Galitskii-2 (1185112), страница 79
Текст из файла (страница 79)
15.21), для частицы со спинам з = 1/2 волновая функция у« Ф+ = и(р)е'(э' " Гэ; и(р) ю тур Р с + глаз Укаэанное состояние явпяетсл двукратно вырожденным (существует два независимых способа выбора спннора «р), что связано со спнновой степенью свободы.
Рассмотрим два таких независимых состояния, соответствующие выбору спинора ы в виде р», где (ый)ю» = Л«р», я — произвольный единичный вектор, Л = ж1, см. 5.12. Убедиться в ортогоиальности спииовых состояний релятивистской частицы, отвечающих различным значениям Л. Используя результат предыдущей задачи, выяснить физический смысл вектора я и соответствующих собственных значений Л. Каков смысл вектора 1 «р'о«э при нормировке (Л'«р = 1? Решение. Имея в виду, что Г» Ф„» = и»(р)схр) -(рг-сз)), и»(р) = сор, и»(р) = (р»«р» — ), '(» р» с+я«с изладим с«(ор)«) 2с Ф»» Ф»» и» и» «т»' ~« «~ р» = «р»»р» «бхм (с+та«)«) с+п»с' чта показывает артагоню«ь наст ь рассматриваемых си и новых сОстояний релятивистской частииы, отвечающих различным значениям Л (при этом использована ортогонаэьнасть р» р» = бя» лвухкампонснтнмх спиноров как с.ф.
эрмитою оператора ай). Ответы на запросы, наставленные в условии Ленной задачи, становятся ачспидиыми, если учесть результат прсдылущсй »мычи. 6оглаана паслелней, спинор р а биспиноре и(р) = Г ), описывающем одно и то же физическое состояние частицы с определенным »Х)' импульсом, в разных инсрииельнмх системах координат одинаков (с точностью до нормировочного множителя). В системе покоя биспинар имеет внл и(0) = «) и саотвстсгвен- »О) но и»(0) = «0 ). Но в системс покоя частицы уравнение (оа)р» = Лр» эквивалентна Гр» 1 (Еа)и»(0) = Ли»(0), (1) т.а.
является уравнением на сабствсннмс функции оператора Ей = 22й — улваанной праекиии спина на ась, направленную влоль вектора Гй Таким образом, наглядный смысл вскгар й, 82. Уробнвние /(ираки 287 фигурирующий в определении биспинора и»(р), имеет не непосредственно в исходной систе- ме координат, в которой импульс частицы равен р, а в системе, где онв покоится, определяя направление, нв которое проекция спина частицы имеет определенное, равное Л/2, значение. Далее, вектор ти'ии оПрЕделяет сРеднее значение вектора спина в системс покоя частицы (во избежание недоразумений подчеркнем, чта в задаче рассматриваются состояния частиим с определенным значением импульса и именно поэтому имеет смысл говорить о системе покоя частицы).
В заключение заметим, что рассматриваемой зшачс о классификации спиновых состоя- ний частииы с определенным импульсом по квантовому числу Л можно придать кошриантную Форму. Для этого введем оператор /ии Л=»7»йш»72(7и+7»и») = ( и), (2) где и, = (1», и») — некоторый саиничный 4-вектор. так что и, = и + и» = 1, ортогональный 2 1 1 4-ИМПуЛЬСу ЧаетнцЫ р, м (р, зг/С), т. Е. Ирз = Мр — ЬЬС/С = О, а и, ы /из.
Прн Этан урааиеине Ли»(р) = Ли»(р) (3) эквивалентно уравнению (ий)р» = Лр», где связь трехмерного вектора й с 4-вектором и, опре- деляется тем условием, что в системе покоя частицы ц имеет еил Д = (й, О). Действительно, учитывая выражение два биспинорв и»(р) и оператора Л находим (.("-.—:) ) Далее, выразив и, вь через компоненты (й,б) с помощью преобразования Лоренца лля 4-вектора: с с и = и» + 1»я = й„.ь — пв, 1'с = (мр) т 2 ' г где знаки Л, () соответствуют перпендикулярным и параллельным составляющим векторов по отношению к вектору рДр(, получаем сиеР зз(с тс )Р гпс и — — и— м»+ из й. с .1 тс1 4322 с При этом, как видно, верхний спннор в биспнноре (4) совпадает с (ив)у».
Аналогично убежласмся в справедливости соотношения ( с (им)(ир) Л с(ггр) ие— ) р» = — (сгй)р» с+ тсз ) с+ тот для нижнего спинора в (4). Из приведенных равенств и следует эквивалентность уравне- ния (3) уравнению (ий)у㻠— — лвг». заметим, наконец, что такая эквивалентность уравнений очевилна из следующих соображений. Введенный оператор Л является скалярным (точмее, псеваосквлярным) оператором по отношению к преобразованию Лоренца.
Соответственно из ковариантности уравнения (3) вытекает, что выполнение его в одной из систем отсче- те автоматически обеспечивает справедливость уравнения и в любой лорснцевой системе; а в системе покоя частицы уравнение (3) имеет вид (ий)и» = Ли». 15.27. Выполнив преобразование зарядового сопряженна, найти явный вид волновой функции йг+ состояния античастицы, соответствующего решению уравнвния Дирака чч с определенным импульсом, равным -р, и отрицательной энергией Е ы -е ы -Чр» Гвтг ° - с ° - ° » ь.~.
» *»с частицы (с энергией с > тпсз н импульсом р), см. 15.21 и 15.26. Квк изменяется квантовое число спирпльность при зарядовом сопряжении (сравнить с 15.2)2 Глава 15, релятиВистские ВолноВые уробнения Решение Решения уравнения Днрака, отис шюшие определенным значениям импульса и элер! ии части!нш имеют види!, см. 15 21, созе ( Ф, = СФ = — 7з7гФ = ттул(Ф Д) (2) или более подробно, с указанием биспинорныч инаексол: (Ч'«) = (7!7л) л(Ф Р)4 = (7!74) л(Ф )лр л = (7г7л)льАл(Ф ')л = (7!7!1))«л(Ф"')и = (7!) г (Ф )л (3) (здесь ~сп~л~~ов~~о, что;9 = тл Д = ! гз г = Вгл).
Воспользовавшись соотношениями / сс" р Х» о'=(ен-гмо!), оггг'=-оиг, согласно (3) накодим в ф состоянии античастицы, соответствуюшсго лнефиэичсскому рсншнию Ф,, уравнении Дирака: -гозХг х', с+те' «рл"а~Я Л Обозначив р, ш -!игу!', версии!яем выражение (4) в виде Уь ° + ! игл/ (5) что па форме совпадает, естественно, с волновой функш!ей аналогичного состонния частицы с импульсом р и энергией с. Волноьая функция состояния античастицы с определенной спиральностью Ф;н„улоаяетнорлег уравнению (Ем)Ф м! = ЛФ дл, л 2 '" '"' Ы' из которого следует 2 (огз)9',г! = Луг.г!.
(6) Обрашшм внимание нл ссотытстлие текил обозначений испол юолаиимм ранее а случае Сссслине!юа честном. см. 15.1 пгс с = т/ргсг+ттсл > тс!. При этом решение Ф,", имеет физический сьгысл волновой функции состоинии частицы с импульсом р я энергией с Решение Ф„, от!ючаюцме формально отрицательной энергии н имнутьсу -р, не имеет непосредственного смысла в.
ф состоянии члсгицы. Такое решение сопоставляется античастицс, причем в.ф. античастицы Ф, = СФ получается е результате применении операции зарядового сопряжения С к функции Чг . Это преобразование при используемом вибо. ре (Хт'.5) матриц Дирака записывается в пином виде следуюшим образом 92. Урабнение Дирола 289 Учитывая установленную вы!ве связь спинора мсг в в. ф. античастицы со спинором ур в Решении Ф уравнения Дирака (уч т = -тету '), замечаем, что уравнение (6) эквивалентно уравнению 1 --( ю)Х,.
=АХ, (ео избежание недоразумения подчеркнем, что спинор 71, соответствует решению уравнения Дирака с импульсом -р; поэтому оператором спиршгьности ллл него является --,'(ею)). Это означает, что прн зарядовом сопряжении Ф,' = СФ квантовое число сгшлальнлгте сохраняет свое значение (в то время как импульс и энергия изменяют знак; отмеченное свойство спиральности наглядно проявляется в Феории дырок», в которой античастица интерпретируется как дырка среди заполненных состояний частицы С отрицательной энергией).
15.28. Показать, что для дираковской частицы с массой ш = О оператор (матрица) Тз коммутирует с гамильтонианом свободной частицы. Найти собственные значения указанного оператора и вьшснить их физический смысл. /О 1Х Решение. Коммутативность эрмитова оператора уз = -1 ! О 1 с гамильтонианОм Д = сыр = с! О гр безмассоеой аираковской частицы очсвилна: (тый) = О. 70 вт 'х гг Для выяснения физического смысла с. з. Р оператора уз найдем общие с, ф. Ф „ коммУтиРУюших дРУг с лРУгом эРмитовых опеРатоРов Й, Р, уз. Зги фУнкцин имеют внд / рм (П 1 сФРР./ г (сРавнить с 15.21), пРичем из УРавнениа Тзфмя = РФм„слелУет с с вррм = Реть Ртя = Р одры.
(2) Отсюда Р' = 1, т. е собственные значения равны Р = ж! (что, впрочем, очевидно заранее, так как тзг = 1). Имен в виду соотногления (2) и равеггшво (вр)' = р = ст/с, замечаем, что уравнения е 7зфил = ЛФг и " (зг")Фю я = Р Фг я !е! (3) гае а = р/р. эквивалентны друг другу. Отсюда слслует Физический смысл величины -Ре/(е! квк удвоенного значения 2А спиральности состояния. Таким образом, для решений уравнениЯ Дирака с положительной энергией е = рс > О имеем Р = -2А, а югя решений с отрицательной энергией (сопоставляемых античастице) уже л = 2А; в связи сданной зышчсй см. также 15.27 н 1529.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
