Galitskii-2 (1185112), страница 81
Текст из файла (страница 81)
Ф. гио не пзллетсл собственной функцией оператора г, = з~зч. Тем не менее, имеющее место а нереллтнаистской теории ллл диракоаской чзстицй вырождение уроеней поперечного деиженик по значениям о„ см. 7.9, согласно (4) сохранлется и а релптиаистском случае Выражение (4) даетдза значения энергии, различаюшиесл знаком Одно из инх, г > птст, нецосредстеенно преастааенет собой энергетический спектр частицы, другое, г < -птс, соответствует античастице, имеющей уже положительную энергию (сраанить со случаем сеободной частицы, рассмотренным а 15 27). При этан энергетические спектры а магнитном поле частицы и античастицы один*каны — ачеаилный физический результат (срааннть со случаем бесспиноаой частицы а магнитнои иоле, рассмотренным е 15.11). ег5.34. Найти а первом порядке теории возмущений дифференциальное сечение расселина диракоаской частицы а кулоноаском поле ядра с зарядом Ве.
Ядро считать бесконечно тяжелым. Решение. Гамильтониан диракозской частицы зо внешнем электростатическом поле имеет аид (е, — зарлд частнцм): т Веег Н = сгх9 4 гпс В + е~ Ае(г) ш Не + У, У = е Ап =— г Рассчитаем пифференпиальное сечение рассеянии частицы согласно формуле теории возмущений длн перехоаон з непрерыаном спектре между состоннинми сзободной частицы с определенными значениллги илпзульса'51, сразиить с (1, 9126). '11 Более аослеаозетгльнып способ расчета дифференциального сеченнл, аснотзнныл на еычнсшннн амилнтулы реесечннх а Сорнозском приблн|кенпн, см. !5 37. 299 92.
Уггпбкекие Дарана (Яеег) / вг г В'2 ВВ= ~1 — — зги'-~ ВП 4р»вг яп 2(В/2) ~ с» 2,/ (2) (сравнить с рассеянием бесспиновых частиц, рассмотренным в 15.17). В нерелятивнстском пределе в/с < 1, р ш тв оно переходит в формулу Резерфорда. При нормировке волновой функции начальною состояния частицы с определенным импульсом р, на единичную плотность потока (см. 15.22). / р ф,=т(' а+ те' '/ (е, в — энергия и скорость частицы), т волновой функции конечного состояния с Импульсом р» — на единичную плотность вероятности; е Е гпс' Г ~,»п, ииг ='' ~ — ' ° !'"'' =''= Е + Пге' (сииноры р, г нормированы на единицу: 1р, г(' = 1, энергия частицы в начальном и конечном состояниях одинакова) — известная формула теории возмущений для дифференциальной вероятности перехода в елиницу времени определяет дифференциальное сечение рассеяния 2»г Ве = Вм = — (Уг( Врг.
Л Плотность конечных состояний равна Вгрг Г уце» Ве» ВП ре ВП ырг — — з/ 6(аг — е,) — Я 21 6(е — е») ' (2 -Л)2 У' (2»гй)»с» (2»гд)гс» (4) Матричный элемент возмущения имеет вид деег(е.ь глс») / е ~ 2, с»(ар,)(ар,) 1 2е Ув,/ г ~ (е+ тс')' )1 где, квк обычно, Лй = р» — р,.
Воспояшовавшись соотношениями ( — угол рассеяния) (арг)(арг) = Рг Рпа Ш = Рнрп(ем + ге ггаг) = лл+ г(Р»рг)а = Р созе — »Р Яп Вам; 2 2 (Ргр») г /, В~г 4я кй» иш — ((ргрг)( —, —,г - ргзгп»(В/2) преобразуем выражение (5) к более удобному виду: яйее»Л 2 2г»2»г КГ = 2 . 2 р»((а+те) Ьр с созе — тр с 21леаи)р,. (6) 2гр»,/в (а + пгсг) ип 2(В/2) Формулы (3), (4), (6) оггредеггяют дифференциальное сечение рассеяния. Оно зависит от энергии частицы, угла рассеяния, а также спиновых состояний частицы до и после рассеяния, описываемых спииорами р, Г Не интересуясь поляриэациолцьвгн яплсниями цри рассеянии, выполним в дифференциальиолг сечении усреднение по спиновому состоянию частицы в падающем пучке, прелполашя его неполнрнзованиым, и суммирование по независимым спиновым состояниям рассеянной частицы (ниже эта операция обозначена чертой нал матричным элементом).
Воспользовавшись известным из нерелятивистской теории соотношением ~р'(/, +1/»аи)р,( = 1/2)'4 (/2(2 в рассматриваемом случае получаем „г р'((а+ те )'+р'с'созе — гр'с'япеаи)р Р ш4е'(с+ те )' ! — — яп'-) и приходим к окончательному выражению для дифференциального сечения рассеяния неполяризоааннык частиц: 296 Глава 15, Реляаибистслие Волнобме дробления В заключение укажем, что условием применимости полученного результата является выполнение неравенства (Бее,) Ф йс. (2) 15.36.
Найти функции Грина С» Л(г, Н) стационарного уравнения Дирака для свободной частицы при энергии е )~ тот, удовлетворяющие уравнению (хг — е)бг ш (-тйсгх ч + гпс~)У вЂ” е)йх = б(г - г ) и имеющие при г со асимптотики вида ше„е — гпзсх Найти также функции Грина /гл уравнения Дирака, записанного в симметричной форме: (тор+ ГПС )Фг = О, р Ь— р -ХВ7ту+ 74 с Решение.
Искомые функции Грина легко могут быть выражены через соответствующие функции Грина свободной исрелятивнстсхой частицы у*(г, У), для которых (-д — а )у (г,г) = б(г — г'), у (г,г') = т л, *, ехр (эта!г - У() 4х(г - г'1 Воспользовавшись соотношением д с /з е впг с ш (ссхржлтс/у е)(сцВ1 шар+с), ех5.35. Найти в первом порядке теории возмущений энергетическую зависимость сечения рассеяния а(е) звршкенной дираковской частицы во внешнем электрическом поле Ае(т) при с -~ оо. Сравнить с результатом 15.18.
Решение. Выраженно лля дифференциального сеченип рассеяния неполяризоваиных частиц ет (1) еятй'ет (, Рп" 2,/ можно получить непосредственно из формулы (7) предыдущей эалачи, если в ней произвести очевидную замену хЯее,й / Яее, т — е 'еЫУ е / Ае(г)е 'еЫУшеАе(д). р' пп '(у/2) / г Воспользовавшись соотношением Ый = (яаз/р ) Ыдт, находим полное сечение рассеяния чгтар е / -,®г йе з) 4хй' ' ер' ' е В ультрарелятивистском пределе имеем р ш с/с, е с.
Учитывая, что е интеграле (2) сушестнеина область конечных значений д' < В ', гле Я вЂ” радиус потенциала Ае(г), замечаем, что при с со сечение рассеяния стремится к постоянному значению з и(е) ие — — — т / Ает(д) Ыдт (3) е (совпадающему с сечением рассеяния заряженной бесспинопой частицы, см. 15.18). Отметим, что сходимость интеграла в выражении (Э) на нижнем пределе (д' 0) предполагает следую- щее убывание потенциала на больших расстояниях: )Ае(г)) < В/г' (как и в нерелятивистском случае, иначе полное сечение рассеяния обращается в бесконечность). 9 2. Уравнение Дарана 297 имеем (еэ = Лтатст+ пттс ) т т т т т ехр(ж!Л)г г'!) (- * -"*') 4хй сэ)г — У! ехр (Лта!г — )г)) ш (ссср+ тс )у - г) (сор + тс )у + е) = 6(г — г ). 4кд ст)г- (') Отсюда непосредственно следует вид функций Грина свободной дираковской частицм ! т ехр (Лтй)г — г'!) С,'(г, г') = — (ссср+ птс )3+ г) 4)гдтст )г — У! или, с явным указанием биспинорных индексов, * ехр (жтй(г — Г !) Сел — — — (-)Лсотт + те~)3+ 4) 4хдт с' )г-У( Аналогично, воспользовавшись соотношением -А~с~(Л - ет + пттс ш (сер + тс ) (-лср + тпс ), находим функции Грина у,*(г,г') = -тор+ тле' ехр(Л!Л)г — г'О -Лаур ветл+)пс' ехр(Л(Л)г-У!) 4)гйтст )г — У) 4)гйтст )г — г') удовастворяющие уравнению (лгр+ тс ) ~,* = 6(г — г').
гле биспинор р = — (сор, + тс'р+е) е '"' (оА(г') — Ае(г))Ф(, (г) 41 4ейтсэ е л, является амплитудой рассеянной волны (4) 15.31. Найти в борновском приближении амплитуду рассеяния дираковской частицы во внешнем постоянном электромагнитном поле. Применить полученный результат к случаю электростатического поля Аэ — — Яе/т, н сравнить с 15.34. Решение. Используя функцию Грина Сл( )(г,г)) из предыдущей задачи, запишем уравнение Дирака для заряженной частицы во внешнем электромагнитном поле (исчезающем на бесконечности) (сстР+ тпст)У - е) Ф(г) = е(оА(г) — Ал(г))Ф(г) (!) в интегральной форме, соответствую)цей задаче о расссинии частицы с илтульсом р, = ЛЛ, ге'лв '! Ф(,'(г) = и)(р))е' "+ —, (сор+тор+с) / — (оА(г)-Ае(г)) Ф(;)(г ) 4У'. (2) 4яйтст (г-У) На больших расстояниях, г со, второе слагаемсе в правой части этого уравнения принимает вид 4)гд ст — т-(остр+те Р+с) — е ' (оА(г) — Ае(г))Ф„(г)ер', / где п = гтг, рт = Лат = Лйп — импульс рассеянной частицы, сраинить с (Х!!!.!)-(Х!!! 6).
В этом выраженИи оператором импульса следует действовать лишь нв сомножитсль е'л (при этом ре'л' = Лапен'), так как действие оператора р на другие сомножители прннодит к асимптотически несущественным слагаемым, убытющим как г ' при г со, Поэтому асимптотика волновой функции (2) на больших расстояниях принимает вид (3) Глава ! б. Релятобистское ВолноВые уроВненол В борноиском нрибяижении вместо точной волновой функции ф)~(г) в (4) слслует взять ее невозмушенное внсшцнм полем значение и,(р,)е' ", при этом Р те = Рвв~(Р~) (5) Рв — — — (сарг + шс В + г) /( е 'ч (ад(г') — Ае(г')) ВР', (6) 4яб ст где й = 1гт — йм Лй =рг — Рг. Оператор (матрица) Ра яш~явгсн матриней рассеяния н борноиском приближении.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
