(л1„)и;,, (9.20) эквивалентно двухшаговой формуле дта ° 1)с,ьа=(1ььа ал Ж+ььа сьа) В этих выражениях.
используются фиктивные временные верх- НИЕ ИНДЕКСЫ а И *а. ОПЕратОрЫ Ьа(Л(а) И Е,(Л(,) ОПрЕдЕЛяЮтСя аналогичным образом. Другими словами, применение оператора С.„(Лг„) к 1); (9.22) Мак-Кормак [МасСоппасК 1971) модифицировал исходный вариант своей схемы, введя в нее расщепление по времени. Применение этого модифицированного метода к вязкому уравнению Бюргерса (см. п. 4.5.8) расщепляет исходную схему МакКормака на последовательность одномерных операций. В результате условие устойчивости, рассчитываемое для одномерной схемы, менее ограничительно, чем для трехмерной схемы.
Таким образом, становится возможным продвигаться по каждому направлению с максимально возможным шагом по времени. Это особенно ценно, когда допустимые шаги по времени (Л(, Л(в, Л(а) сильно разнятся из-за большого различия шагов сетки по разным координатам (Лх, Лу, Лг). Чтобы применить этот алгоритм к уравнению (9.19), определим одномерные раз- ИОСтНЫЕ ОПЕратОрЫ 1.,(Л(,) Е„(Л1а) И 1.а(Л(а) СЛЕдуЮщИМ Образом. Применение оператора Еа (Лта) к к); ь а. 592 Гл.
9. Численные методы решения уравнений Навье — Стокса эквивалентно м„ ис,'у «=испа л„7а,у+па Р~,ьа) 1Г . (9.23) и";,„= —,~и;, „+и, „— —,„(р ьа — р;; ьа)1, а применение оператора А,(Лт ) к и," К'а а=~а(А() и' ! а (9.24) эквивалентно — ль. и,,=и*,, „— —,* (о;, „, — и; па), (9.25) й,у,'а=~.(М.) а(А1„) К(а.) а(М,) Ь(а„) ~.(ж.)й,ьа (9.26) Другая последовательность, удовлетворяющая этому критерию и применяемая, когда Лу « ш(п(Ьх, Ла), задается в следующем виде: и",,',,'.= ь. (А(.) ~с.„( — "")1 с.,(А(,) 1.,(А1,)Х Х ~~„( — "Я 1.„(М,) иьпа, (9.27) где т — целое.
Алгоритм, полученный в результате применения последовательностей операторов, таких, как уравнения (9.26) и (9.2?), устойчив, если размер шага по времени в аргументе каждого из операторов не превосходит разрешенного для этого оператора максимального значения. Таи как не представляется возможным проанализировать устойчивость каждого из операторов применительно к полным уравнениям Навье — Стокса, для них можно использовать одномерные эмпирические критерии устой- Как упоминалось в п. 4.5.8, последовательность операторов является согласованной, если для каждого оператора суммы шагов по времени равны, и имеет второй порядок точности, если она симметрична.
В применении к уравнению (9.1) последовательность, удовлетворяющая этому критерию, задается выражением $9.2. Уравиеиии Навье — Стокса дли сжимаемой жидкости 293 чивости аах (! и !+ а)(1+ 2/Не,х) аау (! о ! + а) (1 + 2/Не, „) ' ааг ( ! ж ! + а) (1 + 2/Нее ) ' (9.28) аа хса и ь,=и;,,— —,„" (В;„ь,„+8;„, „— В;,,— 8;ь,), 1г ~,ьа 2 ( ю,ь + ~.ьа ас ( ю,ьа+ 1,1,а е-ььь 1-ььа)1 (9.29) где х.'..= .[1!'.х.г!-Ь'.,..1Х йт (рьь1,/,а+ ркка+ р1-ььа) ' ' л х;,, =; [1! ', „! -ь с ..) х Ъьь.! 1р",„...+2р,", „+р,'"...) (9.30) н для устойчивости 0 ( и, ( 0.5. Таким образом, в уравнения Навье — Стокса добавляется член с искусственной вязкостью где о — коэффициент запаса и а — местная скорость звука.
Численные расчеты уравнений Навье — Стокса для сжимаемой жидкости иногда «разваливаются» из-за осцилляций, которые являются следствием неадекватного измельчения сетки в областях больших градиентов. Во многих случаях измельчение сетки в этих областях лишено практического смысла, особенно если они сильно удалены от рассматриваемой области. Для таких ситуаций Мак-Кормак и Болдуин (МасСогшасК Ва1с(ти1п, 1975) разработали сглаживающую схему четвертого порядка, являющуюся альтернативой сглаживающей схеме четвертого порядка, заданной уравнением (8.100).
При сглаживании по Мак-Кормаку к оператору Ь (сьг,) добавляются диссипативные члены следующим образом. 594 Гл. 9. Численные методы решения уравнений Навье — Стокса вида (9.3!) Величина этого сглаживающего члена очень мала всюду, за исключением областей резких осцилляций давления, в которых аппроксимация без сглаживания приводит к ошибочным результатам. Явная схема Мак-Кормака годится для расчета как стационарных, так и нестационарных течений в диапазонах от малых до умеренных чисел Рейнольдса. Однако ее применение не дает Грубая севка Мелкая севка =с =1 Ж (=! 2 3 Рис.
9Л. Расчетная сетка для течения на плоской пластине при больших числах Рейнольдса. удовлетворительных результатов в случае течений при больших числах Рейнольдса, когда области с преобладающим влиянием вязкости становятся тонкими. Для таких течений сетка должна сильно измельчаться, чтобы разрешить вязкие области надлежащим образом. Это в свою очередь приводит к малым шагам по времени и, следовательно, к большим временам счета, если используется явная схема, например схема Мак-Кормака. Чтобы показать это, рассмотрим двумерное течение на плоской пластине при больших числах Рейнольдса. Тогда вблизи поверхности пластины требуется очень мелкая сетка для разрешения пограничного слоя, а в невязкой части поля течения можно пользоваться более грубой сеткой, как показано на рис.
9.1. На грубой сетке можно использовать расщепленную по времени схему Мак-Кормака ис, (.,( — )(.п(ЛО(.,( — ) Нс, Ж( пня(2Л1„АГе)тр „. (9.32) где (9.33) 5 9ЗЬ Уравнения Навье — Стокса для сжимаемой жидкости 595 На мелкой сетке может бы ь использована следующая последо- вательность операторов: (7'д' ~Е„( — ) Е„( — )Е~( 9 )1 0.,~ (9.34) где нт — наименьшее целое, удовлетворяющее условию — ~ (т!и (см'„, 2емк)м. с.. (9.35) Прр больших числах Гейнольдса область мелкой сетки становится очень тонкой, что требует, чтобы Лу было мало.
Это приводит к очень малым Лг„в операторе Е„и очень большим целым и. Следовательно, существенная часть машинного времени тратится на расчет в области измельченной сетки. Для преодоления этой трудности Мак-Кормак 1МасСогшаск, 1976) разработал гибридную версию своей схемы, названную схемой МакКорасака быстрого счета. Эта гибридная схема является частично явной и частично неявной. Для течения на плоской пластине, о котором шла речь выше, схему быстрого счета можно реализовать, если заменить оператор Еа(сь(/2т) в уравнении (9.34) на ын ( 9»с ) а» ( 9»с ) в котором оператор Е„» действует на невязкую (гиперболическую) часть уравнений Навье — Стокса, т.
е. на ди днн + »=о д1 ду (9.36) где Г» определен как ри рип Гн= Ро +Р (Ес+ р) о (9.37) д0 ди — + —.' =О, дт д» (9.38) где Гя = à — Г». Уравнение (9.36) решают с оператором Е„» либо методом характеристик, либо при помощи первоначальной версии схемы Мак-Кормака [Е1, 1977; 8йапд, 1977). Уравнение (9.38) решают с оператором Еая при помощи неявной схемы, на- Оператор Е„, действует на вязкую (параболическую) часть урав- нений Навье — Стокса 696 Гл, 9. Численные методы решения уравнений Навье — Стокса 9.2.2.
Другие явные схемы Помимо схемы Мак-Кормака для решения уравнений Навье — Стокса в случае сжимаемой жидкости можно использовать и другие явные схемы, включая схему «классики» (п. 4.2.12), схему «чехарда» (Дюфорта — Франкела (п. 4.5.2)), схему Браиловской (п. 4.5.3), схему Аллена — Чена (п. 4.5.4), схему Лакса — Вендроффа (п. 4.5.5). Эти схемы обсуждались ранее в связи с применением для решения либо уравнения теплопроводности, либо вязкого уравнения Бюргерса.
Когда эти схемы применяются к уравнениям Навье — Стокса для сжимаемой жидкости, которые имеют более сложный вид по сравнению с только что названными уравнениями, то возникают некоторые трудности. Например, представляет определенную сложность аппроксимация членов со смешанными производными в схеме «классики». Если их дискретизировать обычным способом, применяя уравнение (3.51), то эта схема перестает быть явной, так как требуется обращение матриц. Этого можно избежать, если брать члены со смешанными производными с предыдущего по времени слоя. Все названные выше схемы, за исключением схемы Лакса— Вендроффа, имеют первый порядок аппроксимации по времени, поэтому их нельзя использовать для точных расчетов изменяющегося во времени поля течения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
