Anderson-et-al-2 (1185924), страница 13
Текст из файла (страница 13)
(7.77) Вследствие заданных на внутренней границе (! = 1) граничных условий величины и"+' и ф"+' равны нулю, следовательно, равны нулю и коэффициенты А'„В;, С1, Оы Е'„Н;. Остальные коэффициенты можно вычислить последовательно, продвигаясь от /=-2 к внешней границе (/=Л/Х). Безразмерный градиент давления у"+' определяется из одновременного решения системы уравнений, состоящей из уравнений (7.72) и (7.73) при /=/1/Х вЂ” 1 и граничных условий.
При ! =/1// — 1 уравнения (7.72) и (7.73) принимают вид йл+' = Ал/,ил+/' + Н///,Ует'+ Сл/ !, фй+', = Ви/,и"„+/' + Вл/,у,"+' + Ел 456 Гл. 1. Численные методы решения уравнений погранненого поля Уравнение (7.68) перепишем в виде лд грЯ'=Ф3'~+=(~3'+~3' ) (7.78) Решив уравнения (7.74) — (7.78) относительно 7,"+', получим (Р /Р ) (2ал+1 ии ) („в+1)е ол — (Рт/Р !) (2й~~+! ! — ил~!) (7.79) где а Р, = р„! — б' "+ — В'„г, — —; (1+ А,'„,), После этого величина Щ+!' определяется непосредственно из уравнения (7.76).
Теперь можно воспользоваться соотношениями (7.72) и (7.73) для проведения обратной подстановки, т. е. последовательного вычисления неизвестных й+' и гр"+' от внеш. ! ! ней границы к стенке. Так как применяется линеаризация по Ньютону, то систему уравнений надо решать итерационно, изи+! -е+! меняя от итерации к итерации значения величин й! и гр! На каждом шаге по маршевой координате итерационный процесс продолжается до тех пор, пока разность значений неизвестных и и $ на двух последовательных итерациях не окажется меньше некоторой наперед заданной величины. При расчете на каждом новом шаге по продольной координате предполагается, что йг+ =и! и Фг~ =гр!.
В тех случаях, когда этот метод применялся, двух-трех итераций обычно оказывалось достаточно для того, чтобы максимальная относительная погрешность (!лу/Р) стала меньше, чем 5 10-4. В работах Цебеци [СеЬес1, 1976) и Картера [Саг1ег, 1978] описаны другие конечно-разностные обратные методы расчета пограничного слоя. Эти методы также основаны на использовании приближения Флюгге-Лотц и на совместном решении уравнений неразрывности и движения.
Найдя безразмерный градиент давления и"+!, можно из уравнений (7.74) — (7.78) определить и скорость и"„+' на внешней границе пограничного слоя: и+! Ра „+! + ге л! Р! ' (7.80) 467 э 7.4. Обратные методы, отрывные течения 7.4.4.
Вязин-невинное взаимодействие При проектировании обтекаемого тела давление на его поверхности определяют обычно из анализа течения невязкого газа. Получающееся при этом распределение скорости течения Певязкого газа используется как граничное условие для расчета пограничного слоя, который проводится для вычисления сопротивления тела, обусловленного вязкостью.
Во многих случаях пограничный слой лишь слегка изменяет картину обтекания тела. Можно получить улучшенное решение течения иевязкого газа, увеличив физическую толщину обтекаемого тела на толщину вытеснения пограничного слоя. Величина 6* определена так, что новое невязкое решение учтет в этом случае вытесняющее воздействие вязкого слоя, который расположен вблизи поверхности обтекаемого тела.
Подправленное невязкое распределение скорости можно теперь использовать для получения нового решения в вязкой области течения. В принципе такую процедуру вязко-невязкого взаимодействия можно продолжать итерационно до тех пор, пока изменения параметров не станут достаточно малыми. Однако на практике при переходе от одной итерации к другой для обеспечения сходимости итерационного процесса часто приходится применять нижнюю релаксацию. К счастью, для большинства течений с присоединенным дограничным слоем изменение параметров потока, обусловленное учетом вязко-невязкого взаимодействия, пренебрежимо мало.
Вследствие этого достаточная для инженерных приложений точность достигается при независимом расчете вязкого и невязкого потоков (т. е. при расчете без учета вязко-невязкого взаимодействия). Важным исключением из этого правила являются отрывные течения или течения с отрывными пузырями. Вытесняющее воздействие области отрыва приводит к существенному локальному изменению распределения давления.
Даже при отсутствии отрыва резкое утолщение пограничного слоя под воздействием неблагоприятного градиента давления может настолько изменить локальное распределение давления, что правдоподобное решение уравнений пограничного слоя не удастся получить без учета вытесняющего эффекта пристенного вязкого слоя. При таких условиях довольно часто оказывается, что расчет пограничного слоя, проведенный по невязкому полю скорости, найденному без учета вытесняющего эффекта, предсказывает возникновение отрыва, тогда как в реальном течении отрыв отсутствует. Часто область, в которой существенны эффекты вязко-невязкого взаимодействия, можно сократить до небольшой окрестности пузыря в распределении толщины вытеснения.
Такая ло1б д. Андерсон н др, том я 45З Гл. 7. Численные методы решения уравненнй пограничного поля кальная область взаимодействия схематически показана на рис. 7.14. Описанный в предыдущем п. 7.4.3 обратный метод расчета пограничного слоя особенно хорошо подходит для расчета течений, в которых может возникнуть отрыв потока. Укажем на наиболее важные элементы процедуры расчета вязко-невязкого взаимодействия. еастеил- Направление пинала и яе / теле I lеытесненкг г Поеерллесть облек; емозл теле Рнс.
7.14. Локальная область взаимодействия прн двумерном обтекании тела. 2. Подходящий для рассматриваемой задачи метод решения уравнений пограничного слоя. Если возможен отрыв потока, то таким методом является обратный метод расчета пограничного слоя. 3. Процедура коррекции результатов, полученных при расчете вязкого и невязкого течений. Она должна обеспечивать стремление изменения параметров к нулю при переходе от одного итерационного цикла к последующему. В течение ряда лет было предложено множество различных схем расчета вязко-невязкого взаимодействия. У нас нет возможности рассматривать здесь все эти схемы, Вместо этого мы кратко опишем одно приближение, позволяющее в случае течения несжимаемой жидкости рассчитать параметры потока вблизи возникающего на профиле отрывного пузыря.
Такое течение схематически показано на рис. 7.14. В этом случае поправку к невязкому решению, связанную с вытесняющим воздействием пограничного слоя, можно оце- 1. Метод определения поправки к невязкому течению, который позволяет найти распределение давления или скорости по поверхности тела, обусловленное вытесняющим воздействием вязкого слоя. В принципе для этого можно использовать любой метод определения параметров невязкого течения, но часто удается применить более простой метод расчета невязкого течения, основанный на теории малых возмущений. 5 7.4. Обратные методы, отрывные течения нить, используя теорию малых возмущений. Пусть и„,— касательная составляющая скорости невязкого потока, обтекающего твердое тело (она найдена без учета вязких эффектов).
Вытесняющее воздействие вязкого слоя заменим распределенными по поверхности тела источниками и стоками и обозначим через и, индуцируемую ими скорость на границе тела вытеснения. В этом случае составляющую по оси х скорости на границе тела вытеснения можно представить в виде и,=и,,+и,. (7.81) Следуя Лайтхиллу [1.19ЫЫ!1, 1958), интенсивность источников и стоков, смещаюших линию тока к границе тела вытеснения, определим по формуле И (иеб') (7.82) йх При небольших значениях толщины вытеснения 6' скорость и, можно выразить через интеграл 1 Г й (ива') йк' (7.83) Если скорость и, определяется численно, то обычно предполагают, что сильное взаимодействие происходит лишь в области х1 < х < хт, показанной на рис.
7.14. Кроме этого, предполагается, что интенсивность источников и стоков, моделирующих вытесняющее воздействие вязкого слоя, стремится к нулю при х-+ ~оо. В соответствии с этим величина Ы(и,б')/т(х обычно вычисляется по результатам расчета пограничного слоя лишь при х1 < х < хя.
Для вычисления стоящего в правой части уравнения (7.83) интеграла при х < х1 и х ) хя часто используется экстраполяционная формула [Кттоп, Р1е(с)тег, 1979] д'(х) = Ь/хн. (7.84) Константа Ь подбирается так, чтобы значения 47 при х, и х, совпали с полученными из расчета пограничного слоя значениями. Соотношение (7.83) можно теперь переписать в виде к~ К1 ко ~( )= — [ [ ~,, к*'-~-[ 1 к*'-~-[ ~к*'1. (785) О кк Первый и третий интегралы вычисляются аналитически, второй интеграл определяется численно, обычно по формуле трапеций. Возникающую при х=х' особенность можно выделить, исполь1Ве 4ЗО Гл.
7. Численные методы решения уравнений пограничного поля зуя процедуру, предложенную Джоубом [)оЬе, 1974]. Некоторые авторы полагают, что, до тех пор пока разность х — х' остается конечной, можно при вычислении интеграла не обращать внимания на указанную особенность [ВН!еу, Меропа!б, 1975]. Невязкое распределение скорости и... по поверхности твердого тела (без учета пограничного слоя) можно получить либо одним из методов, описанных в гл. 6 (например, методом Хесса и Смита [Нези, Бгп)1Ь, 1967]), либо при помощи результатов измерений. Методом Хесса и Смита можно проводить расчет невязкого течения на всех итерациях, однако применение существенно более простой процедуры, основанной на теории малых возмущений, позволяет значительно сэкономить время расчета на ЭВМ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
