Galitskii-2 (1185112), страница 73
Текст из файла (страница 73)
б), отражает >ирядаеую симметрию описываемых им закономерностей: любому физическому состоянию частицы, оилюы»аемол»у волновой функцией Ф»г, С), соответствует точна такое же состояние античастицы с в.ф. Флл(г,з) ш Ф+(г,!) При этом существенно, что при переходе к античастице у ногснппалов янешнсп» Электромагнитного поля следует изменить знак, что согласуется с физическим смыслом зарядового сопряжении (сравнить с результатол» задачи !5.4). 15.4. Показать, что внешнее скалярное (по отношению к преобразованию Лоренца) поле оказывает одинаковое действие на бесспиновую частицу н соответствующую ей античастицу. Сравнить со случаем частицы во внешнем электромагнитном поле (см.
15.3). Замечание. Уравнение, описывающее бссспиновую частицу во внешнем скалярном по- ле У(»,С), ил»ест яид » (с'р'+ т»с Ф 2»пс»У)Ф = -Л» — Ф. ВС» Нс следует путать скалярное поле с электростатическим (наслспиае прелстаэлиет временную компоненту 4-вектора). В нсрелятивистском предам У(г, С) имеет смысл обычной потенциальной энергии.
Решение. »ак как оператор зарядового сопряжения С лля бссспиновых частиц дастся формулой Ф, = СФ ш Ф' (см. !5 2 н !5 3) и У(г, С) является вешесттнной функцией (что являетая аналогом вецюстэснности потенциала и зрмитовасти гамильтониана в нерслятивистском случае), то, соеср»паи я уравнении д» ( — Л с~»5+ т с + 2»нс»У) Ф = -Л» — Ф ВС» комплексное сопряжение, получаем точно такое же уравнение для зарядово-сопрнженной фуикшги: д» (-Л~с~Ы- т сл + 2п»с»У) Ф, = — Л» — Ф„ (2) »то и доказывает инвариентность уравнения Клейна-Горлана лля частицы я скалярном поле отиоснтсяьно зарядового сопряжения.
Сделаем несколько замечаний, Уравнении (!) и (2) имеют одинаковый вил, но только первое из них (точнее, полажительно-частотная часть его решений) непосредственно описыааст частицу, в второе — соответствую»цую ей античастицу, см. более подробное обсуждение этого вопроса в предьиушей зэлэче поэтому, если волновая функция Ф+(г,с), яш»яюшаяси рыпением урапнеиия (!), описывает некоторое физически реализуемое соатояиие частицы в палс У, то точно такое же состояние с в.ф. Ф, = Ф+ эоэл»ажно»» лля античастицы етом же поле.
Это указывает на одинаковый характер воздействия скалярного полн иа час»ицу и состав»с»му»ашую сй внтичштицу н яьлиется отражением зарилоеой симметрии урависник' (!) и (2) (сравнить с заряженной частицей в электромагнитном поле, где лля обеспечения зарядовой симл»стрип трсбуетсм изменить знаки потсициалоя на протимоположныс, слг !5.3) 15.5.
Показать, что Внутренние четности бесспиновой частицы и соответствующей ей античастицы — одинаковые. Решение. Внутренняя чстнасть бесспиноаой частицы определяется характером преобразования се эолновой функции при отражении координат РФ(»,С) = жФ(-»,С), н рвана +! и -! соответственно для скалярной и мсеедогхиллрмий функций.
Л! Срэлм»нь с одинаковым лепствием мл члстииу и амтв»астмиу грзвитаимамиога поля. 265 51. Уробнение Клейна-Гордона Как отмечалось в !5.2 и !5.3, еолновыс функции частицы и соответствующей сй античастипы связаны с различнылги частными решениями уравнения Клейна — Гордона лля одной и той же (скалярной или пссапоскалярной) функции Ф(г, !), которую можно записать в вине Ф = Ф ж Ф = Ф'+ СФ,+, 15.6. Основываясь на сохранении величины О (см. 15.!), обсудить вопрос об ортогональности и нормировке функций Ф л(г,!), являющихся решениями уравнения Клейна †Гордо, отвечающими определенным значениям энергии (обоих знаков) и импульса.
Регеение. В нерелятиенстской кнантовой мекаиикс условие ортогонвльности собственных функций эрмитова оператора / определяется соотношением ФГ(г)Фу(г)гзр = б(г — г') (или бгг лля л.с.), вид которого тесно связан с сохранением во времени нормировки волновой функции состоянии частицы / !Ф!з ДУ = сонм = !, непосредственно слслуюшим из уравнения Шредингера. В случае уравнения Клейна-Гордона (ХЧ.!) во времени сохраняется величина (2) Именно это выРажение должно использоваться для нормировки в ф.
состояния и определять структуру интеграла, выражающего условие ортогональности собственных функллий (обобгцение формулы (!) на релятивистский случай) Запицгсм в. ф Ф „являющиеся решением уравнения (ХЧ. !), в яидс (сравнить с г5.!) : = 'ы- )*-'ы-ч)„.ы= изизхе л л (3) При этом Ф' описывает состояние частицы с импульсом р и энергией г, а плоская волна Фр отвечает формально импульсу -р и энергии -х Такое решение уравнения Клейна — Гордона сопоставлястсн античастице уже с импульсом р и энергией с, см. !5 2. Подставив в интеграл (2) вместо фУнкций Ф и Ф соогвстстыино в.
ф. Фл и Ф"', УбеждаемсЯ в толп что он Равен нУлю и случае выборе в нем функцид с разными знаками частоты и пропорционален б(р — р') лля функций одного и того жс аида. Выбрав а выражении (3) значения при этом Ф, = СФ = (Ф )' функции Ф+ и Ф являются волновыми функцияыи состояний частицы и античастицы соответственно. Так как функции Ф и Ф имеют одинаковый характер по отношению к инверсии координат (т.с. обе являются либо скалярными, либо псевдоскалярнылги функциялги) и он не изменяется при комплексном сопряжении, то отсюда вытекает, что функции Ф+ и Ф,+ также имеют одинаковый характер относительно отражения координат, что и локазшыет одинаковое значение внутренних четностей бесспииовод частицы и соотистствуюшсй сй античастицы.
Сделаем несколько заключительных замечаний. В нсрелятиаистском случае при взаимодействии частиц число их (кажхого виЛа) не изменяется, н поэтому внутренняя четность всех частиц системы на разных стадиях процесса олив н та же и нс япляется эксперимент вязло наблюдаемое величиноп Соответственно невозможно различить характер поведения волновой функции относительно отражения коорлинат и из соображений простоты полагают, что она является скалярной нели линой В рслитиеисгском случае внутренние четности безеиее могут бьшь, в принципе, определены из закона сохранения четности ввиду возможности процессов рождения и поглощения бозонов поодиночке (сравнить, например, с !0.5 и !В.б) Нзконец, отметим, что для частиц произвольного спина внутренние четности частицы и античастицы одинаковы лля бозонов и противоположны по знаку дхя фермионои. Глава 15.
Релятибисгпскив болнобьге урабнвнил 266 получасы условие ортоиормированиости рассматриваемой системы функций в виде з )г т(Фу Фг ( Фу)фг)4 (4) прсдставляюшем собой обобшснне формулы (1) на релятивистский случай. птс' Ф+(г 1) = / в+(р)Ф+(г 1) бзр = и (р)е'ги н!г к~р ~ 'у' Р й)' (р) получасы дяя сохраняюшейся во времени величины !Зь выражение (сравнить с 15.1) 12+ — / (~ ' — Ф вЂ” ( — Ф+) Ф+ т ку = ( (и (р))~~~~.
(2) Отсюда, по аналогии с нерелятивистским случаем, функцию а (р) (точнее, а+(р,з) = а+(р)с "'1 ) следует рассматривать как волновую функцию состояния частицм в импульсном представлении в обычном кввитовомсханическом смысле и использовать зна шнис !2+ = 1 для се нормировки. Аналогично можно ввести волновую функцию античастицы в импульсном представлении, используя разложение отрицательно-частотного решения Ф (г,Ц уравнения КлейнаГорлона по плоским волнан Ф„= (Ф ), Ф (г,г) = / о"(р)Ф бр= /)~ и (р)е ь кр (2 П)зе(р) и связь волновой функции античастицы Ф,+ = СФ п (Ф )' с решением Ф, см !5.2.
При этом в. ф античастицы в импульсном представлении имеет вид а?(р,1) = о '(р)е "~~~, а условие се нормировки ) !а?(р 1)1 Ы р = ! эквивалентно значснию11 = -1. То обстоятельство, что волновая функция частицы в импульсном представлении гглзеет обычный смыся амплитуаы вероятности, позволяет, исхоля непосрелстеенно из импульсного представления. получить пбобшение соответствующих квантоио-мсканичсских формул и на координатное прелстввшние, см. в связи с эти задачи 15.8-15. Кй Подчеркнем, что согласно формуле (!) переход ст импульсного представлении к координатному отличается от нерелягивистского случая появлением дополнительного множителя Чушсз)е(р) в разложении в.ф. по плоским волнаи. Формально именно с этим обстоятельством спязанп нееозьюжность введения положительно опрсдсленнои венчики р > О, прстснлуюшей на роль плотности вероятностей лля коорлииаг 2) Несмотря на отмеченный ранее ограниченный смысл локализованных состояний частицы в релятивистском случае, методически поучительно обсудить вопрос о собственных функциях координаты на примере бесспиновой частицы.
Исходнымп црн этом является 15.7. Показать, что для бесспиновой частицы в релятивистском случае можно сохранить обычную интерпретацию волновой функции в импульсном представлении как амплитуды вероятности значений импульса (в отличие от координатного представления, см. 15.1). Какова связь волновых функций частицы и античастицы в импульсном представлении с решениями Ф+(г,1) уравнения Клейна †Гордо? Обсудить вопрос о собственных функциях оператора координат частицы. Сравнить с нерелятивистским случаем. Решение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
