Anderson-et-al-2 (1185924), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Алгебраические методы Для адекватного разрешения вязкого пограничного слоя размещение узлов сетки вблизи твердых границ мы задавали в гл. 5 при помощи алгебраических выражений. В другом при- З 1Олв Алгебраические методы мере было использовано нормализующее преобразование области, чтобы сообразовать размещение узлов сетки с положением поверхности тела и ударной волны в физическом пространстве. Все это примеры простых алгебраических отображений. При построении сетки таким способом используются известные функции в одном, двух или трех измерениях, чтобы перевести физическую область произвольной формы в прямоугольную вычислительную область. Хотя вычислительная область и не обязательно должна быть прямоугольной, обычно простоты ради применяются именно прямоугольные области. к! Рис.
1Олв Конфигурация сопла. Простейшая процедура, пригодная для построения адаптированной к границе области расчетной сетки, есть обсуждаемое в $5.6 нормализующее преобразование. Пусть необходимо построить сетку для расчета течения в расширяющемся сопле, изображенном на рис. 10.2. Положение стенки сопла задается функцией у=х', 1.0(х(2.0. (10.3) В этом примере сетку легко построить, выбирая постояннным шагом по координате х и деля каждый отрезок между осью сопла и стенкой на одинаковое количество частей. Эта процедура описывается следующими зависимостями: в = х, т) = у/у,„, (10.4) где у „(х) — уравнение стенки сопла.
При этом значения х и у легко находят по заданным значениям ~ и т1. Построенная в физической области сетка изображена на рис. 10.3, Следует быть внимательным при расчете метрических коэффициентов преобразования. В частности, производные т)„и т)а, Гл. !О. Методы построения расчетных сеток рассчитываемые по уравнениям (10.4), имеют внд У ~Умах ~Ч га г У~пах ! ! Чу г Ушах (10.5) (10.6) В только что рассмотренном примере преобразование было аналитическим н с его помощью сразу получили распределение Ьч -" 0.25 дт) = 0.25 х=! Рис. !0.3.
Расчетная сетка в физической плоскости. Уч (10.7) х! ЧУ=УФ У=х у„— у х„. Подробнее об этом будет говориться ниже, где рассматриваются методы построения расчетных сеток путем решения днфферен- цнальных уравнений. узлов сетки. Можно было бы построить такое же преобразование, задавая точки в физической плоскости вдоль линий постоянства $ н т! н численно вычисляя метрические коэффициенты с использованием центральных разностей. Это имеет то пренмущество, что можно задавать точки в любом месте физической плоскости. В этом случае преобразование будет численным, а не алгебраическим. Если преобразование задается численным образом, то ха, х„, уг н уч рассчитываются разностнымн методами.
В днфференцнальном уравнении, которое следует решить, фигурируют величины $„, $н, т1„н т1„. Их определяют нз выражений 4 10.2. Алгебраические методы Пример 10.2. Вычислить метрические коэффициенты только что рассмотренного простого нормализующего преобразования аналитически и численно. Метрические коэффициенты будем вычислять в точке (1.75, 2.2969) (см. рис. 10.3). Аналитический расчет по уравнению (10.5) дает Чл = = — 0.85714. 2 (0.75) 1.75 Численный расчет будем проводить по уравнению (10.7). Сначала вычислим якобнан 3.0625 — 1.53125 Х = хтдч уахч = 2 0 — — 3.06250, ( ) и затем и, наконец, Ч = 5062 = — 0.857!4. 2.6250 В этом примере численный и аналитический расчеты дают одинаково хорошие результаты. Конечно же, это не всегда так. Пример 10.3.
Изображенная на рис. 10.4 область в форме трапеции отображается на прямоугольную область, заданную следующими уравнениями: !+3 з — ч х=— 2 2 ч +1 2 (10.8) Для построения требуемых расчетых сеток можно использовать очень сложные алгебраические функции. Смит и Вейгель '!8гп(1)г, %е1де1, 1980] разработали гибкий метод построения сеток.
В нем две несвязанные границы отображаются из плоскости прямоугольных физических координат на вычислительную плоскость. Пусть в физической плоскости две несвязанные гра- Здесь физическая область отображается на прямоугольник с центром в начале координат. Это пример нормалнзующего преобразования по одному направлению и последующего параллельного переноса.
Понятно, что любая четырехугольная форма может быть отражена на прямоугольник в вычислительной области использованием нормализующего преобразования. Гл. 1О. Методы построения расчетных сеток ннцы задаются уравнениями Хв1=Х~(Р Ув1=У1(й) ХВ2 = Хз (ь), Ува = Уз (ь). В вычислительной плоскости $ изменяется на отрезке 0 ( $ ~ ( 1 н преобразование определяется так, что прн Ч = 0 хв, = х, (з) = х ($, 0), Ув| =У1($) =У($, 0) (10.9) н прн Ч = 1 хв,— — хя($) =х($, !), =Уз(ь)=У(ь 1) Некоторая функция, определенная прн 0 <Ч < 1 н зависящая (О, 1) (От О) (2, О) Рис. 10.4. Область в форме трапеции в физической плоскости.
Пример 10.4. Чтобы на практике показать применение этого подхода, отобразим трапецию, задаваемую уравнениями х=О, х=.1, У=О, у=1+ х, от параметров на двух границах, задается алгебраическими вы- раженнямн в виде х=х($, Ч) = Р(хь — ', ..., хз, — „*, ...), (10.11) Смит н Вейгель предлагают использовать полнномы второй нлн третьей степени. Если выбрать линейную функцию, то х = х, ($) (1 — Ч) + хт (з) Ч, у=у1(ь)(1 Ч)+уз(ь)Ч.
(10.12) % 10.2. Алгебраические методы 63г на вычислительную плоскость. В этом случае для верхней н нижней границ можно записать хю — — х,©=$, уш — — у,($)=0, хат хе (ь) е уаз уз (е) 1 + е Это приводит к отображению, заданному уравнениями (10.12) и имеющему вид х = $, у = (1 + $) т!. (10.13) Такая параметризация дает простое нормализующее преобразование, обсуждавшееся выше.
В этом примере и правая, и левая границы также отображаются корректно. Так получилось случайно, и в более общих случаях этого не происходит. Выбирая нелинейную функцию при параметризации уравнения, задающего границу, можно получить другое распределение узлов сетки. Например, если х1 = Д, хг = $', то х=аз, у=Ч(1+$з). Если используются полиномы третьей степени, то вид преобразования становится таким: х = х! (ь) т1(Ч) + хз($) тз (Ч) + Л ($)тз(Ч) + и (е) !4 (Ч)~ (10.14) У У1( ) 11(Ч) + Уз( ))з(Ч)+ ЛЧ ( )1з(Ч)+ бч ( ) 14(Ч) где ~~ (Ч) = 2т!з Зт!и + 1 !з(т!) = — 2т!т+ ЗЧз, ~з(Ч) = Ч' — 2Ч'+ Ч 1е(Ч) = Ч Ч ° То, что в выражение для преобразования входят производные от функций, задающих границы в физической плоскости, делает отображение более гибким.
Например, можно добиться ортогональности сетки на границе в физической плоскости !Котра!зЫ, 1980) . В большинстве задач границы задаются не аналитическими функциями, а просто набором точек. В этом случае, чтобы выполнить отображение, граница должна быть аппроксимирована подходящей кривой. Айсман и Смит !Е!зетап, Яш!!)т, 1980) обсуждают возможные способы реализации этого и рекомендуют напряженные сплайны, так как аппроксимации более высокого порядка, включая кубические сплайны, дают волнистость на границах. Посредством параметра натяжения напряженного сплайна можно управлять этим явлением. Гл.
!О. Методы построение расчетных сеток Описанный в данном разделе метод двух границ (или двух поверхностей) является только одним из алгебраических методов построения расчетных сеток. Применяются и другие методы этого типа, например метод многих поверхностей [Е(земан, 1979]. Он аналогичен методу двух поверхностей, но определяет структуру сетки на любом количестве промежуточных контрольных поверхностей.
В последнее время большое внимание уделяют методу трансфинитной интерполяции [Оогбоп, На!1, 1973], который подробно описан в работе [Е!хг1, Ег!!сезон, 1981] и напоминает метод двух поверхностей, когда координаты и производные задаются на границах. Основное преимущество использования алгебраических отображений состоит в том, что они являются прямыми и метрические коэффициенты можно вычислять аналитически. К тому же их можно применять в трехмерных задачах.
Требуется, правда, проявить изобретательность, чтобы получить сетку с адекватным размещением узлов. $10.3. Методы, основанные на решении дифференциальных уравнений В предыдущем параграфе были описаны алгебраические методы построения расчетных сеток. Приемлемой является любая процедура, применение которой приводит к построению пригодной сетки. Методы, основанные на решении дифференциальных уравнений, относятся к числу самых развитых. При использовании дифференциального уравнения для построения сетки можно учесть свойства решения этого уравнения. Для этой цели часто применяют уравнения Лапласа и Пуассона. Причину выбора уравнения Лапласа лучше можно понять, если рассмотреть задачу стационарной теплопроводности в двух измерениях с граничными условиями Дирихле. Решение этой задачи дает гладкие (вторые производные существуют и непрерывны) и непересекающиеся изотермы.
Число изотерм в данной области может быть увеличено добавлением источникового члена. Если изотермы брать за линии сетки, последние будут гладкими и непрерывными. Величиной источиикового члена можно управлять их сгущением в любой области. Томпсон и др. [Тпошрзоп е! а1., !974] много работали над применением эллиптических уравнений с частными производными для построения сеток. Эта процедура аналогична той, которую использовал Уинслоу [Ф!пз!о~ч, !966]; она преобразует физическую плоскость в вычислительную, причем отображение осуществляется в соответствии с уравнением Пуассона.
Это отображение строится требуемым заданием точек сетки (х, у) на границе физической области. Тогда распределение внутрен- й 10.3. Методы, основанные на решении дифференциальных уравнений 639 них узлов определяют из решения уравнений (10,15) где $, е) — координаты в вычислительной области, а через члены Р и Я осуществляется управление размещением узлов внутри Р. Затем в уравнениях (10.!5) за независимые псременные принимают координаты 5, т) в вычислительной плоскости, после чего мы имеем систему двух эллиптических уравнений вида ахи — 25хйч+ ух„„= — Р(Рхх+ Яхч), (! 0.16) ауи — 2~уй„+ уу„„= — Р(Ру + Яу„), где а=хе+ув 5=хх +уу, у=хе+у', Х= ' =ху — хуа.
д (х. у) д($, 11) ч Эту систему решают на равномерной сетке в вычислительной плоскости (й, ь)), что дает координаты (х, у) каждого узла в физическом пространстве. Для простых связных областей граничные условия Днрихле могут быть использованы во всех точках границы. Такой метод построения сетки имеет много достоинств. Сетка получается гладкой, преобразование однозначным, а границы сложной формы легко обрабатываются.
Конечно, метод имеет и свои недостатки. Задание Р и Я является непростой задачей, трудно управлять размещением узлов сетки во внутренней части, да и границы области могут изменяться со временем. В последнем случае сетка должна перестраиваться после каждого шага по времени, что может приводить к большим затратам машинного времени. Простой пример приложения метода Томпсона изображен на рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
