Anderson-et-al-2 (1185924), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Теперь уравнения (8.113) и (8.114) можно подставить в уравнение неразрывности и получить уравнение Пуассона в виде дар' дар' д.ха дхй Искомые поправки к скоростям теперь можно получить путем численного решения уравнения (8.115) с использованием уравнений (8.113) и (8.114). Этот подход известен как р'-процедура для получения поправок к скорости. Были предложены усовершенствования этой процедуры, в которых пытались пользоваться более полной формой уравнения движения в связи с определением поправок к р'.
Некоторые модификация р'-подхода описаны в работе [ма11ЬЬу, БсЬпе)бег, 1979]. 4. На следующем шаге обновляется давление. Только что рассяитанные поправки к скорости не требуются для удовлетворения полного уравнения движения. Теперь необходимо построить уточненное поле давления в поперечном сечении, которое при использовании полных уравнений движения будет порождать распределение скоростей, удовлетворяющее уравнению Здесь р' можно считать просто некоторой потенциальной функ- цией (подобно ф), которая используется для образования по- правок к скорости, удовлетворяющих уравнению неразрывности. В некоторых схемах (как и в оригинальной схеме Патанкара н Сполдинга (Ра1ап)саг, Бра!йпд, 1972]) р' считается текущей поправкой, которая добавляется к предварительному значению давления.
Так как в предыдущем сечении по продольной коорди- нате поправки к скорости можно считать нулевыми, то уравне- ния (8.111) и (8.112) можно интерпретировать как о = — А —, др' а др в,= —  —, др' (8.114) $ зни Методы решения уравнений Навье — Стокса лая лозвук. течений 557 неразрывности. Для этого применяется несколько способов, Скорректированные значения скоростей можно использовать в дискретизированных уравнениях движения для получения градиентов давления, согласованных с новыми значениями скоростей.
Символически это запишется в виде др/ду = Рь др/дг = Р,. (8.116) (8.117) Одну из оценок «наилучшего» обновленного поля давления можно получить, решая уравнение Пуассона, выведенное из уравнений (8.116) и (8.117): — + — = — '+ — =В . дар дар дР1 дРа дуа даа ду дн (8.118) Правая часть уравнения (8.118) вычисляется по днскретизированным уравнениям движения при помощи скорректированных скоростей и трактуется как некоторый источниковый член.
Патанкар 1Ра!апкаг, 1980] предложил несколько отличную формулировку, которая также приводит к уравнению Пуассона для обновленного давления (алгоритм 8!М").ЕК). Алгоритм 31МР1ЕК есть $1МЕЕ пересмотренный (геу!зеб). Решая любое из выписанных выше уравнений Пуассона, особое внимание следует обратить на численное представление граничных условий. Дискретизация и метод решения должны обеспечивать выполнение теоремы Гаусса (см.
п. 3.3.7). Более подробный пример, представления граничных условий для уравнения Пуассона будет приведен в п. 8.4.3. Рейсби и Шнейдер (йа!!поу, ЯсЬпе!бег, 1979) предложили схему расчета обновленного давления, которая не требует решения второго уравнения Пуассона. Они назвали ее Р()МР1)ч( (Ргеззнге ТЛрба!е !гоги Мп!Бр!е Ра!)т !п!ецга!!оп). Ее идея состоит в том, что изменение давления от точки к точке можно рассчитывать интегрированием уравнений (8.116) н (8.117) при помощи скорректированных скоростей в уравнениях движения при вычислении р, и Рь Для правильно скорректированных величин скорости о и ш изменение давления между двумя любыми точками в плоскости поперечного сечения, вычисленное по этой процедуре, не зависит от пути интегрирования.
Если значения скоростей о и си скорректированы не совсем точно (точность будет только тогда, когда достигнута сходимость), то результаты будут различаться для двух разных путей между двумя точками. Одну точку мы можем взять в качестве опорной и вычислять давление в других точках поперечного сечения осреднением величин, получаемых интегрированием по нескольким разным путям между опорной точкой и интересующей нас 558 Гл.
8. Решение нараболнаованных уравнений Навье — Стокса точкой. Рейсби и Шнейдер [Гса!!ЬЬу, ЗсЬпе!бег, 1979] сообщилн, что удалось получить хорошие результаты, осредняя давления при интегрировании только по двум путям от опорной точки до рассматриваемой: (а) сначала вдоль у = сопз! и затем вдоль г = сопз(; (Ь) сначала вдоль г = сопз! и затем вдоль у = сопз!.
Давление можно также обновлять совсем простым способом, принимая за добавляемую к давлению поправку величину р', получаемую из процедуры Патанкара и Сполдннга ]Ра!ап!саг, Бра(б!пд, 1972] (см. уравнение (8.115). 5. Так как не удается удовлетворить одновременно уравнениям движения и неразрывности, шаги (2) — (4) обычно повторяют с итерированием в каждом поперечном сечении, прежде чем перейти к следующему.
Обычно применяется нижняя релаксация для поправок к скорости и давлению, т. е. при переходе от шага (3) к шагу (4) только некоторая определенная доля вычисленных поправок прибавляется к предварительным значениям о и ти. Величина этой доли меняется от метода к методу. Аналогично перед переходом к шагу (2) подстраивают давление, добавляя только часть рассчитанной поправки. Иногда для организации такого итерационного процесса пользуются зависящими от времени уравнениями. Так как шаги (2) — (4) итерируются, то принято прекращать решение промежуточного уравнения Пуассона для поправок к скорости и давлению (особенно в последнем случае) на первых итерациях, не дожидаясь полной сходи- мости. Пока сходимость в целом получена не будет, мало пользы в стремлении получить наилучшее распределение давления, основанное на неправильном распределении скорости.
Итерирование шагов (2) — (4)' заканчивается, когда поле давления устанавливается, что приводит к решениям уравнений движения, удовлетворяющим уравнению неразрывности в пределах заданных отклонений, т. е. когда нет нужды более корректировать скорость. 6. После достижения сходимости шаги (1) — (5) повторяются в следующем сечении, расположенном ниже по потоку. Рейсби и Шнейдер '(Гта!!ЬЬу, ЗсЬпе(бег, 1979! сообщили о сравнительном исследовании описанных выше методов коррекции скорости и давления.
Главным достоинством метода считается число итераций шагов (2) — (5), необходимое для достижения сходимости. Представляют интерес затраты процессорного времени для различных алгоритмов, но об этом ничего не' сообщается. Зафиксировав метод обновления давления, они отмечают, что все методы получения поправок к скорости рабо- $ 8.4.
Методы решении уравнений Навье — Стокса дла доввук. течений 559 тают удовлетворительно. Различие между ними по требуемому числу итераций мало. Когда, наоборот, фиксировался какой-то один метод получения поправок к скорости и сравнивались разные методы коррекции давления, авторы заметили, что р'-метод Патанкара и Сполдинга [Ра1апйаг, Вра16!пп, 1972] требует значительно большего числа итераций для достижения сходимости, нежели другие методы.
Методы, использующие уравнение Пуассона, и РУМг 1Х- процедура требуют примерно вдвое меньшего числа итераций, чем р'-метод. В Р13МР1Ь1-методе требуется наименьшее число итераций, отнесенное к заданному диапазону отклонений. По результатам исследования работы [Ка1!ЬЬу, БсЬпеЫег, 1979] не рекомендуется пользоваться р'-методом. К такому же выводу приходит и Патанкар [Ра1апйаг, 1980], предлагая свой 91МР[.ЕК-алгоритм, использующий уравнение Пуассона вместо р'-метода обновления давления.
Возможно, р'-метод может конкурировать с другими методами, если за критерий качества принять процессорное время, а не число итераций. Известны расчеты [Ра1ап!саг, Бра!4!пп, 1972; Саге11о е1 а1., 1972; Вгйеу, 1974; ОЬ1а е1 а!., 1977Ь; ОЬ!а, ЗойЬеу, 1977а; Ра1апЕаг е1 а1., 1974], выполненные по трехмерной параболической модели. В случае течений в каналах с переменным сечением для частичного учета влияния эллиптичности в направлении основного течения были сделаны предположения с целью включения в анализ давления невязкого потока, определяемого заранее. Использовались как регулярные сетки, так и сетки с расположением узлов в шахматном порядке. Концепции математической модели, по-видимому, хорошо выработаны. Вероятно,'нужны дальнейшие усовершенствования алгоритма, особенно это относится к сильно неявному алгоритму, который лучше приспособлен для одновременного решения уравнений, чем для раздельного подхода с сегрегированием.
Не очень хорошо известны свойства трехмерной параболической процедуры для течений, скорость которых близка к звуковой. вмяв Параболические ироиедуры дла трехмерных свободных сдвиговых и других течений Применение обсуждаемой в предыдущем разделе процедуры не ограничено только внутренними течениями. Главная особень ность трехмерной параболической модели заключается в разделении членов с градиентами давления по продольному и поперечным направлениям.
В случае внутренних течений градиент давления в направлении основного течения определяется нз условия постоянства расхода массы. Основные элементы этой МО Гл. 8. Решение параболнзованных уравнений Яавье — Стокса процедуры можно использовать при расчете трехмерных течений других видов, если градиентом давления в продольном направлении можно пренебречь или если он известен заранее.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
