Anderson-et-al-2 (1185924), страница 10
Текст из файла (страница 10)
В гл. 5 мы уже приводили примеры, по- $7.3. Конечно-разностные методы расчета казывающие, что некоторые эффекты плохо описываются простейшими моделями турбулентности. К ним относятся течения с низкими числами Рейнольдса, особенно при сверхзвуковых числах Маха. Эффекты, связанные с низкими значениями числа Рейнольдса, проиллюстрированы на рис. 7.[0. Из представленных на нем данных видно, что точка, в которой простейшая 5.0 4.0 3.0 2.0 1.0 2.0 4.0 6.0 8.0 10.0 йе ° 1О Рис. 7.!О.'Сопоставление рассчитанных значений коэффициента трения с измеренными Коулзом [Со!ез, 1953[ н Коркеги [Когке81, 1956[ для сжимаемого турбулентного пограничного слоя на пластине при низких числах Рейнольдса: Л данные Коулза, М, = 2.6; О данные Коулза, М~ = 4.5, П данные Коркеги, М, = 5.8,' — расчет по модели А, — — — — — расчет по модели В.
алгебраическая модель турбулентности (модель А) перестает удовлетворительно описывать течение, смещается в область все больших и больших чисел Рейнольдса при увеличении числа Маха основного потока. Результаты расчетов с использованием модели турбулентности, содержащей описанную в п. 5.4.3 простую модификацию на случай низких чисел Рейнольдса, также показаны на рис. 7.[0, где эта модель названа моделью В. 7.ЗЛО. Заключение В этом разделе мы рассмотрели наиболее важные вопросы, связанные с применением конечно-разностных методов к расчету двумерных и осесимметричных пограничных слоев.
Кроме того, мы описали несколько конечно-разностных схем. В работе вычислителя, как и в любой другой деятельности, важно «набить руку», или, иначе говоря, приобрести необходимую прак- 442 Гл. 7. Чвслеиные методы решения уравнений пограничного слоя тику. Поэтому надо решить несколько учебных задач, используя описанные разностные схемы, для того чтобы понять изложенные здесь основные концепции и связанные с ними проблемы. Так же как инженера вряд ли можно считать экспериментатором до тех пор, пока ои не провел несколько экспериментов, нельзя считать специалистом в области вычислительной гидро- динамики того, кто не провел несколько расчетов. Какая разиостная схема является наилучшей для расчета пограничного слоя? Такой вопрос на данном этапе представляется логичным, но мы должны иметь критерий, в соответствии с которым можно определить, что схема действительно наилучшая.
Все согласованные разностные схемы позволяют получать численные результаты с любой требуемой точностью, если только воспользоваться достаточно мелкой сеткой. Так как максимально допустимая точность иас больше не волнует, то наиболее важными становятся затраты машинного времени и в меньшей степени простота программировании. При обсуждении этого вопроса мы предполагаем, что пользователю необходимо понять все связанные с применением метода алгебраические операции.
Мы будем включать время и силы, необходимые для понимания данного алгоритма, в затрачиваемые на программирование усилия. Тогда усилия, затрачиваемые на программирование, будут определяться не числом операторов в программе для ЭВМ, а алгебраической сложностью шагов алгоритма и трудностью следования этим шагам для начинающего. Анализ научно-технической литературы за последние 10 лет показывает, что все разностные схемы, приведенные в табл. 7,1, с успехом применялись для расчета двумерных и осесимметрич- Таблица 7Л. Рекомендуемые кояечио-разяостные схемы расчета пограничного слоя.
Порядок расположеявя схем определяется сложностью их программной реализации П Схема Люфорта — Франкела 2. Полностью неявная схема (в том числе вариант этой схемы, предложенный Патанкаром н Сполдикгом) 3. Неявная схема Кранка — Николсона 4. Полностью неявная схема при совместном решении уравнений неразрывности и двнжения 5. Неявная схема Кранка — Николсона при совместном решении уравнений неразрывности и движения 6. Модифицированная блочная схема 7. Блочная схема Келлера 8.
Схема Петухова и Ч Эта схеме добавлена вереводчкком, твк квк оне мароке ясволаауется советскямя нсследователямн. — Прим. лерее. Э 7.3. Конечно-рааностные методы расчета 443 ных пограничных слоев как при ламинарном, так и при турбулентном течениях. Все эти схемы мы рекомендуем к использованию, так как с их помощью были получены довольно хорошие результаты. Характерное время расчета по любой из перечисленных выше схем невелико и составляет на современных ЭВМ всего лишь несколько секунд. Отдельные особенности, связанные с использованием этих схем, можно найти в работах, которые указывались нами при описании разностных схем. Нам известно лишь несколько работ, в которых проведено сопоставление времен расчета пограничного слоя по различным разностным схемам. В работе Блоттнера [В!о((пег, 1975а) показано, что при сопоставимой точности затраты машинного, времени, необходимые для расчета пограничного слоя по схеме Кранка — Николсона (при совместном решении уравнений неразрывности и движения) и модифицированным блочным методом, примерно одинаковы.
В той же работе продемонстрировано, что время расчета на ЭВМ блочным методом Келлера в два-три раза больше времени расчета модифицированным блочным методом (при сопоставимой точности). Для начинающего программиста, который хочет составить достаточно общую программу расчета пограничного слоя, наиболее естественным было бы начать с полностью неявной схемы. Эта схема имеет лишь первый порядок точности в направлении маршевой координаты, но второй порядок точности, о-видимому, не является существенным для большинства проводимых расчетов пограничного слоя.
Это, возможно, отчасти объясняется тем, что члены порядка 0(бх) в выражении для 'погрешности аппроксимации обычно включают вторые производные по продольной координате, которые в тех случаях, когда приближение пограничного слоя справедливо, невелики. Если второй порядок точности по маршевой координате желателен, то его легко достичь при незначительных изменениях в алгоритме. Для этого достаточно либо воспользоваться при аппроксимации производных по маршевой координате со вторым порядком точности трехточечным шаблоном, либо перейти к схеме Кранка — Николсона. Различные способы линеаризации уравнений логично выбирать в порядке сложности их программной реализации — запаздывающие коэффициенты, экстраполяция, линеаризация по Ньютону при совместном решении уравнений неразрывности и движения. Если рассматривать метод запаздывающих коэффициентов как стандартный, то было бы полезно запрограммировать один из двух последних более точных (при одном и том же шаге сетки) методов, чтобы получить дополнительный способ контроля.
444 Гл. 7. Численные методы решения уравнений пограничного слоя 5 7.4. Обратные методы, отрывные течения н вязко-невязкое взаимодействие 7.4Л. Ввадеиие До сих пор мы рассматривали лишь методы решения уравнений пограничного слоя в том случае, когда заданы стандартные граничные условия, приведенные в ф 5.3. Такие методы решения уравнений пограничного слоя называют прямыми.
Обратными называют методы расчета пограничного слоя при задании отличных от стандартных граничных условий. Обычно при использовании обратных методов вместо условия на внешней границе пограничного слоя 1!т и(х, у) = и,(х) задается толщина и + д вытеснения или трение на стенке, которым решение должно удовлетворять, а градиент давления (или и,(х)) определяется в процессе решения. Подчеркнем, что отличие прямых и обратных методов связано именно с заданием граничных условий. Поэтому, по-видимому, правильно было бы говорить о прямой и обратной задачах, а не методах. Однако мы будем следовать принятой терминологии и ссылаться на методы решения как на прямые и обратные. Обратные методы — это не просто альтернативный подход к решению уравнений пограничного слоя.
Успешное развитие обратных методов расчета позволило расширить область применения приближения пограничного слоя. Очевидно, что можно найти некоторые инженерные приложения, в которых желательно рассчитать давление на границе пограничного слоя, обеспечивающее заданное распределение толщины вытеснения или трения на стенках. Это явилось одной из причин создания обратных методов расчета пограничного слоя. Но, возможно, наиболее интересное применение обратных методов связано с расчетом отрывных течений. Долгое время предполагали, что в случае отрывных течений необходимо решать полную систему уравнений Навье — Стокса.
Поэтому любое предположение о том, что эти очень важные для приложений течения могут быть описаны в рамках куда более простой математической модели, вызывало большой интерес. Вследствие этого наше описание обратных методов ограничится в основном их применением к расчету отрывных течений. Одним из наиболее интересных свойств обратных методов является то, что они позволяют устранить особенность Гольдштейна (Оо!дз1е1п, 1948], возникающую в точке отрыва.
й 7 4. Обраткые методм, отрывные течения 7.4Л. Замечания о возможности применения уравнений пограничного слоя для расчета отрывяых течений Еще совсем недавно предполагалось, что теория пограничного слоя становится несправедливой при приближении к точке отрыва. Это связано с двумя причинами. Во-первых, при стандартной постановке задачи пограничного слоя в точке отрыва возникает широко известная особенность Гольдштейна [ьго16- з1е1п, 1948]. Во-вторых, сомнительным является использование приближения пограничного слоя в тех случаях, когда его толщина и нормальная составляющая скорости оказываются большими (по отношению к и), чем они обычно бывают при высоких числах Рейнольдса.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
