Anderson-et-al-2 (1185924), страница 21
Текст из файла (страница 21)
!К!!спеца е! а!, 1975] показали, что для четырех исследованных ими разностных схем наблюдается рост ошибок независимо от того, удовлетворяет разностная схема условию, следующему из принципа влияния, или нет. Некоторые разностные схемы позволяли получить гладкое и по виду «устойчивое» решение даже тогда, когда ошибки в определении параметров были велики. Для других разностных схем нарушение условий, накладываемых принципом влияния, может вызвать 496 Гл 7. чиеленные методы решения ураанеинй пограничного поля неустойчивость решения, характеризуемую большими осцилляциями решения, даже если анализ устойчивости на возникновение таких осцилляций не указывает. Возможно построить абсолютно неустойчивые разностные схемы, удовлетворяющие ограничениям, накладываемым областями влияния.
Опишем кратко несколько наиболее часто используемых схем расчета трехмерного пограничного слоя. При этом индексами и, 1, уе будем обозначать номера узлов по координатным осям хь хе., ха (или х, ть г). Решение уравнений мы будем искать при переходе от плоскости, соответствующей гт-му шагу по маршевой координате, в плоскость, соответствующую (а+ 1)-му шагу по маршевой координате. Решение на (и+ 1)-м слое будем находить, начиная со значений (е = 1 (обычно этому значению уе соответствует плоскость симметрии) и определяя решение при всех 1'.
В результате при заданных п и уе найдем решение на линии, нормальной к обтекаемой поверхности. После этого индекс уг увеличивается на единицу и решение получается в другом «столбце» (ряде точек, расположенных на нормали к поверхности). Таким образом, на (гг + 1)-м слое осуществляется расчет маршевым методом в направлении вторичного течения. В приведенных ниже разностных соотношениях неизвестными являются значения величин на слоях а + 1, (е.
Схема Кранка — Николсона. Несколько исследователей использовали обобщенную на трехмерный случай схему Кранка— Николсона. Из анализа областей влияния и зависимости следует, что ее можно применять для расчета течений лишь тогда, когда скорость вторичного течения не меняет знак. Поместим центр разностного шаблона в точку п+ 1/2, 1', э — 1/2. На рис. 7.25(а) разностный шаблон изображен так, как он виден сверху, со стороны потока (т. е. показаны лишь точки в плоскости х,г).
Заштрихованная область приблизительно показывает максимальный размер области зависимости, допускаемый таким шаблоном. Светлым кружком обозначена точка, значения параметров в которой неизвестны, а крестиком — положение центра шаблона. При отрицательной скорости вторичного течения условия, накладываемые принципом влияния, не могут быть выполнены, так как при переходе к столбцу и+ 1, А, используемый шаблон не допускает передачи возмущений в направлении, противоположном направлению оси з.
С другой стороны, до тех пор пока О ) О, принцип влияния не накладывает никаких ограничений на шаг Лх, так как при Р ) О, 6 ) О любая линия тока лежит внутри шаблона. Было предложено несколько вариантов схемы Кранка — Николсона. Чаще всего член уравнения вида д/дд(адф/дт1) аппрок- и?,7. трехмерные пограничные слои 497 симируется по тем же формулам, что и в двумерном случае, но при этом дополнительно проводится осреднение между столбцами й и (з — 1. Члены уравнений, содержащие производные д(з/дх и дз)/дт), тоже аппроксимируются по формулам, используемым в двумерной схеме Кранка —.
Николсона, но с дополнительным осреднением между столбцами а и й — 1. Производные в поперечном направлении (например, в члене уравнения и+1 и и+ и (а) (Ь] Рнс. 7.25. Схема Дранка — Николсона. (а) Проекции шаблона на плоскость х, г; (Ь) контрольный объем для уравнения неразрывности. (7.111), помеченном цифрой (1)) аппроксимируются следующим образом: «! епз «+!+и««+! « !й /й ьй-! )й-! ди ? й !м 262 Если обтекается криволинейная поверхность, то параметры кривизны К! и Кз отличны от нуля и необходимо найти аппроксимационные соотношения для членов уравнения (7.111), помеченных цифрами (2) и (3). Аналогичные члены появляются в уравнениях пограничного слоя и в том случае, когда непреобразованные уравнения записываются в ортогональной криволинейной системе координат (см.
гл. 5). Эти члены уравнений не содержат производных от искомых неизвестных и в соответствии с определением, приведенным в п. 7.3.1, являются нсточниковыми членами. Члены уравнения (7.111), помеченные цифрами (4) и (5),— два новых источниковых члена, появляющихся при переходе к неизвестным г и О. Конечно-разностные аналоги членов Уравнения (7.111), помеченных цифрами (2) — (5), и конвектнвных членов необходимо линеаризовать. Для этого можно воспользоваться любым из методов, описанных в и. 7.3.3, хотя ли- 498 Гл. 7. Численные методы решения уравнений пограничного слоя неаризация при совместном решении уравнений в трехмерном случае обычно не проводится.
Источниковые члены записываются в центре шаблона (в точке (и + 1/2, 1, А — 1/2)). Для этого проводится осреднение по соседним узлам разностной сетки. Например, член уравнения (7.111), 'помеченный цифрой (2), можно представить в виде (РОхК1)",+а'-па х" ' Кь„+ хя(Р~.а+Р~,а-1+Р(,а+Р~.+а-1)Х Х (0г, а + 0~, «-1+ 0г. а-~ + Она )/16. (7.118) Единственной алгебраической неизвестной в этом соотношении является Р~ "а, а линеаризация состояла в том, что величина а е+! 0~+а~ рассматривалась как известная. Величина Ог,~а может бйть найдена путем экстраполяции, итерационной замены коэффициентов или методом запаздывающих коэффициентов, хотя метод запаздывающих коэффициентов примецяется в трехмерном случае не часто. Очевидно, существует определенная свобода в выборе метода линеаризации различных членов уравнений.
В правой части уравнения (7.111) есть и другие источниковые члены, но их линеаризацию проводить не надо. Итак, каждое уравнение движения заменяется системой линейных алгебраических уравнений для определения неизвестных во всех узлах столбца и+ 1, й. Эту систему уравнений можно решать прогонкой, так как ее матрица коэффициентов трехдиагональная. Чаще всего при расчете трехмерного пограничного слоя уравнение неразрывности для определения неизвестных )Гь а реи+а шается независимо от уравнений движения. Решение уравнения неразрывности проводится после того, как величины Р и 0 найдены из уравнений движения.
Для построения конечно-разностного аналога уравнения неразрывности обычно выбирают контрольный объем с центром в точке (гг+ 1/2, 1 — 1/2, й — 1/2). Этот контрольный объем показан на рис. 7.25(Ь). Средние значения Р и 0 в центре каждой грани контрольного объема обычно находят как среднее этих величин в четырех вершинах этой грани.
При решении уравнений движения необходимо знать значения )г лишь в точках и+ 1/2, 1, й — 1/2. Благодаря этому объем вычислений обычно удается сократить, если положить значение )г, определенное при помощи уравнения неразрывности, равным значению в центре проекции контрольного объема на плоскость х, г.
В памяти ЭВМ значениям )г, вычисленным в точках п+ 1/2, 1, й — 1/2 физического пространства, обычно присваивают индекс и+ 1, 1, Й. На рис. 7.25(Ь) указаны индексы, которые обычно применяют прн размещении неизвестных в памяти ЭВМ, и показана 5 7,7. Трехмерные пограиичпыс слои 499 точка, в которой вычисляют величину У1,+а'. Сетки, в которых неизвестные определяются в различных точках, обычно называют сетками с расположением узлов в шахматном порядке. В рассматриваемом нами случае все неизвестные, кроме )г, определяются в узлах регулярной сетки. В гл.
8 мы приведем другие примеры использования сеток с расположением узлов в шахматном порядке. В принципе схема Кранка — Николсона может формально иметь второй порядок точности (погрешность ап. проксимации 0((Лх)Я, (Лт))а, (Лз)а). Точность этой схемы может снижаться вследствие линеаризации уравнений и применения неравномерных сеток. Схема зигзаг. Схема зигзаг, предложенная Краузе [Кгацзе, 1969], широко применяется для расчета течений, в которых по- и и+1 (г-1 — и- м ,(, к+1 3-1 п п+ Е (и) (Ь) Рис.
7.26. Схема зигзаг. (а) Проекция шаблона иа плоскость х, а; (Ь) коитрольиыя объем для урааиеиия иеразрыниости. перечная составляющая скорости меняет знак. В этом случае используется разностный шаблон, центр которого расположен в точке и + 1/2, 1, (з. Проекция шаблона на плоскость х, г показана на рис. 7.26(а).
Как и раньше, заштрихованной областью приближенно показан максимальный размер области зависимости такого шаблона. Отметим, что этот шаблон позволяет учесть информацию о течении в обоих направлениях оси з от точки и+ 1, 1, (г. Следовательно, используя такой шаблон, можно рассчитывать потоки с направленным в любую сторону вторичным течением, если только направление потока остается в пределах зоны зависимости шаблона. Так же как в случае схемы Кранка — Николсона, при г" ) О, 6 ) 0 ограничения на шаги сетки отсутствуют. Однако такие ограничения появляются 500 Гл 7. Численные методы решения уравнений пограничного слоя в том случае, когда вторичное течение направлено в сторону, противоположную направлению оси г. Для схемы зигзаг ограничения на шаги разностной сетки, следующие из принципа влияния, имеют вид Р~ 0 6~110 ) 1 оайаР Здесь необходимо отметить, что допустимое направление потока можно изменить путем изменения отношения шагов сетки Лг/7»х.
Схема зигзаг алгебраически проще схемы Кранка — Николсона. В основном это объясняется тем, что при построении конечно-разностных аналогов уравнений осреднение проводится лишь между !2 и а+ 1, тогда как между двумя слоями по 72 оно не проводится. При использовании схемы зигзаг конечно-разностные аналоги членов уравнений вида д/дт1(адф/дт1) и д21/дх строятся так же, как в двумерной схеме Кранка — Николсона. Производные в поперечном направлении, входящие в уравнения движения, аппроксимируются по значениям неизвестных в узлах, обведенных на рис. 7.26(а) штриховыми линиями. При постоянном шаге Ьг соответствующий конечно-разностный аналог производной имеет вид дф 1"+1!2 ф" — " -1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
