Anderson-et-al-2 (1185924), страница 49
Текст из файла (страница 49)
Это дает (10.48) Для определения распределения узлов сетки это стационарное уравнение может быть решено на любом временнбм слое. В подходе, который предложили Хайндман и Спенсер, стационарное уравнение, определяющее закон построения сетки, дифференцируют по времени и полученное уравнение решают относительно скорости движения узлов сетки хо В нашем примере ее находят из уравнения х, + хтЕ= — ( и, (10 49) Е Е Е т ЕЕ ы, то~ Ее ~о1 Один из способов построения сетки на следующем временнбм слое — простое интегрирование скорости движения ее узлов. Стационарное уравнение служит только отправной точкой для получения уравнения (10.49).
Однако если используется при этом адаптивная сетка, то процесс построения последней начинает релаксировать. Лучше решать уравнение (10.49) относительно скорости движения узлов, чтобы полученные значения использовать при интегрировании уравнений с частными з 10.4. Адаптивные сетки производными, определяющих физические процессы.
При этом скорости движения узлов интегрируются для получения приближенных положений узлов. Затем решается стационарное уравнение (10.48) при помощи этих приближенных значений в качестве начального приближения. Применение такой процедуры обеспечивает корректность значений скоростей узлов сетки, при этом стационарное уравнение, задающее закон построения сетки, будет корректным образом удовлетворено. Главная трудность применения этой процедуры в том, чтобы получить подходящие оценки производных по времени от весовой функции си~с. Проще это сделать численным образом.
Во всех случаях, кроме простого скалярного уравнения, очень трудно получить аналитическое выражение этого члена. Ранее Хайндман и др. (Н!пйпап е1 а1.„1919) использовали аналогичный метод при построении составной структуры решения уравнений Эйлера. Уравнения в разных частях поля течения решались в различных вычислительных областях, связанных через границы, которые могут быть либо проницаемыми, либо непроницаемыми.
Движение узлов сетки вызывается только движением границ. Значения скорости движения узлов сетки получают дифференцированием по времени уравнений (10.16). Это приводит к системе уравнений с частными производными вида (з) чгт= г, (10.50) где вектор ти записывается в виде (10.51) (з) — матрица коэффициентов, вектор г — функция, управляющая построением сетки. Новые положения узлов сетки на каждой итерации или временнбм слое получают интегрированием скорости движения узлов.
Во всех рассмотренных случаях этот метод срабатывал очень хорошо. Отметим, однако, что в этой работе не осуществлялось управление сгущением узлов внутри областей (Р и Я были равны нулю). Рай и Андерсон [Ка1, Апдегзоп, 1980, 1982) разработали метод, в котором скорость движения узлов сетки регулируется путем вычисления локальной ошибки в численном решении. Это можно делать, сгу1цая узлы в областях с большими ошибками и, наоборот, делая их более редкими в областях, где ошибки численного решения малы.
Разумно также полагать, что чем большее расстояние разделяет любые две точки, тем в меньшей степени они влияют друг на друга. Если опять мы будем обозначать координаты в физической плоскости через к, 1, а в вы- 2!а 652 Гл, !О. Методы построения расчетдых сеток числительной — через $, т, то уравнение для скорости движения узлов можно записать в таком виде: л 3-! ч~ъ 1е!! — !е)а„~.а !е1! — 1е1ат ! ! ,+, тц „, гц (10.52) (Хт)! = (е!)с/(еа)с (10.53) с начальными условиями 1' 1, х=О, и(О х)=1, О, О<х<1, и граничными условиями и (1, 0) = 1, и (г, 1) = 0 решали, используя в уравнении (10.52) градиенты в качестве е, т. е.
меры локальной ошибки. Результаты численного решения уравнения Вюргерса можно сравнить с точным аналитическим решением и = и 11! [+ (1 — х)~, где е — некоторая мера локальной ошибки, а нижний индекс ач означает усреднение по всем узлам сетки, гц — расстояние между узлами (и 1, возведенное в степень и.
Константа й в этом уравнении произвольна, так как не существует физического закона, связывающего скорость движения узлов и ошибку. Одна из основных трудностей применения этого метода состоит в определении подходящим образом меры ошибки. Рай и Андерсон предлагают взять за нее ошибку аппроксимации в дифференциальном приближении разностной схемы. Чтобы иметь лучшее разрешение, они использовали также градиенты вместо локальной ошибки. Благодаря достаточно общему представлению скорости движения узлов в уравнении (10.52), любой разумный выбор е можно использовать для управления движением сетки.
Следует считать, что уравнение (10.52) задает метод равномерного распределения ошибки по сетке. При этом вычисляемую скорость узлов можно интерпретировать как остаточный член численного решения на сетке, удовлетворяющей некоторому закону эквираспределения. Хотя одномерные примеры не отражают всей сложности задач построения сеток более высокой размерности, они все же демонстрируют эффект применения адаптивных сеток. Нестационарное вязкое уравнение Бюргерса и, +ии =(аи „ $10.4.
Адаптивные сетки где й находят из решения (й — 1)/(й + 1) = е " и', Ке = 1/1х. 0.2 О. 0.1 О. О. О.О 0.2 0.4 0.8 0.8 !.О 0.0 0.2 0.4 0.6 0.6 1.0 Рнс. !0.8. Величина ошибки в процентах в расчете при це = 2; х — физическая ноордината; О неадаптивная сетка, хх адаптивная сетка, Рнс. !0.9. Величина ошибки в процен- тах в расчете при Йе = 3; обозначе. ния см, в подписих к рис. 10.8. прежде, чем успевают выработаться градиенты. Это обеспечивает лучший контроль за движением узлов сетки. Если сглаживание не производить, то полученные результаты расчета будут сильно осциллировать.
Метод построения расчетной сетки путем задания скорости движения узлов легко распространить на случай двух измерений. Если для $! воспользоваться уравнением типа уравнения (10.52), то можно вывести аналогичное выражение для т)ь в котором величины зависят только от производных по направлениям $ или т), причем т)~ зависит только от производных зависп- Последнее описывает стационарный случай, причем его наклон на правом конце интервала тем круче, чем больше число Рейнольдса. На рис. 10.8 и 10.9 показаны результаты расчета при двух разных значениях числа Рейнольдса. Очевидно, что применение адаптивных сеток приводит к уменьшению ошибки в обоих примерах. Следует отметить, что решение сглаживается Гл.
1О. Методы построения расчетных сеток мых переменных по направлению 21. Для преобразования вида 1=т, $=$(х, у, 1), у) =у)(х, у, 1) получаем Врпу — Чийу Члоу — Ьпу х,= ., рч= (10.54) Х = $„2)н — т)„вя. Уравнения (10.54) позволяют вычислять скорость движения узлов сетки в физическом пространстве. На рис. 10.10 изображена сетка, использованная в задаче расчета сверхзвукового обтекания цилиндра невязкой жидкостью. Эта задача была решена с использованием как неподвижной, так и адаптивной сеток. При построении адаптивной сетки использовалась информация о величине н = 2 градиента численного решения (рис.
!0.11). Так как точное решение задачи неизвестно, то за основу при сравнении было взято численное решение, полученное на неподвижной сетке размером 19 Х 19. Можно видеть, о.оо 1 у что ошибки численного решения уменьшаются даже в том случае, когда адаптивная сет-з.оо о.оо ка не слишком отличается от Рнс.!0.10.
ддаптнвная сетка для за- неподвижной. Очевидно, что дача Расчета обтекания анлнндра в схемы с применением адаптивфнзнческнх координатах х, у. ных сеток пригодны и для трехмерных задач. Однако для построения полностью трехмерной сетки требуется совсем другое уравнение для скорости движения узлов. Иногда бывает трудно подобрать подходящую меру величины ошибки для контроля построения сетки. Как отмечалось ранее, такой мерой, видимо, является первый член ошибки аппроксимации дифференциального приближения разностной схемы. Клопфер и Макрзй 1К!ор1ег, Мсучае, !98!Ь) получили ошибку аппроксимации дифференциальных приближений разностных схем для решения уравнений Эйлера.
Они использовали ее в качестве меры ошибки численного решения при построении сетки в примерах с одним измерением. В некоторых э !ОЛ. Адаптивные сетки случаях это дает даже более точное представление для ошибки и может оказаться полезным и в многомерных задачах. Интерес представляет лишь первый член ошибки аппроксимации дифференциального приближения уравнения в частных производных. Порядок производной в этом члене зависит от используемой разностной схемы. Например, если для уравнения первого порядка используется схема второго порядка, то первый член а.о!а н - о,оа ! я ЮВ зк О 10 20 60 а!о 50 60 10 60 90 0 Рис. 10.11.
Распределение давления в задаче обтекания цилиндра; Π— физичесиая координата; — неподвижная сетка размером !ОХ 10;— адаптивная сетка размером 10 Х 1О. ошибки аппроксимации есть производная третьего порядка и локальная ошибка численного решения будет пропорциональна третьей производной. В результате сетка для некоторой конкретной задачи будет единственной в своем роде и будет зависеть от выбранной разностной схемы.
Тем не менее применение такой сетки приводит к уменьшению ошибки. Другой задачей, представляющей интерес с точки зрения применения адаптивных сеток, является задача, в которой отслеживается положение скачка. Пусть мы ищем установившееся решение двумерных уравнений Эйлера. Условия Гюгонио — Рэнкина для стационарного течения образуют требуемые соотношения параметров потока при переходе через любой разрыв, а требование слабого решения дифференциального уравнения в частных производных обеспечивает математическую связь между параметрами потока и углом наклона скачка. Если уравнения после установления по времени записываются в виде да др — + — =О, дх др то условия на скачке (см.
$4.4) задаются выражением [В! соз а! + Щ соз аз = О, (10.56) Гл. 1О. Методы построения расчетных сеток где сон се, и сонат — направляющие косинусы между единичными нормалями к скачку и осями к и у соответственно. Для исключения осцилляций скачок следует расположить так, чтобы совах = О. В этом случае [Е[ = О. (10.57) Это означает, что вектор Е непрерывен при переходе через скачок. Последнее выражение должно быть подходящим образом дискретизировано. Это можно осуществить, применяя конечноразностные методы, в которых построение сетки сообразуется с Рнс. 1О.!2.
Распределение узлов в вычислительной плоскости прн адаптации сетки к положеннпз скачка. положением скачка. Поскольку мы требуем, чтобы соз аа = О, то необходимо координатные линии только одного семейства направить вдоль скачка [МасСогнтаск, Рап!1ау, 1972]. Метод [хта1, Апдегзоп, 198Ц выстраивания линий одного семейства координат вдоль скачка основан на генерации скоростей узлов сетки, которые производят эффективное вращение сегментов линий, соединяющих узлы сетки, к направлению, параллельному поверхностям уровня одного из параметров потока. Рассмотрим показанное на рис. 10.12 распределение узлов в вычислительной плоскости.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
