Anderson-et-al-2 (1185924), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Использование сеток с неравномерным шагом. Практически все без исключения расчеты турбулентных пограничных слоев, в которых решение конечно-разностным методом находилось вплоть до стенки, проводились либо с использованием неравномерных сеток, либо, что часто эквивалентно, с использованием преобразования координат. При этом применялись различные неравномерные сетки. В работе Плетчера [Р!е1сЬег, 1969) в нескольких ближайших к стенке узлах отношение шага сетки гау к величине йу+ (определенной как Лу(т /р)ма/ч ) приближенно равнялось единице, а потом приблизительно удваивалось через каждые несколько точек до тех пор, пока во внешней части пограничного слоя величина Луе не достигала 100.
Другая широко используемая [СеЬесй Вш((Ь, 1974) и хорошо работающая схема основана на предположении о том, что отно- 436 Гл. 7. Численные методы решения уравнений пограничного слоя шение двух последовательных шагов сетки постоянно: Ьр Ьрут~ К Ьр Ьд, (7.54) При использовании такой схемы с постоянным отношением шагов шаги сетки при движении от стенки возрастают на один и тот же процент.
В результате шаги сетки растут в геометрической прогрессии. Для турбулентных течений значение числа К лежит обычно между 1 и 2. Для схемы с постоянным отношением шагов имеем /-1 Кг-' — 1 Лу;=К Лу, и у =Ьу, (7.55) Точность, а иногда и устойчивость некоторых разностных схем оказываются сильно зависящими от выбранного значения К. В большинстве случаев удовлетворительные результаты получаются при К( 1.15. В случае типичного расчета с Лу~+ ~ 1.5, К=1.04, у+ 3000 из уравнений (7.54) и (7.55) следует, что по нормали к стенке необходимо использовать примерно 113 узлов сетки.
При обобщении разностной схемы на случай переменной сетки необходимо заново определить погрешность аппроксимации, так как в этом случае формальная погрешность аппроксимации обычно ухудшается. Например, при использовании рекомендованной выше аппроксимации для поперечной производной от сдвиговых напряжений получим и и л и д Г д«1и 2 ( '„«Ыл «7 „«7 «7-~) др ~~ др )7 Ьу +Ьу \,~!+Па Ьу„1!-На Ьу ) +О(лу,— Ьу )+О(Ьу,+Ьу )и. Это выражение имеет на первый взгляд первый порядок аппроксимации, если только мы не сможем показать, что для некоторой конкретной разностной схемы 0(Лу+ — Ьу ) = 0(Ьу) т. Блоттнер [В!о((пег, 1974] показал, что если в схеме Кранка— Николсона воспользоваться приведенной выше аппроксимацией производных, то при использовании сетки с постоянным отношением шагов разностная схема имеет локально второй порядок точности.
Для этого Блоттнер интерпретировал схему с постоянным отношением шагов как преобразование координат (см. ниже). Свои выводы он подтвердил расчетами, которые показали, что при измельчении сетки его схема ведет себя так, как если бы погрешность аппроксимации имела второй порядок. 437 э 7.3. Конечно-ревностные методы расчета Использование преобразования координат. Общие вопросы, связанные с преобразованием координат, обсуждались в гл. 5.
Здесь мы рассмотрим преобразования координат, применяемые для получения в физической плоскости сетки с неравномерным шагом. Хорошим примером, иллюстрирующим этот подход, является преобразование 1 $ 5.6 (см. также рис. 5.8). Такое преобразование позволяет использовать стандартные сетки с постоянным шагом прн конечно-разностном решении уравнений в преобразованных координатах.
Следовательно, сгущение точек вблизи стенки может быть достигнуто без ухудшения формального порядка погрешности аппроксимации. С другой стороны, уравнения в преобразованных переменных принимают более сложный вид и в них всегда появляются дополнительные переменные коэффициенты. Действительная величина погрешности аппроксимации будет зависеть от вида новых коэффициентов. Преобразования 1 и 2 $5.6 гл. 5 являются достаточно представительными примерами преобразований, которые можно использовать для расчета пограничного слоя. 73.9. примеры прнменення методов расчета пограничного слоя Для ламинарных течений в тех случаях, когда теория пограничного слоя справедлива, легко можно сравнить результаты конечно-разностных расчетов с результатами, полученными для некоторых очень важных течений на основе других более точных теорий.
Обычно даже в тех случаях, когда выбору- размера шага уделяется не слишком большое внимание, достигается согласование в пределах 1 — 2 сл с несколькими стандартнымн точными решениями. На рис. 7.6 сопоставлены профили скорости, рассчитанные по разностной схеме типа Дюфорта — Франкела [Р1е!с!гег, 1971] с аналитическими данными ван Дриста [Чап 1)г)ез1, 1952] для ламинарного течения с числом Маха 4 и отношением температур Т (Т, =4.
Сопоставление профилей температуры для этого случая проведено на рис. 7.7. Согласование результатов достаточно хорошее. Этот результат типичен: он показывает, что можно ожидать при расчете ламинарных пограничных слоев. Совсем другая ситуация возникает при расчете турбулентных течений. Введение модели турбулентности усложняет расчет, а его результаты становятся более неопределенными. Модели турбулентности можно подобрать так, чтобы получать неплохие результаты для некоторого ограниченного класса течений, однако при расчете других течений с условиями, на которые эта модель не распространяется, часто согласование резуль- 1.0 0.8 о.б и "е ал о.г 0.0 г.о 4.0 8.0 8.о 1о о 1г.о — 1/ йе, Рис.
7.6. Сравнение профилей скорости для ламннарного пограничного слоя сжимаемого газа. Сплошной линией показаны результаты расчета методом Дюфорта — Франкела (Р1е!сбег, !971]; О теория ван Дриста; с! т/йе„ре57 (ван Дрист); с(.~/ме„= О.бб (Дюфорт — Франкел). О г Гг 8 8 1О 12 У вЂ” Гйе Рнс. 7.7. Сравнение профилей температуры для ламинарного пограничного слоя сжимаемого газа. Сплошной линией показаны результаты расчета методом Дюфорта — Франкела (Р1е1спег, 1971); О теория ван Дриста; 81 Ч/Ке„ 0.348 (ваи Дрнст)! 81Ч/Ке„0.348 (Дюфорт — Франкел). 439 э 7.3. Конечно-разностные методы расчета татов оказывается плохим. Учитывая неопределенность, связанную как с измерениями при экспериментальном исследовании, так и с моделью турбулентности, отличие рассчитанных и измеренных значений в пределах ~[3 —: 4) ~уз обычно рассматривают в случае турбулентных течений как вполне хорошее.
Даже простая алгебраическая модель турбулентности позволяет при расчете получать хорошие результаты в широком диапазоне чисел Маха, если рассматриваются турбулентные пограничные слои при нулевом или небольшом градиенте давления. 1.0 1.0 0.5 0.5 О 2 4 6 8 1О 12 14 16 18 20 фО Рис, 7.8. Сопоставление результатов расчета пограничного слоя сжимаемого газа на плоской пластине с экспериментальными данными Коулза [Со!ез, 19531. Сплошной линней показаны результаты расчета методом Дюфорта— Френкеле (Р!е(сйег, 19701; О данные Коулза (тест 22); сг=0.00122 (эксперимент), сг=0.00119 (расчет). На рис.
7.8 проведено сопоставление рассчитанного методом Дюфорта — Франкела и измеренного Коулзом [Со!ез, 1953) турбулентного пограничного слоя на теплоизолированной пластине при числе Маха набегающего потока М,=4.554. Согласование результатов вполне хорошее. Конечно-разностные методы легко приспосабливаются для расчета течений со ступенчато изменяющимися граничными условиями, т. е. для таких условий течения, когда применение простых критериальных зависимостей менее всего обосновано. На рис.
7.9 результаты расчета методом Дюфорта — Франкела при использовании алгебраической моделитурбулентностисопоставлены с измерениями Моретти и Кейза [Моге(11, Кауз, 1965] 440 Гл. 7. Численные методы решения уравнений пограничного слоя для случая обтекания низкоскоростным потоком охлаждаемой пластины со ступенчатым изменением температуры при благоприятном градиенте давления. Построенное на рис. 7.9 число 50 ме 25 0.004 0.00 0.00 0.0Ш 15 зс — 1 1 0 1.0 х,м Рис. 7.9. Пограничный слой на охлаждаемой пластине в ускоряющемся потоке, 'экспериментально исследованный Моретти и Кэйзом [Могеш, Кауз, 19Щ Сплошными линиями показаны результаты расчета пограничного слоя методом Дюфорта — Франкела [Р!е1с)1ег, !970[; О данные Мореттн и Кэйза [тест 22).
Стантона Я определяется соотношением Ы=м(дТ[ду) Кр,и,(Н вЂ” Н )К где ̈́— полная энтальпия на стенке при адиабатических граничных условиях. Из научно-технической литературы известно довольно много примеров, когда проведенные с использованием простейших алгебраических моделей расчеты плохо согласуются с экспериментальными данными.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
