Anderson-et-al-2 (1185924), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Аналогичные проблемы, возникающие при решении уравнения Бюргерса, рассмотрены в гл. 4. Можно показать, что, удовлетворяя необходимым условиям правильного описания физических процессов разностными уравнениями, мы одновременно удовлетворяем достаточным условиям диагонального преобладания. Для иллюстрации причины возникновения указанных затруднений рассмотрим разностную схему, получающуюся при решении уравнения движения пограничного слоя газа с постоянными теилофизическими свойствами полностью неявным методом. Если воспользоваться методом запаздывающих коэффициентов, то конечно-разностную схему можно записать в виде 416 Гл.
7. Численные методы решения уравнений пограничного слоя что при уменьшении скорости сверху (и"+,') или снизу (и"+,') от точки (ге+ 1, /) скорость и"+' в точке (к+ 1, 1) также уменьшается за счет вязких эффектов. Из (7.25) очевидно, что если хотя бы один из коэффициентов Аг или Вг положителен, то это свойство решения не выполняется. Условие отрицательности коэффициентов А~ и Вг имеет вид !(! 2ау (ьу)я (О или (7.26) ! о" ! Ьу/т ~ (2. Соотношение (7.26) подтверждает наше предположение о том, что «корректным» является конечно-разностный аналог, обеспечивающий характерное для вязкого случая поведение решения.
Неравенству (7.26) можно удовлетворить, выбрав достаточно мелкую сетку, что всегда можно сделать при использовании сходящихся разностных схем. Величина !о"! Лу/и является просто сеточным числом Рейнольдса. Иногда ее называют более общим термином — сеточное число Пекле. Удовлетворяя неравенству (7.26), мы одновременно удовлетворяем достаточному (но не необходимому) условию диагонального преобладания получающейся системы уравнений.
Повидимому, при проведении расчетов наиболее важным является обеспечение отрицательности коэффициентов Аг и Вь что позволяет правильно описывать вязкие эффекты. То, что в этом случае при решении системы алгебраических уравнений не наблюдается рост ошибки, является случайным совпадением.
Для рассматриваемой разностной схемы мы должны будем признать непригодным даже свободное от численных ошибок решение (если мы сможем его получить) при !о" !Лу/м ~ 2, исходя из физических соображений. С другой стороны, в некоторых случаях рост ошибки при решении уравнений методом исключения может затруднить проведение расчетов. Для некоторых течений выполнение условия (7.26) требует использования сеток с очень большим числом узлов, что стимулировало некоторых исследователей рассмотреть возможные способы изменения разностной схемы, позволяющие исключить влияние сеточного числа Рейнольдса. Большинство посвященных этому вопросу исследований относится к более сложному случаю уравнений Навье — Стокса, когда вопросы экономичности численных методов оказываются более острыми.
Проще всего избавиться от ограничений на сеточное число Рейнольдса, заменив при аппроксимации члена оди/ду центральные раз- 417 $7.3. Конечно-рааностные методы расчета ности на односторонние разности против потока: ди еа (на~+' — иа+~) о — ~ ~ при о~>0, ду йу а7 а+1 а+11 Возникающая при использовании схемы с разностями против потока погрешность аппроксимации приводит к появлению схемной вязкости, которая усиливает вязкий характер решения и в некоторых случаях уменьшает точность получаемых результатов.
Вопрос о выборе наиболее подходящей аппроксимации производных при больших сеточных числах Рейнольдса все еще горячо обсуждается в современной научно-технической литературе, так как он до сих пор не нашел удовлетворительного решения. Можно, конечно, использовать схемы с разностями против потока, имеющие более приемлемую погрешность аппроксимации (используя два или больше расположенных выше по потоку узла), но тогда может получиться система уравнений с отличной от трехдиагональной матрицей коэффициентов, а это явный недостаток разностной схемы. Большинство примеров расчетов, показывающих нежелательные эффекты, связанные с использованием разностей против потока, относится к уравнениям Навье — Стокса. Для уравнений пограничного слоя таких результатов намного меньше. На основе имеющегося опыта можно предположить, что использование для аппроксимации члена оди/ду разностей против потока (в тех случаях, когда это связано с сеточным числом Рейнольдса) является достаточным для выполнения условия (7.26).
Использовать для аппроксимации этого члена центральные разности мы, естественно, рекомендуем всегда, когда это только возможно. Обычно при программировании на ЭВМ для перехода с одной разностной схемы на другую используют логические операторы. Когда сеточное число Рейнольдса превышает два, мы советуем не переходить сразу от центральных разностей к разностям против потока, а воспользоваться комбинацией односторонней (против потока) и центральной разностных аппроксимаций производных (т. е.
воспользоваться «гибридной» разностной схемой). Впервые такой подход был предложен Алленом и Саусвеллом [А!1еп, Бои(Ьтче11, 1955). Впоследствии, по-видимому не без влияния этой первой работы, аналогичные или даже идентичные конечно-разностные аналоги производных были предложены в работах [Яра!б(пд, 1972; ка11ЬЬу, Тоггапсе, 1974). Для иллюстрации основных принципов построения такой 418 Гл. 7. Численные методы решения уравнений пограничного слоя схемы рассмотрим случай о" > О. Пусть )сд„равно ~ о" ~йу/ч, а )т, равно требуемому критическому значению сеточного числа Рейнольдса, при котором происходит переход к гибридной схеме, Я,(2.
Тогда при от > О и 17лл ) Л, запишем конечноразностной аналог величины иди/ду в виде (7.27) Первое слагаемое в правой части последнего равенства обозначает центрально-разностную аппроксимацию производной, а второе — аппроксимацию с разностями против потока.
Конечноразностная аппроксимация (7.27) написана для случая ви > О. ! Член с разностями против потока должен быть, естественно, записан по-другому, если направление потока изменится, т. е. если о" ( О. Вид конечно-разностного аналога в этом случае очевиден. Мы видим, что при увеличении ггаи стоящее в правой части взвешенное среднее разностных производных приближается к разностной производной против потока. При )сан -~- ео производные аппроксимируются в точности разностями против потока. Гибридная схема гарантирует получение отрицательных значений коэффициентов А1 и В1 в уравнении (7.25) и при этом максимально использует центрально-разностную аппроксимацию производной.
Познакомиться с литературой, посвященной роли сеточного числа Рейнольдса и некоторым последним предложениям по решению возникающих при этом проблем, можно в работах (Ка((ЬЬу, 1976; 1.еопагс(, 1979а, 1979Ь; СЬотч, Т)еп, 1978], Вполне вероятно, что вместо гибридной схемы, использующей комбинацию центральных разностей и разностей против потока, со временем будет предложен более подходящий способ построения разностных схем, удовлетворяющих ограничению на величину сеточного числа Гейнольдса. В настоящий момент, однако, у ученых нет единого мнения ни о значительности ошибки, возникающей при решении уравнений пограничного слоя по гибридной схеме, ни о наилучшей альтернативной процедуре. Интересно отметить, что в научно-технической литературе нет указаний на то, что величина сеточного числа Рейнольдса накладывает какие-либо ограничения на возможность применения разностных схем решения уравнений пограничного слоя в тех случаях, когда уравнения неразрывности и движения ре- Э 7.3.
Конечно-рааностные методы расчета 419 шаются одновременно, например по описанной в этой главе схеме Дэвиса или приведенному в п. 7.3.5 модифицированному блочному методу. При совместном решении уравнений величина о в члене оди/ду рассматривается в алгебраических уравнениях как неизвестная, а не как коэффициент при неизвестной и.
Повидимому, при совместном решении уравнений неразрывности и движения пропадают осцилляции и нефизическое поведение решения, наблюдаемые в тех случаях, когда при больших сеточных числах Рейнольдса используются центральные разности. Другой вопрос — является ли получаемое при этом гладкое решение более точным, чем решение, полученное при независимом расчете уравнений неразрывности и движения с использованим разностей против потока. Заключительное замечание о методе Кринка — Николсона и полностью неявном методе. Приведенные в этом разделе разностные схемы специально были использованы для решения уравнений, записанных в физической системе координат, а разностные уравнения были выписаны для случая постоянных шагов сетки Лх и Лу.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
