Galitskii-2 (1185112), страница 74
Текст из файла (страница 74)
1) Записав погюжительно-частотное решение Фь(г,1) уравнения Клейна-Гордона (ХЦ1), описываюшсс физическое состояние частицы, в виде суперпознции плоских волн Ф+(г,г), см. формулу (3) предьшушей задачи с указанным в ней значением коэффициента С+(р]: б !. Уробнелие Клеймо-Гордона 267 Ь [г-гв[ К— гпс 15.8. Получить выражение для среднего значения энергии свободной бесспино- вой частицы в произвольном состоянии, описываемом решением Ф '(г,1) уравнения Клейна-Гордона. Решение. 73ля вывода искомого соотношения воспользуемся тем обстоятельством, что для свободной частицы волновая функция в импульсном представлении а (р,1) = а (р)ехр — — с(р)!) Ь (!) имеет, квк н в нсрслятивистской квантовой механике, обычный смысл амплитуды вероятностей импульсоа, см.
предыдушую шланг. Поэтому при нормировке этой волновой функции условном (, !)!' бз (2) среднее значение энергии частицы дается обычным выражением -7".ьз"ьззгг.-,Г" з е~рзт ~..з е ' зз Теперь заметим, что в координатном представлении волновая функция Ф+(г, !) произвольного состопиия свободной частицы описывается супсрпозицисй положительно частотных З Несколько иной ладхса к этому саврасу и сбспзаеиис роли текил локализованных состояний см.
в кингс Е биглгг. Зтюлм а симметрии М. Мир, 197!. вид оператора координаты, Р м кй з, в импульсном арсдстзвлсиии. В этом представлении гг иском ыс с. ф. а„(р) = — ехр (-зргс) (2л)згз как и в нерелятивиатском случае; здесь и ниже Ь = с = 1. В координатном представлении согласна формуле (!) получаем з(' — / (2к)з/з(рз+ зпз)оч ч(Р) » з 1 т д Г сов(ту~~ т УГзгз(тг) 2згз Т дг'.7 (рз+ !)Цз (2аз)цзГ(1/4) (ту)зуз ' с где г = [г — гз(. 2!ля выполнения интегрирования по импульсам в первом интеграле использованы афсрнчсские координаты с полярной осью аваль направления вектора (г — гс); для второго (однократного) интеграла иапользовацо его выражение через функцию Макдональва, см.
[33, с.973[. Обсудим свойства собственных функций Ф;,. Прежде всего отметим предельные случаи (мы восстановили» Ь и с); Ф,',,(г) сг ) ! [г — гс[з!з 1 ( тс ) Ь (4) ехр ! — [г — ге[), !г — гв! ~ —. [г — гз['З' ( Ь ) ' тс Зтн с.ф. не свшштся к б(г-га), как в нерслятивистском случае, а локализованы на раастоя ниах порялка комптоновской длины волны частицы Ь/тс. В нсрсллтивнстскоы пределе, т. е, при с сю, область локализации функции Фз(г) стягиваегая в точку и тзк как при этом 3' Ф,+,(г) ИУ = ! (для вычисления интеграла удобно подставить в него разложение (3) в. ф. по пласкии волнам и вьшолнить сначала интегрирование по переменной г, лаюшсс б(р)), то в этом пределе с. ф Ф;,(г) сводится к б(г - гз), как и следовало ожидать.
Глава !б. Реллтидистские Волнодьге ррадненил (5) (В) решений уравнений Клейна — Гордона (ХЧ 1), свнзанной с в.ф. в импульсном представлении соотношением Ф (г,з) = у! ~( — е" (р,г)е"1 —, х(р) ' (2хд)'!! ' (4) см. 15 ! и 15.7, из которого следует — е (р,С) = / Ф~(г,С)е г(р) ' ' (2яй)з!т Испояюуи последнее сошношение, преобразуем выражение (3) следующим образом' г м ~(р~с~ + ттс ) Фг'(г,1) сне ц" Ф~(г', 1) езрц~г'й~г = (2хй)'пзс' у Ф"(г,С)(-Л'с'Гх+т'с ) ехр — р(г — г')~ Ф'(г',С)В ре'г й'г (6) (обратить внимание на порядок распшюженил сомножителей и послслцеьг интеграле, улобный длн его лальнсйших преобразований).
После выполнения и (6) интегрирования по импульсам с помощью форьгулы — / ехр 1 — р(г — г ) ! й р = 6(г — г') (гхб)з / (й элелгсггтаргСо выполнветен иггтегрирование и по гг, так что Ллн среднего значени» энергии частицы получаем следующее выражение; Г В= —, ( Ф~'(г,С)( — Д'с'Гь+ шзс')Ф'(г,С) В'г. (7) При этом условие нормировки (2) вояновой функции в координатном предстаплении прини- мает еид (еле формулу (2) предыдущей задачи) л- ' (я (р,С)! Вр= — )(Ф ' — — — Ф )Ег=1.
2тст,/ ( д1 д1 Мхекно получить и несколько иное, эквивалентное (7), выражение для среднего значения эггергии частицы, если воспользоваться вытекающим из формул (!) и (5) соотношением ьуе, д о'(р,С) 1 Г, з В + Нзг -з — я+(р С) = — — ' = — е ™з — Ф+ (9) дС Гй х/тс! / дз (2кй)згт С помощью выражения (9) формулу (5! легко записать а координатном прелставлснии слепуюгггилг образом; е = — 71 ( — Ф'(г, 1)~ — Ф'(г,з) Е'г. (СО) шсз,/ 5,ВС ' У дз Согласно полученным выражениям (7) и (10) среднюю энергию бссспиносой частицы можно звписать также в зиле — +(чФ ) (ФФ )+ (Ф ! тег, = 2 / 1 сдС сдС ' ' ' б! (11) аналогичном (с точностью до нормироночного множителя) энергии классического скалярного (илн псеядоскалярногп) комплексного поля, удовлетвориюшего нцхновол~у уравнению ( ' ') -Сз Ч вЂ” + и~~ Ф(г,з) = О, и = —.
ВСт У' ' ' й ' Энергия такого поля Е = ) Тм В~с выражается через компоненту Тге (нли Тм) тензора энергии-импульса, имсюгцую вид (27) Гдф' ВФ Таз а ~ — — ч- (ВСФ')(ФФ) + и'Ф'Фт, ~ ВС сдС см. также следующую задачу о свнзн среднего импульса частицы с импульсом классического полн. 61. Уравнение Клейма — Гордало 269 В заключение злнетим, что проваЛенное рассмотрение испосредстаенно переносится на случай античастицы, если для описания ее состояний используется зарядово-сопряженная волновая функция Ф,+(г,с), см. С5.2 и С5 3.
15.9. То же, что и в предыдущей задаче, но для среднего значения импульса частицы. Решение. Как и при решении предыдущей зшсачи, похолим из импульсного предстаптсиия, в котором волновая функции частицы, как и в нерслятниистской квантовой механикс, имеет смысл амплитупы вероятностей значений импульса При этом срспнее значение импульса частицы опреасллется выражением р= / р)а+(рм0) дзр= ~а (р,с)р (р,с]езр. (О используя соотношения (см формулы (5), (9) решения прелылушей задачи; там же обсужаает- ся связь в.
Ф в координатном и импульсном представлениях и исгюльзуемая нормировка в. Ф.) ч т з — а (р,с) = / Ф+(г, С)е г(р) ' / ' (2 Д)иш --ьГпюзеп (р,с) = ) е "' — Ф (г,с) —, г „д а , д" Ь Г дС ' (2ял)'Ст ' выражение (С) можно записать а виде р= (2яй)зшсз,/ ' ас ( Фь'(г С)ренС' 77 — Ф'(г',С) Е розга г = д' (2ял)зглсз ' дг ВС Ф~'(г, с) — е'гс' 77 — Ф"(гг, с) езр ю~г'о~г. (2) Здесь элементарно яыполнпется интегрирование сначала по переменной р (дающее множи- тель 5(г - гг)), а затем и по гг, по позволяет получить исконос выражение для среднего импульса частицы: р = — / Ф"'(г,С) — — Ф'(г,с) Д~г.
'.г' ' вг вс (3) Имея в виду отмеченные преобразования, легко сообразить, что оно лгожет быть записано в более симметричной форме: л' ггаФ' вф" вф" вФ') (4) 2глсз,с ( дг ас дс аг ) Это выражение для срслнего импульса бесспинояой частицы с точностью до нормировочного коэффициента имеет такой же вил, как и Формула для импульса классического скалярного (или псевдосквляриого) комплексного поля. Кочпонснты импульса поля определяются выражением Р, = 3 Ть Юзг, тле Те (или Ти) — плотность илшульса полн, являюшаяся соотвстствуюгцей компонентой тсизора энергии-импульса (27); при этом Гвф' дФ дф' дФ 5 Т, гх — ~ — — т — — ГС, 'з,ае, ВС ВС аа,/' где т = С,2,3 (сравнить с аналогичным замечанием в предыдушсй задаче относительно энергии).
15.10. То же, что и в предыдущих двух задачах, но для среднего значения момента частицы. Решеияе. Зэлача решается аналогично двум прсдылушим Иохан» из формулы дпя средних значений колгпоиент орбитальною люмента частицы а импульсном представлении с=/а 'Та губ Глава (б. Реллтибистские Волнобые ураВнении и используя преобразования, аналогичные описанным в решениях уктанных задач, приходим к выражению ! = — / Ф+'(г,() ~г — ~ — Ф (г,т)дзг, тсг./ ' ~ Вг~ дт или в более симметричной форме; В таком виде оно совпадает с формулой для момента В классического скалярного поля (сравнить с аналогичными замечаниями в отношении энергии н импульса, сделанными а укаэанных выше задачах). При этом выражение для плотности А момента поля имеет наглядный физический смысл, так как сто можно записать в виде ! л(пт) = -[ 1, А где к(г, т) является плотностью импульса поля, см, предыдущую кчдачу. 15.11.
Найти в релятивистском случае энергетический спектр заряженной бесспино- вой частицы, находящейся в однородном магнитном поле. Решение. Энергетический спектр и соответствующие волновые функции стационарных состо- яний определяются из решения (стацнонарнога) уравнения Клейна-Гордона для заряженной частицы в магнитном иоле, имеющего внд 1 (с (р — — А) +те )Ф=сф; (г) здесь с — заряд частицы, кг = газ А. Это уравнение отличается от нсрслятнвистского уравнения Шредингера ! / с;1 — (р--А) Ф ЕФ 2т~ с ) (2) сг,„--та +рс +2тсйы(п+-), п=б,!..., ы= — >О.
2 1 ° ту 2 ~ )е[ Ото кща следует (3) сг „ж (*и= гьчгэг Интерпретация двух значений ср,„, атличаюшикся знаком, точно такая же, как н в случае свободной частицы (см. 15.2 а также !5.3). Одно нз них, с,„> птс', описывает энергетический спектр частицы. заряв которой равен е, как н в уравнении (!).
Отрнцвтсльние значения сгт < -пзс' ассоциируются с состояниями античастицы, имеющей заряд -е; прн этом энергия античастицы равна -с > тс'. Таким образом, энергетические спектры частицы и античастицы в магнитном палс одинаковы (это абатоятсльство очсвиано зарансс, так как энергетический спектр нс зависит от знака заряда частицы). В заключение сделаем замечание о характере энергетического спектра. Как н в нсрслятнвистском случае, он имеет непрерывную зависимость от р„связанную со свободным продольным (вдаль магнитного поля) движением частицы, а также включает дискретную зависимость от квантового числа п, связанную с поперечным движением частицы (носящим финитный характер).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
