Anderson-et-al-2 (1185924), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Во многом это сходно с тем, как поступают в случае двумерных и осесимметричных течений, рассчитываемых по уравнениям тонкого сдвигового слоя. С другой стороны, давление р, входящее в уравнения движения по направлениям у и г, изменяется в поперечном сечении канала. Предполагают, что статическое давление в канале равно сумме 18 и р. Физические соображения в пользу такой процедуры разложения давления состоят в том, что изменения давления поперек канала столь малы, что включение их в уравнение движения в продольном направлении дает пренебрежимо малый эффект.
Поэтому в проекции уравнения движения на продольное направление пренебрегают изменениями давления в поперечном сечении. С другой стороны, эти малые изменения давления включают в уравнения движения по направлениям у и г, так как они играют важную роль в распределении обычно малых компонент скорости по направлениям, нормальным к стенкам. Для определения р не требуется информация снизу по потоку; р есть функция только х и может быть найдено однозначно в каждом поперечном сечении по заданному полному расходу и уравнениям движения. Это позволяет свести задачу к параболической. С другой стороны, так как р зависит как от д, так и от г, то для дозвуковых течений уравнения являются эллиптическими в плоскости у, г.
Фактически для р(у, г) в поперечном $8Л. Методы решения уравнений Навье — Стокса для доавук. течений 553 сечении можно вывести уравнение Пуассона из уравнений движения по направлениям у и г. Глобальная процедура вычислений требует тогда решения эллиптических уравнений в каждой поперечной плоскости, а прн продвижении по координате х решение получают, используя параболическую процедуру, В соответствии с гипотезой Буссинеска напряжения в приведенных выше уравнениях рассчитываются (с учетом соглашения о суммировании по повторяющимся индексам) по формулам т ди дит 2 ди 'т 2 ты=(1ь+)ьт)~дх + д з б'! дх ) з рйбно (8.108) Делая аналогичные допущения, для тепловых потоков получаем такие выражения: Дальнейшие упрощения уравнения (8.108) связаны с предположением о несжимаемости жидкости для некоторых специфических приложений, что дает тц =(14+ 1ат)ди;(дхь Для замыкания системы уравнений следует использовать подходящую математическую модель турбулентности для 1ат и Ргт.
Граничные условия являются обычными для течения в каналах. Кратко опишем наиболее распространенную стратегию решения. Заметим, что для заданного поля давления уравнения движения и энергии будут полностью параболическими и можно получить решение, используя маршевые процедуры решения уравнений движения по направлениям х, у и г для определения и; о и те соответственно. Решая уравнение энергии, находим Т, а из уравнения состояния — плотность. Компоненты скорости не будут удовлетворять уравнению неразрывности, кроме случая, когда распределение давления в плоскости поперечного сечения является точным. Это, конечно, затрудняет задачу — ведь уравнения движения, энергии и состояния образуют естественную систему, пользуясь которой получают решение для компонент скорости н плотности.
Менее очевидно то, как можно воспользоваться уравнениями движения и неразрывности, чтобы найти правильное распределение давления. Были созданы работоспособные процедуры коррекции поля давления, которые будут обсуждаться ниже. Численный алгоритм решения уравнений сохранения, в котором одно уравнение решается отдельно от других, причем по очереди для каждой переменной, называется подходом с еегрегированием. В принципе уравнения, образующие замкнутую систему, можно было бы решать одновременно каким-либо прямым методом 18 д. диаеаеоа н др.
тои и 884 Гл, 8. Решение нараболнаованнык уравнений Наине — Стокса и затем посредством итераций делать поправку на то, что входящие в эту систему переменные связаны друг с другом нелинейным образом. Однако в настоящее время наиболее эффективно работающие программы решения прямым методом [Вппешап, 1969; ЗсЬуааг1х!гаиЬег, 5!нее!, 1977; Вап!с, 1977[ применимы только для специального класса уравнений и граничных условий, что сильно ограничивает их пригодность для настоящей задачи. Другие прямые методы не очень экономичны.
С другой стороны, был достигнут значительный прогресс в итерационных методах решения систем алгебраических уравнений того типа, который возникает в данной задаче. Используя сильно неявные процедуры [5!опе, 1968; ЗсЬпеЫег, Хебап, 1981; )спЬ|п, КЬоз!а, 198![, можно разработать более эффективные алгоритмы одновременного расчета давления и скорости в трехмерных параболизованных уравнениях. Сильно неявные процедуры для этих уравнений в настоящее время находятся в начальной стадии разработки. Большинство решений трехмерных параболизованных уравнений, о которых сообщено в литературе, было получено согласно методу с сегрегированием, предложенному Патанкаром и Сполдингом [Ра1ап!саг, Зра!б!пп, 1972[ и реализованному в процедуре 51МР1.Е (Зеш(-1тр11с!1 Ме(Ьод 1ог Ргеззпге-11пкес1 ЕйпаНопз).
Недавно было предложено несколько существенных улучшений на некоторых этапах этой процедуры, которые будут упомянуты ниже. Метод Патанкара и Сполдинга [Ра!ап!саг, Зра!б)пд, 1972] в свою очередь опирается на более ранние работы [Наг!ош, %е!сЬ, 1965; Атзбеп, Наг!отн,1970; СЬоНп, 1968[. Стратегия подхода с сегрегироваиием следующая: верхний индекс и + 1 относится к текущему сечению вдоль продольной координаты. 1. Линеаризуя коэффициенты уравнения (8.103) подходящим образом, давление р""! можно определить так же, как и для двумерных и осесимметричных течений в каналах, которые рассчитываются при помощи уравнений пограничного слоя (см.
9 7.5) с учетом требования сохранения полного массового расхода. Затем можно определить и!+а! из конечио-разностного решения уравнения (8.103). Далее по уравнению энергии можно найти Ть а, а по уравнению состояния определить рь и. Нее+! и+! явная схема переменных направлений очень хорошо зарекомендовала себя для решения уравнений движения и энергии. 2. Используя принятое распределение давления, можно определить предварительные значения н и и! из решения уравнений (8.104) и (8.105) маршевым методом (рекомеидуется опять вос- $ Зтн Методы решеиия уравнений Навье — Стокса для лоавук. течений ббб пользоваться неявной схемой переменных направлений), так же как при решении уравнения движения по координате х.
дк + ду (Р (о, + .)1 + д, (Р (св, + ваН = О. (8.109) Здесь продольный градиент давления н производные от предварительных значений скоростей известны в момент времени, когда определяются поправки, и могут быть объединены в источниковый член Ва. Таким образом, мы можем определить потенциал 11 как Рп, = дф/ду, рсв, = дф/дз и записать уравнение (8.109) в следующем виде: дае дтф — + — =Яв дуа даа (8.110) Тогда искомые поправки и скорости могут быть вычислены по Распределению Ф, полученному из решения уравнения Пуассона в поперечной плоскости. В этом подходе завихренность исходных полей скорости о, и св, сохраняется.
В оригинальном подходе Патанкара и Сполдинга предполагалось, что поправки к скорости определяются поправками к давлению в соответствии с очень приближенными уравнениями движения, в которых продольные конвективные члены уравновешены членами с давлением. Символически это записывается 1ва 3. Эти предварительные решения для о и тв в плоскости поперечного сечения обычно не удовлетворяют уравнению неразрывности, записанному в разностном виде, Применяя уравнение неразрывности к предварительным решениям для компонент скорости, можно рассчитать дисбаланс массы в каждой точке сетки. Будем теперь искать способ подстроить поле давления в поперечном сечении так, чтобы устранить этот дисбаланс массы.
Именно по тому, как вычисляются поправки скорости н давления, н отличаются трехмерные параболические методы друг от друга. Некоторые авторы (Вг(1еу, 1974; ОЬ)а е1 а1., 1977Ь; ОЬ(а, ВокЬеу, 1977а) следовали гипотезе Чорина [СЬолп, 1968) и считали подправленный поток безвихревым в плоскости поперечного сечения, причем был введен потенциал, связанный с давлением, так чтобы обратить в нуль дисбаланс массы. Для такого потенциала можно выписать уравнение Пуассона, исходя из уравнения неразрывности.
Обозначим нижним индексом р предварительные значения скоростей, а нижним индексом с скорректированные (подправленные) их значения и потребуем, чтобы 588 Гл, 8. Решение параболнаованвых уравнений Навье — Стокса в виде - доа др' рй — = — —, дх ду дша др' ри — = — —. дх дг (8.111) (8.112) где А и  — коэффициенты, в выражения для которых входят р, и и Лх. Производные от р', конечно, дискретизируются. Следует отметить сходство между уравнениями (8.113) — (8.114) и приведенными выше представлениями для поправок скоростей через потенциал 18.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
