Galitskii-2 (1185112), страница 78
Текст из файла (страница 78)
Однако и отдельности оператарь» 1 и э не коммутируюг с гамильтонизнам. Это означает, что в релятивистском случае ил»еетси некоторан кинсматическая корреляция между возлгожнмм спиновылг состоннием час»нцы и ее орбитальным движением (сравнить с 15.23). Об эгон снилетельстпует также и некоммугативиость оператора квалрата орби»зльного мол»сита! с Й. Тем не л»енес, согласно 1) и 8), спиральность, па-прежнему яалиется «хорошим* квантовым числом Коммугатг»впасть оператора отражения Р = РЙс»эмильтонианом свободной частицы яш»иется отражением зеркальной симметрии свободно»о пространства (неразличиыосги правого и левого ). При этом ввиду отмеченной выше корреляции спиноаого и орбитавьного состояний частицы пператор отражения уже не сводится лишь к инверсии координат у, а дополняетсх преобразованием спинового со«»анния частиць».
262 Глава 15. Релятибистские Волновые урабнения ул Ф„л = и(Р,С,Л)схр ~-[рг-ес)), и(Р,С,Л) = сар '(» ул / с+ те' ' л( следует г'а р (ар)ул = Лул или ( — я~ул = Лул и = —, Л =2Л(р(. 1, 2 у ' (р(' (б) Реигения уравнения (б) были получены ранее в нерслятивистской теории спина, см. 5.3 и 5 20; наполгним, чта состоянии частицы с определенным значением Л (с.з.
Л равны ж112) назынают спиральными. В заключение отметим, что при зарядовом сопряжении спиральность Л нс изменяется, слг. 15 27 (н отличие от значений р н е, изменяющих знак; отмеченное обатоятсльсгво нагяядна проявляется в теории дырок). 15.22. Найти номпоненты 4-вектора плотности тока свободной днраковской частицы в состоянии, характеризующемся определенным значением ее импульса.
Сравнить с соответствующими выражениями нерелятивнстской теории, Решение. Подставив я извеатные ныражения (ХЫ7) 1= сФ'оФ ш (СФ7Ф, р = Ф'Ф ш Ф33Ф (\) волновую функцию состояния дираканской частицы с определенным импульсОм р и энергииал+аль (т Ф„= и(р, е) екр 1 — (рг — СЕ)), ~» (2) где биспи нор и равен (см, предыдущую задачу) е+ пзс' и=рт э' мдг огр, Лг=(/ е + ггпст (3) (значение ЛГ выбрано таким образом, что нормировка биспинора и совпааает с ноРмировкой спинора у, т.е н'и = у'у; напомним, что «'=лг(у',х') =лг~у',у',+,,), ( р)'=р') получаем р Ф Ф = и и = у у, (4) Л е+тс'" / ( са(ар) =слг (у,у — ( е+нгсз = — у'(а(ар)+(ар)а1тг.
(5) с+ гпс е+ пгс Отсюда, воспользовавшись соотношением а,(ар) + (гг р)а, = (а,аь + гыг,)р» = 2йлрл = 2рн слслуюшим из свойств матриц Паули, имеем 2стлтз 1 сФ оФ руу уу — тру рт е 1 гпст е где т — скорость классическая релятивистской частицы, пбладаюшея импульсом р. (б) (Зля конкретнзаиин вида спннора у, а с ннм и в ф (1), (5).
воспользуемсн коммутативностью эрлгитова оператора Л = Ер с опсраторалгн р и Й и введен полную систему с.ф. Фнл. При этом из уравнения ЛФ„л —— ЛФ„Е, где б 2. Уравнение Дироко 283 В заключение обсудим вопрос об операторе скорости т дираковской частицы. Слормальное вычисление согласно (Ьг).4) коммутатора [Й, г] дает ср- Й арь = — Р. с Теперь, сделав в вмражении (8) подстановки / г, Ф Ф+ ш Ргфь, Й = сар+тсэр и выполнив, воспользовавшись соотношением (1О), следующее преобразование (т) = (Ф [Р саР [Ф ) = (Ф~[ — Р [Ф+) = (Ф [ — [Ф+), (11) приходим к естественному соотношению т = с'р/е ьгежду операторами скорости, импульса и энергии свободной релятивистской частицм (в частности, в импуяьсном предстзвлении получаем т = с'р/с(р)). (10) 15.23.
Найти среднее значение вектора спина днраковской частицы, имеющей определенный импульс (при этом соиновое состояние частицы — произвольное). Считать для простоты, что импульс направлен вдоль оси л. Сравнить с результатом нерелятивнстской теории. Решение. Волновая функция рассматриваемого состояния имеет аид (! Ф = и(р) ехр 1 — (рг — с!) ), '(д где биспинор и(р) равен с + пэсэ и(р) = !у р = этг сор, дг = г/— г + пэсэ (см 15.21; использована нормировка и'и = р'р = 1) т т ыф = — [Й, г] = са.
й В связи с этим равенспюм напомним, что введение оператора / = з[Й, /] как оператора про- изводной по времени физической величины / (лля которой д//0! = О), в нерелятивистской теории свлзано с использованием соотношения, см. [1, $9], — (/) ш ( — 1 = — ) Ф'[Й,/]Ф г!т о /д/~ 1 / (8) и непосредственно следует иэ него в случае отсутствия каких-либо существенных допол- нительньш ограничений на в.ф.
Ф состояний системы. В случае релвтивистской частицы, удовлетворяющей уравнению Дирака, как рзз и возникают подобные ограничения. Они свя- заны с тем, что непосредственный физический смысл волновой функции состояния частицы имеет лишь суперпозиция положительно-частотных решений уравнений Дирака (сравнить с 15.1 для бесспиновой чвстииы).
Такую суперпозииию Фь можно выделить из уже произ- вольного решение уравнения Диракв с помощью проекиионного оператора Р, для решений с положительной энергией: (9) 2Г при этом Р' = Р,. Воспользовавшись свойствами матриц сг и 13: а,ах+ага, = 26,ь, 1уа, +а,!! =О, 0 о,еэо! '1 а,аьа, = ) = -!е,эгтэ+ б,га, — Юиа, + рэга„ 0) наколим соотношение 2ВВ Глава 15. Реяятидистские ВолноВые уроВнения Срслнее значение вектора спина вычисляется по грормулс сч гпсгр/ йгз Г йгз , Г р'с' — а+ 2 ( (с+ те')' (ар)а(ар)) р= — р') а+ ) 2 (( (с+ тот)» с,ас,), р=(0,0,р) (~) Ошюда, воспользовавшись снойст изми (Ч. 3) матриц Паули, получасы )Ут, Г р'с' ) тсг (2) глс, ! з„= — ратф, з,=-ра,р.
2с "' ' 2 Ззметиьг, что вектор аг = -тр'ар имеет смысл срелисго вектора спина в рассматриваемом состоянии, но уже в системе координат, в которой гастина покоится, см. !5 25. Поэтому полученные результаты (2) наглядно можно охарактеризовать как своеобразное сокращение поперечных состшшяюшик вектора з ~ри лорснцевых преобразованиях При зтом для ультрарелятивистской частицы, с Ъ пьс, вектор з оказывается направленным Выпь импульса частицы (сравнить со случаем чзстины с массой покоя т = О, рассмотренным в !5 24). 15,24. Рассмотреть унитарное преобразование биспнноров, задаваемое унитарным оператором (матрицвй) Какой вид имеют в новом представлении оператор спина частицы и уравнение Дирака для двухкомпонентных спиноров Ф' = ОФ аа ( б ): Обсудить случай безмассовой частицы, тп = О, Решение. Для рассматриваемого унитарного преобразования О=От= — (~ ~) находим: Таким образок, оператор вектора спина в новом представлении сохраняет свой прежний шгп - Е, а уравнение Дирвкз л новом чрсдстзвлении 1 (со р+ тсз(У) Ф = ГД вЂ” Ф, Ф = УФ м — (Р Х Г = (( ~, дт ' т/2 т,а Х) (0/' записанное через лвухкоипонснтные слиноры ( и О, принимает вид д, д тд — Г = сар(+ птс О, «в — тт = -сор а+гпстб дт дс (~) 2ВВ б 2.
Урабненае Дирака 15,25. Считая известным спиновое состояние в системе покоя частицы, найти биспинор и(р) в произвольной системе координат, в нагорай частица имеет импульс р. Используя полученный результат, найти связь средних значений лектора спина частицы в указанных системах координат. Решение. В системс координат К, в которой частица покоится и имеет энергию е = гпст, ее слиновос состояние онисыэаетсв биспииором в(0) = /~е), где гге — некоторый двухкомпонентный спинор.
В системе К', аяижушейся относительно системы К со скоростью -т, частица имеет скорость т и импульс р = гпт/,,/1 — (в/с)т, а ее спиновое состояние описывается биспннором в(р), выражающимся через и(0) по известной формуле преобразования Лоренца шгн биспиноров. и(р) ш в' = Вв(0), / 1 ) д д / вт а=скос--Пару=ей--зй-шп (Гйр=-), 2 ) 2 2 (, с)' (2) где и = -т/э — единичный вектор скорости К' относительно К Воспольювавшись соотношениями р 11гв в/с рс гя —— 1ж т/1-шгй 1+ /1 („/,)г е(р)+гл" по формулам (1) и (2) получаем ( д ) ат гг 2глст — Уге Это вмражсние для биспинора в(р) согласуется с видом обшего решения уравнении Лирака, найленного в 15.21 В этом смысле сушественным элементом полученного результшв яшгяется установление того факта, что спинор р в биспиноре в(р) = 1 т 1 ео всех лорениевых системах ьХг одинаков (с точност~ ю ло нормировки) и равен Зте.
Обсудим более подробно случай частицы с массой покои гп = 0 (нейтрино) Из уравнений (1) видно, что а этом случае новое прелстанление особенно удобно, так как спи норы ( и 0 подчиняются независимым уравнениям. Более того, эти спиноры преобразуются независимо друг от друга и при лоренцевых преобразованиях (сравнить с 15 25). Таким обратим, при тл = 0 каждое из уравнений (1) в отдельности ягв~яетсн релятивистски инаариантным ураенением— уравнением Вейлл.
Однако такое уравнение неинвариантно относительно пространственной инверсии, в отличие от уравнения Лирака Это связано с тем, что прн инверсии спиноры у и 0 ьперестэялиютсяь местами, как это следует из преобразопаний Ф' = РФ' = /Р'Ф' с учетом вида матрицы /У Отмеченнан неинвариантность уравнений (1) проявляется в том, что описываемые ик решениями состояния частицы с энергией с = рс > 0 отвечают определенным, но противоположным по знакч значениям спиратьности Хч равным +1/2 и -1/2 соответственно лля спинорое ( и 0 (античастице имеет противоположное значение спиральности, при этом каждое из уравнений (1) СР-иггнариэитно).
В заключение заметим, по соеокуп пасть сушествуюших зкс пер имен сальных данных свидетельствует оо том, что нейтрино проявляет себя как частица с отрицательной спиральностью Глава 15. Релятибистские болнобые урабнемия Используя нормировку рэрэ = 1, получаем сралнсс значение вектора спина частиим в системе К', где оиэ имеет импульс р, в вида и Еи г+п»с,Г с з =2 — — = — р»1с + (ир)»г(ор)~ра и'и ег (с + пм«)« Еп«связь со средним значсинен вектора спина в сиатсме лакая части иы, равным тэ = -'рэс» рэ, легко установить, сели направить ось з аваль вектора р и воспользоваться свойствами (Ч. 3) натрии Паули: п»с' те' зг,„= — за»1 3„» = уэ,»,' эь» = эа, (5) т сравнить с 15.23. 15.26. Как известно (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
