Galitskii-2 (1185112), страница 75
Текст из файла (страница 75)
При этом попсрсчнос движение частицы отражается на кинематике свободного продольного движения (в отличие от нсрслятивнстского случая) и согласно лишь заменой Е на (сз — т'с')72тс'. Поэтому, воспользовавшись известными результатами решения последнего уравнения для частицы в одноролном палс в 7Л, где оно было получено при различных калибровках векторного потенциала, в релятивистском случае находим 271 б 1. грабленое Клейна — Гордона формуле (3) может быть наглядно описано как изменениях йы гл пз„= п! 1+(2п+1)— глез массы частицы. 15.12.
Найти энергетический спектр з-состояний бесспиновой частицы во внешнем скалярном поле(см. 15.4) вида Каков энергетический спектр античастицы в таком поле? Обсудить трудности в интерпретации энергетического спектра, возникающие прн значительном углублении ямы. Решение. Энергетический спектр частицы в скалярном поле определяется и» решения урав- нения [-й~с~д + 2гастУ(г)] Ф = (е! т~сс) Ф (!) Оно имеет вид нерсллтивистского уравнения Шредингера для частиим в потенциале У(г), в котором энергии Е заменена на (е' — т'с')/2тс'. Ограничиваясь рассмотрением з-состояний частицы (так что в.ф валяется сферически симметричной) и сделав подстановку Л(г) = ге(г), приводим уравнение (1) к виду йт 2гл ез — пззс' — — В+ — и(г)Е = Е.
Игт йт йтс Лля Рассматриваемой потенциальной ямы его рсшени», удовлетворяющее !Раничному условию Е(О) = О, в случае (с — к~с ) < О описывается выражениями 2пзУе Е(г) = й' Аз)п — — кзг, г Са Ве "', г>а, где 1 н= утш псе с >О (3) йс (так как У =- О при г > а, то в области значениЯ с' > т'с' энергетический спектр непрерывный; рассеяние на скалярном потенпиале рассмотрена в 15.19). Условия непрерывности в.ф.
и ее производной в точке г = а приводят к трансцендентному уравнению 2глУеат ! 2глУеаз тй — — «таз =- — —, — и„'ат, йз к„а й' определяющему энергетический сПектр связанных е-состояний. Обсудим основныс особенности энергетического спектра, которые легко понять, имея в виду отмеченную вьнне аналогию рассматриваемой задачи с задачей об уровнях д. с нерелятивнстской частицы в сфсрическо!1 потенциальной яме. 1) В достаточно мелкой яме связанные состояния отсутствуют; онн, как и в нереллти. вистском слУчае, поЯвлЯютсЯ лишь пРн выполнении Условие Уе > х'й'/Зпза'. 2) При дальнейшем углублении ямы (т.с.
при увеличении паралтстра Уса!) будут появляться новые дискретные уровни; при этом для уже сунтествуюн!их уранией значение величины (пт с' — е„) будет увеличиваться, что соотвсктпует увеличению !Е„! при угяубтснии ямы в нерелятиеистскои случае, т.с. с„' уменьшается при углублении ямы. 3) Специфическая ллл релятивистского случая ситуацив при углублении нотснпигшьной ямы возникает при постижении основным уровнем значения ет = О При лальпсйимм увеличении Уе значение ее становится мнимым, что свидетельствует о пояяяенин нсуснтичивосги в рассматришсиой хчдаче.
272 Глава 15. Релятибистскне болнобые уробнения Для понимания причины гюэннкновення такой неустогзчивости необходимо иметь и пилу следующее обстоятельство Решение задачи позвочяет найти величину с'„. так что при этом г„ы му/гт. Получающиеся два значение энергии, различающиеся знаком, слелует интерпретировать так же, квк н в счч'ше своболнай частицы, олпо из них, г„> О, лает уровни энергии частицы, другое, с„< О, отвечвсг уже античастице, энергив которой равна (-е„) > О. Действительно, при уменьшении глубины лмм все уровни с„> О идут вверх и переходят в верхний континуун г > птс, а уровни с„< О сливаются*с нижним контннуумом г < -тс .
Соотггегстеенно, энсрштичсский спектр частицы и античастицы но внешнем скалярном иоле одинаков, т.с поле оказывает на них одинаковое воздействие (в отличие, например, от электростатического полн, сравнить с 15.3 и 15.4) Таким образом, при расс магри ваемьш крьвгвчегких значениях параметров ямы (ее глуби. нп и ширины) знерги» оснопного состояния как частицьц так и античастицы в яме принимает значение се = О При этом оказывается возможным спонтанное рожленис пар тчастица + а>пичястнца (или олиночнмх частиц, если они истинно нейтральные). Именно это обстоятельство является физической причиной возникновения отмеченной выше неустойчивости решения одночастичной задачи в сильном внешнем поле~Г. В сильных пелих возникает также перестройка вакуума, сч по затронутым вопросам монографию А. Б Мнгдава (31) Обсулим зависимость критического значения Ув, „„глубины ямы ст се ширины а Положив в формулак (3), (4) ке — — О, приколим к уравнению Из него е предельных случаях широкой», о » й/тс, и чуткой>, а « Л/лзс, им имеем: тс' я'й' / тс'Х 6 о) Уе.г " з( / (б) в~в~ тпс 6 б) Уь,р ш — + — (» лтс ), а «вЂ” Втпат 2 тс (отметим, что, незаоисимо от ширины лмы Уе „р > гпс'/2, приведенные выражения определяют наименьший корен~ Уе „„уравнения (5), лругие корни уравнения отвечают обращению в нуль гт с и > 1).
Как видно, широкаяь скалярная яма съедает энергию покои при глубине Ув ш тсз/2. По мере уменьцшния шириггы мубиггв критической нмы возрастает. В отмеченном случае б) «узкой ямы значение Уе, относительно мапо отличается от глубины нмы. отвечающей возникновению связанного состояния. 15,13. Найти энергетические уровни дискретного спектра заряженной бесспиновой частицы (заряд -с) в кулоновском поле ядра с зарядом Яс (ядро считать точечным и бесконечно тяжелым). В случае Яо ~ 1 (а = ез/дс ш 1/137), сравнить полученный результат с соответствующим выражением нерелятивистской теории. Обратить внимание на трудности, возникающие в интерпретации энергетического спектра при достаточно больших значениях заряда ядра, и объяснить их причину. Решение.
Уровни энергии и соответствующие им палноиыс функции определяются из решениии уравнении Клейна-Гордона (стационарноа формы уравнения (ХУ 2) с А = О и ы = Ве/~ ). з 1 (-й с Ь + гп с ] Е = ( з + — ~ Е. з т т г' тг Зьнетим. что шою ~асз и шая з ыачв тернет Физические ем мел также и е случае ие слишком сильных пояса. если оин кшиются бмстроперснсииыл<и ео времени, твк что сушсстынно отличны от нуля Фурье-конлонснгн цотсгцгиалз У(м), отычзю~цие истогвч и > нег/Л Формально неприменимость оюючасти гиого иалхолв ь ыон случае сатана с невозможностью разбиения Венеций волнового ураннсник на нсзаьнсичые иолонительно.
и огринатсььно.чвстотнь~е !асти (нз-за сер«толов ненлу лини). являюенг кн сунгествечнмч злснеиточ и интерергтании Веаси~ и волнового упнвисиия. солостаьлхсммх Сасзояггикн слили истинн [или внтичзстииы. Физичсскв» цргмниз состоит е еозчониссти роквения ионмх чист цд 6 !. УраВнение Клейми†/ордене 222 (3) (4) и произведи в нем залгены (3), наводим (е — гп с ) и, + -+ !4. — — Х'о' =-В а е 2 (, 2/ Отсюда следует выражение для искомого энергетического спектра. м Взоэ е„н=иъс !— ч ° ! ° г+~~ (5) (формально здесь и правой части следовало бы ввести два знвка, ж, однако выбор энака «-» отвечает «лишним уровням, нс входящим в энергетический спектр; такие уровни ассоциировались бы со связанными состояниями античастицы, в их в условннк рассматриваемой задачи, те. для точечного ядра, нет, сравнить с 35!6). Сделаем несколько замечаний в связи с полученным результатом (5) Как ливио, учет релятивнстскик эффектоа снимает случайное» вырождение уровней в кулоновском поле в нерслятивистской теории теперь онн зависят от орбитального момента частицы В случае Яа «! иэ формулы (5) следует э гп(бе!)» т(без)т / ! 3 ! П„н = е4н — шс = — — — Ва — ~ — — — /!.
(6) 2йтпг йтпз [,2!.л ! 8п/ Второе слагаемое шее ь предстанллет релятивистскую поправку к результату нерелятияисгс кой теории, сравнить с ! !.!. При значениях Яо > !/2 формула (5) лрннодит к комплексным значениям энергии (сначала лля з-состояний, а затеч и для больших значений орбитального момента), что указывает на появление неустойчивости в рассматриваемой задаче Причину сс легко понять, если заметить, что слагаемое -э~е /2гпс'г! в урапненни (2), сингулярное при г О, можно рассматривать как часть потенциальной энергии, имеющую карактср притяжения При значенипх Яо > !/2 такое притяжение нш~яется настолько силышлг, гто возникает падение на центр, см.
(!), а также 9.!4 При учете конечности разчсров ядра потенциал ограничен и, соответственно. такой неустойчивости уже не возникает Однако даже в слу чаев ялра конечного равиуса 32 лальнейшес упеличение сиз варила приводит при некотором значении З„р (заяисяшем ог радиуса В) к появлению новой неустой ~ивссти спектра рассматривасчой системы. Физическая причина сс анаоогичиа обсуждавшейся в предыдушсй задаче: в достаточно сильном аз!скэйлета~нивском ноле (как и в скалярном поле) становитсв энер~стллчсски во»- можным спонтанное рождение пар *частица .!- античастица, так что одночастичнан задача Учитыва» сферическую сллмллегрию задачи, решение уравнения ншем в анде Ф(г) = 2(г(г) к Уг„(И, м).
При зтои из ( !) слслус г (' Иг ! Вт йг[(3+ !/2)! — !/4[ Бете Взел 3 кг — «лэсл г+ '[ 22 = /2. (2) 2гп г Игт 2гпг' «лсгг 2тс'гз [ 2глст Это уравнение имеет форму ралнального уравнения Шредингера (П62) дая водородоподобного атома а нсрслятнвистской теории: (' 1» ! 4 й [(! Ч- !/2) — !/4! Ве — — - — г 4- 2пл г йгг 2щгт и получается нэ него с помощью следующих замен (а = ег/йс);  —, [3+-/! [3+ -/! — Я~а~, 8„н Теперь воспользопавшисл из~ыстлпам выражением для энергетического спектра нсрелятивистского волародополобного атома (иана) гл(бе ) гл(Яе ) Вм, щ Е„м— 2дгпт 2дг(п + !/2.!.! е (/2)т Глава 15. Реллтибистслое Волнобые уробиеноя 274 15.14. Показать, что для состояний свободной частицы уравнение Клейна — Гордона можно записать в виде уравнения шредингера, <йВФ/Вс = Й <Ф.
найти соответствующий гамильтониан и обсудить его нерелятивистский предел. Какова связь шредингеровской волновой функции Ф с решением Ф+ (см. 15.1 и 15Л) уравнений Клейна †Гордо? Решение. Уравнение Клейна-Гордона для свободной чаатицы (ХУ 1) можно записать в аиде ( .—.~" --,аг' — )...=. вс /<, вс (1) Его решения Ф г, аписываюшие физически реализуемые состояния частицы, с<ютветствуют положительным энергиям (частотам), см. 15.1, и удовлетеориют уравнению (-- — <и' <'3 ) В вс кг— имсюшему уже вил уРавнения Шредингера, <Л-,Ф = ЙФ, с гамильтаинаном ЛРЛ = ОЯ'ЫГ (3) (для отрицательно-частотных решений уравнения имеем <дь,Ф = -ЙФ 0; после выполнения зарядового сопряжении, Ф; = СФ, эта уравнение принимает внд (2), но уже длл волновой функции Фа античастицы, см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
