Anderson-et-al-2 (1185924), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Это было сделано в основном для того, чтобы при изучении основных особенностей разностных схем иметь дело с наиболее простыми по виду уравнениями. Теперь, когда мы познакомились с основными особенностями конечно-разностных методов решения уравнений пограничного слоя, мы покажем, как их можно распространить на случай неравномерных сеток. Программы расчета на ЭВМ, основанные на применении неявных методов, уже описаны в имеющейся литературе, поэтому они в этой книге не приводятся. Широко известный метод Патанкара — Сполдинга основан на полностью неявном методе и подробно описан в работе [Ра1апкаг, Яра!б!пд, 1970]. Еще одна программа 5ТА5!5, основанная на применения полностью неявной схемы, подробно описана в работе [Сгатч1огб, Кауз, 1975].
73.4. Метод Дюфорта — Франнеаа В качестве еще одного конечно-разностного метода, позволяющего рассчитывать ламинарные и турбулентные пограничные слои, опишем метод, являющийся обобщением предложенного Дюфортом и Франкелом [0цРог1, Ргап1се1, 1953] метода решения уравнения теплопроводности. Конечно-разностный аналог уравнений пограничного слоя мы запишем в виде, позволяющем использовать неравномерные сетки. Пусть Лх+ = х"+'— — Х", ЛХ = Х" — Х"-', ЛУ+ — У;+, — УЬ ЬУ = У; — Уг ь ОПИСаН- ные в предыдущем разделе неявные схемы могут быть обоб- 420 Гл. 7.
Численные методы решения уравнений пограничного слоя щепы на случай неравномерной сетки аналогичным приведенному ниже методом. При описании метода Дюфорта — Фраикела решения уравнений движения и энергии воспользуемся обобщенным уравнением переноса (7.5). Неизвестная ф в этом уравнении может обозначать составляющую скорости, параметр модели турбулентности или термодинамическую переменную, такую, как температура илн эитальпия. В схеме Дюфорта — Франкела устойчивость достигается исключением из диффузионного члена величины ф! путем замены ее средним значением ф на (и + 1) -м и (и — 1)-м слоях.
Однако Дэиси и Плетчер 1ь!апсеу, Р!е1с)!ег, 1974] показали, что на неравномерной сетке более точные результаты получаются при линейной интерполяции ф между (и+ 1)-м и (и — 1)-м слоями, а не при простом осреднении. При использовании линейной интерполяции значение ф! определяется соотношением ф! =(Лх~ф! +Ьх ф! )!(Лх++Ьх ). Как и раньше, мы предполагаем, что в случае турбулентных течений и и о — осредненные по времени значения соответствующих составляющих скорости. В случае сжимаемых течений и = б. Для построения более общей схемы положим, что Х = =Хг+ Х, где Хг — коэффициент турбулентной диффузии.
При использовании метода Дюфорта — Франкела конечно-разностный аналог обобщенного уравнения переноса имеет вид РМЖ" — р! ') В"~Ю+! — аг- ) Ьх, +Ь» + Ьу,+Ьу — "'-'! ] т а' !гав! Ьу, + ау Ьу, Ьу В последнем соотношении $! — источниковый член. Приведем примеры наиболее часто встречающихся источниковых членов. В уравнении движения в проекции на ось х это член с градиентом давления с(р/г(х: а+! е-! Р! Р! Ьх +Ьх Вязкий диссипативиый член 1а(ди/ду)я является источниковым членом в уравнении энергии, если в качестве термодинамической неизвестной используется температура Т: Ьу +Ьу 421 5 7.3. Конечно-разностные методы расчета Диссипатнвный член Сор(й)а7т/1 является источннковым членом в модельном уравнении для кинетической энергии турбулентности й: е а/ар+(й)!!+ар (й)(+,У~/аХ,(й)! '+ЬХ (й)("')I а Отметим, что последнее выражение записано так, чтобы в него не входило значение й в узле (и, 1) разностной сетки.
Это необходимо для обеспечения устойчивости разностной схемы (см. [Ма!1)с, Р!е1с(тег, 1978]). Необходимость такой записи дисснпатнвного члена можно было предвидеть заранее, учитывая указанный выше способ аппроксимации диффузионного члена. Мы уже указывали (гл.
4), что схема Дюфорта — Франкела явная. Хотя неизвестная ф(+~ фигурирует н в левой, н в правой частях разностного уравнения (в правой части по определению величины ф(), это уравнение можно преобразовать так, чтобы выделить неизвестную ф(~~. Тогда мы получим уравнение вида ф( ' = (все известные величины на и-м н (п — 1)-м слоях). Формально прн Ьх+ = Лх и Лу+ = Ьу погрешность аппроксимации равна 0(Лх)' + 0(Лу)' + 0(Ьх/Лу)т. Однако главный член в выражении для погрешности аппроксимации 0(Лх/Лу)а на самом деле равен (Лх/Ьу)т(дтф/дха), а в случае пограничного слоя предполагается, что производная дтф/дхт мала.
Можно показать, что при использовании неравномерных сеток погрешность аппроксимации обычно возрастает, хотя в работе Блоттнера [В!оНпег, 1974] указаны некоторые исключения из этого правила. Такое снижение точности аппроксимации будет характерно для всех описанных в этой главе методов расчета пограничного слоя. На практике можно пренебречь увеличением погрешности, связанной с использованием неравномерной сетки. Почти всегда можно указать способ, восстанавливающий первоначальную точность аппроксимации за счет увеличения числа алгебраических операций. Например, Хонг [Нопп, 1974] показал, что если производную по маршевой координате дф/дх записать при использовании метода Дюфорта — Франкела в виде (ах )т а+1 (а )нее-1 1 (а 2 а а ) а Лх пах++ ах ах то второй порядок аппроксимации будет достигнут н прн Ьх+че Ьх .
422 Гл. 7. Численные методы решения уравнений пограничного слоя Соответствующая конечно-разностная аппроксимация уравнения неразрывности может быть записана в виде и+~ и+1 и-~-1 и~-~ и+1 и+~ и-~ и-1, и+1 и+1 и-~ и-1 Ру е~ Р~-Р~-1 + Р~ из Р~ и! + РС-1и!-1 Р-Ииг-1 ау 2(йх +йх ) (7.29) Погрешность аппроксимации составляет в этом случае 0(Ах)+ 0(Ау)а. Анализ устойчивости, проведенный для случая Ау = сопз1 )Мабпй Р!е1сЬег, 1975а, 1975Ь), приводит к условию устойчивости Р~и~ду (7.30) Ах, (~.
По-видимому, это условие можно использовать для грубой оценки устойчивости схемы и при переменном шаге сетки Ау. На практике оно не накладывает сколь-нибудь серьезных ограничений на размер шага по маршевой координате, вероятно, вследствие того, что отношение р/и обычно мало, а второй член в знаменателе пропорционален разности коэффициентов диффузии, а не самим этим коэффициентам.
Условие устойчивости было получено методом Неймана, при этом коэффициенты уравнения локально рассматривались как константы. Интересно отметить, что неравенство (7.30) следует непосредственно из условия устойчивости Куранта — Фридрихса — Леви, а не из ограничений, связанных с диффузионным членом в уравнении движения пограничного слоя. Это становится очевидным, если диффузионный член д/ду(лдф/ду) представить как сумму двух членов и переписать уравнения пограничного слоя в виде др 1 Г дйчдф Х деЪ 3 + Ро = — — + — ° дх ри ч ду) ду ри вуа ри ' Теперь простое применение условия КФЛ приводит к неравенству (7.30) .
Расчет пограничного слоя начинается с задания начального распределения переменной ф. Так как при использовании схемы Дюфорта — Франкела надо иметь информацию о решении на двух слоях по маршевой координате, то необходимо каким-либо другим методом получить решение хотя бы на одном слое, прежде чем схема Дюфорта — Франкела сможет быть применена. Чаще всего этн начальные значения определяют, используя простую явную схему. Обычно при расчете пограничного слоя надо найти решение уравнений движения, неразрывности и энер- з 7.3. Конечно-разиостиые методы расчета 423 гии. Эти уравнения можно решать независимо, начиная с уравнения движения.
Обычно расчет начинают с вычисления продольной составляющей скорости в ближайшем к стенке узле сетки и движутся к внешней границе пограничного слоя. Предполагается, что внешняя граница достигнута, если полученная в ходе расчета продольная составляющая скорости отличается от заданной скорости на внешней границе не более чем на некоторую заранее выбранную величину. Аналогично можно решить уравнение энергии и определить термодинамическую неизвестную.
Плотность в новом сечении можно определить из уравнения состояния. И наконец, уравнение неразрывности используется для получения нормальной составляющей скорости на (и+ 1)-м слое, начиная от ближайшего к стенке узла и двигаясь к внешней границе пограничного слоя. По-видимому, наиболее привлекательным свойством схемы Дюфорта — Франкела является ее явный характер. Те, кто не имеет опыта применения численных методов, обычно более комфортабельно чувствуют себя при программировании явных, а не неявных разностных схем.
Вторым важным свойством рассматриваемой схемы является то, что никакой дополнительной линеаризации, итераций или предположений для вычисления коэффициентов уравнений не требуется, так как в уравнения входят значения коэффициентов на а-м слое, где они уже известны.
Остальные подробности, связанные с применением методов типа Дюфорта — Франкела к расчету пристенных пограничных слоев, можно найти в работах Плетчера [Р!е!сЬег 1969, 1970, 197Ц . тд.б. Блочный метод Келлера и модифицироианный блочный метод Блочный метод Келлера [Ке!!ег, 1970] решения параболических уравнений в частных производных был модифицирован для расчета турбулентных пограничных слоев Келлером и Цебеци [Ке!!ег, СеЬесй 1972] и подробно описана в работе [СеЬесй Бш!!Ь, 1974]. Это неявный метод, имеющий формально второй порядок точности, он отличается от других неявных методов второго порядка точности тем, что шаги сетки с самого начала полагаются произвольными. Вторые производные заменяются первыми; для этого вводятся дополнительные неизвестные [и дополнительные уравнения). Рассматриваемый метод приводит к более сложным алгебраическим уравнениям, чем большинство других методов решения уравнения теплопроводности, поэтому он не был описан в гл.
4. Сначала мы обрисуем блочный метод Келлера в общих чертах, для того чтобы показать его основное отличие от других ме- 424 Гл. 7. Численные методы решения уравнений пограничного слоя (7.31) (7.32) Теперь мы постараемся построить конечно-разностные аналоги этих уравнений, используя лишь центральные разности и Т'' /-1 ° Рис. 7.2. Ревностная сетка для блочного метода Келлера.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
