Anderson-et-al-2 (1185924), страница 16
Текст из файла (страница 16)
е. он легко вы- $ 7.5. Методы расчета внутренних течений 469 Уравнение неразрывности — (риг ) + — (рог ) =О. дх ду (7.89) Суммарный расход газа через канал т = ~ рис(А =-сопз(. (7.90) л В последнем соотношении А — поперечное сечение канала, перпендикулярное к его оси. Кроме того, для определения плотности по температуре и давлению используется уравнение состояния. Прн т = 0 приведенные выше уравнения описывают двумерные течения, а при т = 1 — осесимметричные. Если для описания турбулентности воспользоваться гипотезой Буссинеска, то получим ди ди т = !х — — Ри о = (!х + !хг) д ду ду ' (7.91) Чи= !г д +Рерих =~ + ег ) ду ' (7.92) числяется по известной скорости и,(х), либо заранее известен. Для расчета внутренних течений используются лишь уравнения пограничного слоя. Поэтому какая-либо дополнительная инфор.мация, связанная с наличием внешнего невязкого потока отсутствует, а условия для и на внешней границе определяются геометрией канала.
Так как в общем случае вязкие эффекты могут оказаться существенными во всей области течения, то уравнения Эйлера нельзя использовать для определения градиента давления. Вместо этого градиент давления находится из условия сохранения суммарного расхода через канал. Итак, прн расчете стационарных внутренних течений градиент давления должен быть вычислен в процессе решения задачи (из условия сохранения суммарного расхода), а не задан заранее, как в случае внешних течений. В этом состоит основное различие численных методов расчета внутренних и внешних течений.
Для двумерных внутренних течений уравнения тонкого вязкого слоя можно записать в следующем виде: Уравнения движения ди ди Ыр ! д м ри — + рб — = — — + — — (г' т). дх ду дх г"' ду Уравнение энергии рис — + рбс — = — — ( — г~д ) + 87и — + т — . (7.88) дТ дТ ! д т Лр ди Р дх и ду гы ду Лх ду' 410 Гл. 7. Численные методы решения уравнений пограничного слоя Если членЫ, содержащие пульсационные составляющие газодинамических параметров (напряжения Гейнольдса), равны нулю, то приведенные уравнения сводятся к уравнениям, описывающим ламинарные течения.
Граничные условия на стенке остаются такими же, как и в случае внешних течений. При течении в трубах или плоско- параллельных каналах существует линия или плоскость симметрии течения. Поэтому условия на внешней границе имеют вид (7.93) В случае течения в круглой трубе члены уравнений (7.87) и (7.88), описывающие вязкие напряжения и тепловые потоки, имеют особенность при г = О. Правильное выражение для этих членов можно найти при помощи правила Лопиталя.
В результате получим При расчете внутренних течений конечно-разностная аппроксимация всех членов уравнений, кроме члена с градиентом давления, проводится так же, как и для внешних течений. Градиент давления во внутренних течениях является неизвестной величиной. Как уже отмечалось выше, он должен быть определен из условия сохранения суммарного расхода. Это можно сделать несколькими способами. Опишем сначала способ определения градиента давления, применяемый для явных разностных схем. В этом случае конечно-разностный аналог уравнения движения можно представить в виде (7.94) где в Щ и Р~г входят лишь уже известные величины. Умножим теперь уравнение (7.94) на плотность р~+ и проинтегрируем численно полученные уравнения по поперечному сечению канала.
Для этого можно воспользоваться либо методом Симпсона, либо правилом трапеций. В результате получим ~ ф+ и~+ с(А = т = ~ р~ ~'Яг'дА + — „„~ Р~+'Р~ йА. (7.95) А А А До тех пор пока градиент давления не найден, плотность р~~~ на (п+ 1)-м слое неизвестна. Знак д как раз и указывает на 471 э 7.5.
Методы расчета инутреиних течений то, что используемое значение является предварительным. Простое предположение р,"ч' =р!" позволяет получить очень хорошие результаты. На йрактике чаще всего используют именно этот подход. Альтернативным является определение величины р7+ путем экстраполяции со вторым порядком точности по уже известным значениям р" и р" — '. Так как величина лт определена ! ! заданными начальными условиями, а под интегралами в уравнении (7.95) стоят лишь известные величины, то градиент давления с!р/с(х можно вычислить по формуле — 1 Р""!7" иА ) ! ир А (7.96) Найдя градиент давления, можно решить конечно-разностные аналоги уравнений движения, неразрывности и энергии теми же методами, которые использовались в случае внешних течений.
Наиболее широко используемой для расчета внутренних течений явной схемой является схема Дюфорта — Франкела, которая описана в п. 7.3.4 для решения уравнений тонкого вязкого слоя. Типичное сопоставление рассчитанных методом Дюфорта — Франкела значений с измеренными показано на рис. 7.!8. Измерения Барбина и Джонса (ВагЫп, Лопез, 1963) ' проведены для случая турбулентного течения воздуха в круглой трубе. На рис. 7.18 иа — среднее значение скорости в трубе, определенное по расходу, а г — радиус трубы.
Даже вблизи входа (х/с7 = 1.5) рассчитанные значения хорошо совпадают с измеренными. Гасчет был проведен с использованием простой алгебраической модели турбулентности. По своей постановке задача расчета внутренних течений очень похожа на обратную задачу пограничного слоя, которая для случая внешних тсчений рассмотрена в $7.4. Наиболее очевидным это становится при использовании неявных методов расчета. Во внутренних течениях необходимо определить корректный градиент давления, обеспечивающий поле скорости, удовлетворяющее заданному расходу газа через канал. Во внешних течениях необходимо соответственно так подобрать градиент давления (илн скорость на границе пограничного слоя), чтобы распределение скорости удовлетворяло заданной толщине вытеснения.
Для определения градиента давления при Расчете внутренних течений неявными методами использовалось несколько раз,пичиых подходов. Опишем некоторые из них. 472 Гл. 7. Численные методы регдення уравнений пограничного слоя 1. Мегоо секущих. В каждом сечении можно итерационно менять градиент давления до тех пор, пока расход не станет равен заданному [Вг!!еу, 1974). Для этого используется метод секущих, подробно описанный в п. 7.4.3, где он применялся для решения обратной задачи пограничного слоя при заданной толщине вытеснения б". Если коэффициенты уравнения постоянны, скорость зависит от градиента давления линейно, поэтому 1,0 0.8 8 0.8 а.г 0.0 0.5 0.6 0.7 0.8 О.Э 1.0 1Л 1.а 1гй и/и Рнс.
7.18 Сопоставление рассчитанных н измеренных профилей скорости турбулентного потока во входном участке круглой трубы !1Че1аоп, Р1е1сьег, 19741; — расчет методом Дюфорта — Франкела; значками обозначены экспериментальные данные Барбина н Джонса. обычно сходимость итерационного процесса достигается за три итерации. 2. Коррекция градиента давления с запаздыванием. Патанкар и Сполдинг !Ра1ап!<аг, Яра!с!!пц, 1970! отметили, что проводить итерации на каждом шаге по маршевой координате не экономично. Они предложили задавать в каждом сечении градиент давления еще до проведения расчета в этом сечении. Ошибка в расходе используется для задания градиента давления в следующем сечении.
Такой подход можно сравнить с процессом управления автомобилем, корректировка курса которого проводится без возврата назад для улучшения траектории движения. Этот подход, основанный лишь на здравом смысле, явился основой для ранней версии метода Патанкара и Сполдинга расчета внутренних течений. Хотя наличие здравого з 7,5. Методы расчета внутренних течений 473 смысла в приведенных рассуждениях отрицать нельзя, такой подход приводит к слишком грубым по современным меркам результатам, поэтому пользоваться им мы не рекомендуем.
Что же касается тенденции к снижению времени расчетов, которая наблюдается в течение последних десятилетий, то она уравновешивается тенденцией к применению потенциально более точных численных методов. дна.~-1 иат' = (иь+')'+ — 'Л5, ! ° ! оо (7.97) где Л5 — изменение градиента давления, необходимое для удовлетворения условию сохранения расхода. Обозначим и"+'= ! =ди"+'/д5. Продифференцировав разностные уравнения по градиенту давления 5, получим систему разностных уравнений относительно й+!' с трехдиагональной матрицей, причем коэффициенты при неизвестных будут такими же, как и в исходной системе неявных разностных уравнений.
Из этой системы уравнений неизвестные и"+' определяются прогонкой. Граничные а,! условия для неизвестных и"+' должны быть согласованы с гран. ! ничвыми условиями для скорости. На тех границах, где ско- 3. Метод Ньютона. Рейсби и Шнайдер (ца!ВЬу, ЗсппеЫег, 1979] предложили метод расчета течений несжимаемой жидкости, требующий по крайней мере на одну треть меньших усилий, чем метод секущих, в котором минимально возможное число итераций равно трем. Метод основан на предположении о постоянстве коэффициентов разностных уравнений, т. е. эти коэффициенты не должны меняться при подборе градиента давления, удовлетворяющего условию сохранения расхода. Основная идея этого подхода состоит в том, что если для первоначально заданного градиента давления с(р/дх получено решение разностных уравнений, то коррекцию градиента давления можно провести методом Ньютона.
При замороженных коэффициентах зависимость скорости от градиента давления линейная, поэтому одна коррекция по Ньютону позволяет получить точное значение градиента давления. Проиллюстрируем вышесказанное. Введем обозначение 5 = с(р/Ых. Зададимся некоторым начальным приближением градиента давления др/с(х = = (др/с(х)* и вычислим соответствующие ему предварительные распределение скорости(и"+')' и расход дт'. Так как уравнение движения с замороженными коэффициентами линейное, то, применяя метод Ньютона (см, п. 7.4.2), видим, что точное значение скорости в каждой точке определяется соотношением 474 Гл.
7. Численные методы решения уравнений пограничного поля рость задана, ставится условие ия+' = О, тогда как на границах с заданным градиентом скорости задается условие ди"+'/дп = О и,! (н — нормаль к границе). Зная и"+', можно найти оо, исходя лишь из того, что для выполнения условия сохранения расхода, скорость в каждой точке надо подправить на величину и"+г'ЛЯ. Следовательно, мы можем написать соотношение т — т' = Ю ~ ~ри" +' а'А, л.
г (7.98) в котором интеграл должен быть вычислен численно. В уравнении (7.98) т — значение расхода, определяемое заданными начальными условиями. Нужное нам значение ЛЯ находится из решения уравнения (7.98). После этого точные значения скоростей и"+' можно вычислить, используя соотношения (7.97), а неизвестные о"+' определить из уравнения неразрывности. Описанный подход требует примерно такого же объема вычислений, как две итерации при использовании метода секущих. 4. Подходы, в которых градиент давления рассматривается в качестве дополнительной неизвестной. Во всех описанных выше подходах градиент давления при решении уравнений для скоростей рассматривался как известная величина. Поэтому при применении подходов 1 — 3 разностные уравнения можно решать обычной прогонкой.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
