Galitskii-2 (1185112), страница 68
Текст из файла (страница 68)
Раненое. Для доказательства правил сумм следует воспользоваться условием полноты системы с ф гамнльтониана, 2 )т)(зп) = (, равенствами ы„, = -ы„и х „= (х„)', а также соотношениями ! ы „х „= -(гл)(Й,В))п) = — — (т)р,)п), * " д ' р ы „х „= -з — (р,), = — — (ш)(Н, р,))п) = — (ш) — )я). Учи гыная сделанные замечания, вызюлним следующие преобразования а) ~ )(гл)х)п)) = ~ (и'.х(пз)(гл)х)п) = (п)хз)п); б) ~ и )(зп)х)п)) = — ~ ((п)р,)зп)(ггз)х)п)— 2р И вЂ” (п)х)гл)(т)р,)п)( = - — (п)(р„х))п) = —, 2(з " 2р' е) ~ зит„)(ш)х)п)) м-)~ (п)р,)зп)(зп)р,)п)= — (п,рт',п); тз з ( д(г г) ~ з „)(ггз)х)тз)! = - — ~ ((и! — )гп)(гл)р )п)- 2рз ( дх О(Г ) з ( д(г') Д От(! — (п)р,!ш)(пз) — )л) ) = — (п()р„— ~ (и) = — (и( — (п) дх ) 2р' ~ *' дх1 2ззз дх' Глава 14.
1(бонтобол теорцл цзлучелця 246 Устаноалсцные соотношеии» спрааеллиеы и лля других, у- и «-колгпонент. Соотг аетстаенио, ости а лсаык частяк соотношения заменить магри гные элементы 1(гл>л(п>~ на )(пг>г)п)(, то правые части окажутси раиными: 3й > г й л) (п>г >л), б) —; е) — (п>р >п); г) —, (п(г3У>п>. 2Р' Р' ' 2лг Заметим, что лля частицы а кулоноеском потенциале, У = — аггг, имеем бзУ = 4яаб(г), так что и случае г) сумма акаэыьасгси равной ~'..!(гп>.1.>!' = — "",">Ф„(ОИг Р и обрашаетсл л нуль для состоннив >я) с отличным от нули орбитальнмм моментам. 5 2.
Рассеяние фотонов. Излучение фотонов при столкновениях 14.12. Найти дифференциальное н полное сечения упругого рассенния фотонов сво- бодной заряженной частицей. Сравнить с результатом классической электродинамики. Решение. рассчитаем вероятность перексда а единицу времени системы ьчастица Ч- фотонг иэ началы<ого состоянии, описываемого еслноаоя функцией г (г Ф, =>гг, „О,...) — мг сэр т — рг~> рг — — О, Е, =йьг„ ч'У 1. й а состолние с аапноаой функциея Фт = 1>г,, О,...) — екр à — ргг >; Е = — + йыг под деястаием возмущения (сраанить с (х!ч 2)) е - е У = — — А г(г)р+ — А е(г).
пгс 2тсг Она определяется обшей формулой теории аозмугценил второго порядка, см. (>, 643), (2) (3) (4) ег (У1Р! г> = 2 г (3>ям (г)А,(г)1 ) = (еге,) уг екр г т(а, — >гг — — угг г бгг = (егег)бг„лиг ге (5) (сраанить с аыаолом (Х>Ч4); использошны обозначения ег вместо ег, „и т.д). спсггифика азаиысдевстаии (3) как оператора аоэлгущения етом, что оно включает а себя члены рвали гного порядка малости — линейные и кпалратичные — по параметру разложения теории возмущений, определясьюлгу зарядом е частицы (фактически а процессак взаимгшеястаия с полем излучения параметром разложения является а = е /йс). Соотштстаенно у гет эффсктоа, сшюаннык со слагаемым щ егАг а первом порядке теории возмущении, должен производиться одновременно с учетом второго приближении по вшнмодейстаию, определяемому первым членом а выражении (3) Вклад в матричныя элемент Уг, дает лишь ягоров, сг е'Аг „слагаемое и аоэмуагенин (3), В матричных же элементах Уг„и У„, суммы по пролгежуточным состояниям должен учитыеатьсл вклад лищь первого а (3), линейного по ге слагаемого.
Так как а услоаилк данной задачи рФ, =- р,Ф, = О, то сумма а выражении (4) раина нулю и соогеетстленно 247 8 2. Расселине Фогпоноб Появление в выражении (5) множителя бь„ьуьрые отражает сохранение импульса в процессе рассеяния фотона и означает, что конечное состояние системы полностью определяется заданием квантовых чисел йы и» фотона. При этом энергией отдачи частицы луожно пренебречь, так как т 1 ! з — ЛЛ Рз йдкг «птс ВУ Рз Л Л1 з =ййе <йыу т шс и, воспользовавшись выражением (х)чуб) лля плотности конечных состояний дрг с ы = ы, ш ы,, соглаыю (4), (5) пояучить )г 4 Вп = — гум = — ((е,'е4~ ВПт (б) с штс (о связи дифференциального сечения с вероятностью см.
(Х1214)) Сделаен замечание о полиризационпых явлению при рэссеинии фотона. 2(л» векторной частицы (имеющей спин г„= 1) с отличной от нуля массой записимость амплитуды упругого рассеяния от векторов поляризации вида 7 = Ае;е> означает, что полярнзацианнсе состояние частицы при рассеянии остается неизменным. В случае рассеяния фотона ситуация иная из-за пОнеречности его поляризации. Это приводит, в частности, к возникновению поляризации даже при рассеянии неполяризоаанных фотонов.
Так, при рассеянии под углом В = и/2 фотон оказывается полностью линейно поляризованным в направлении, перпендикулярном плоскости рассеяния. Вычислим лифференииальное сечение рассеиния для неполяризованных фотонов. Записав )(езеу))з = ез,сиене',ь, с помощью соотношения (Х)Ю8) в формуле (б) можно выполнить усрелнение по поляризациям падающих и суммирование по поляризациям рассеяинмх фотоноа и получить дифференциальное сечение рассеяния неполяриюаанных фстоноа свободным зарядом ( — уюл рассеяния, Л, Лз = Дт сов В): 1 1 т 1 й г = - ге(1 Ч- соз В) ВП, Ш = —. (7) 2 пуст Здесь ге — классический радиус зариженной частицы (27). Иитегриропание по углам лает полное сечение рассеяния и= 30 (8) 3 (оно не зависит ст поляризации падающего пучка фотонов) Выражения (7) и (8) не содержат постоянной Планка гу совпадают с соотпететвуюцгими результатами — формуюй 7омсома — классической электродинамики (квантовыс эффекты проявлякггся в релятивистской области, когда Лы > гпст).
14.13. Найти диФференциальное и полное сечения упругого рассеяния Фотонов сферическим ротатором, имеющим момент инерции 1 и электрический дипольный момент О (напрввленный вдоль осн ротаторе) и находящимся в основном состоянии, см. также следующую задачу. Решение. Переход из начышною состояния системы ротатор + фотон», описываемого волновой функцией ф, = (1ым,о,...)2М, В, = Л в кОнечное ф/ = (1у, об, )Ум, .Еà — — йыз под влиянием взаимодействия ротатора'еу с полем излучения Р = -ВепВ„„(О), см (Х)т'.12), происходит во втором порядке теории возмугиений Вероятность его (в единицу времени) определяется согласно обшей формуле, приведенной в прелыдушей задаче В рассматриваемом случае в ней Рл = О, а отличиыи от нуля вклад в сумму вносят лишь следующие 'еу Рассматриваем юльки еиутумнннн степень свобода| ротаюра и, пренебрегая эфймктами оглачуг, считаем его, кек чезое. локаеизеааинын е точке г = О.
Глава 14. Кбонглодоя теория излучения нромсжу>очные состоиния й' Фт = У~ (я))1«т,1в «„О, ), Вы —— — + й >> +йыг, й' Е,> = —, 1 й ю = 3; (п))О), и которым рстатор находится на порвал> возбужленном уровне с ! = 1 (>ьт>~ лругих состояний ротатора ьппрнчнын элечснт динольного мох>сита в онсраторе возмущении равен нулю).
Учит«тая, чтп ы, = ы> = ы — частоты папающсго и рассеянногО фотонов одинакОвы, и выражение (Х1Ч 6) лля плотности конечных состояний ерг, иахолим ° ! г ' ' 1» 4 = — "~р:(Ум)ш)У.)(У,.!.!У)~ "", — '"", () 4!1, (П 1 1 1 (Уее)п,п> !Ут) =. — ~ п,п> йй = — ба, ля1 ' З'' получаем дифференпнальное сечение упругого рассеянии фотона сферическим ротатором, наховппнмся в основном состоянии, У 1, з ы" йе = — йт = — ов)(е;еД), 4П> с 4х (ыз — й>/1>» (о связи сечении рассеянии с вероятностью перехода сь~ (хзч 14), где 16>г йе ае = — —.
9 1>с> Заметим, что пол яризаиионнне явления при уп ругон рассеянии фотона иа ротаторе такие же, как и при рассеянии фотона свободным зарядом сравнить выражение (2) с формулой (6) из ирслмдушсй задачи и связанный с ней коммсн юрий Поступая как и в предмдушсй задаче (усрслняя и суммируя но полнризвииям фотоноа), нахолим дифференг>паленое сечение рассеяния иеполяризоианного пучка фотонов ы 2 де -- — >ге ., (1+ соэ Р) 4П (4) бт (ы -йт/1>» Интегрированна по углам дает полное сечение упругого рассеяния фотоноа невозбужаенным ротатороь> (3) 2 « о(ы) .=' — гге " З ( -й>21>» (5! Спсюла и прслельных случаях имеем ':;- (7)'" — ее 3 >фн йы < —, 1' йз йы я 1 (6) При ~аетате ы — й>1 сечение рассеяния нсо~раничснно возрастает, что отражает его рсзонансныи характер (резец«менам гйтуооегцеяцяя), о>ясчаюший возможности возбужденна роте>ора при поглошснии фотона (нри таким частотвх формулы (?), (4), (5) непосрслствснпо ис применимы! теперь при расчете се.ения нсабхолимо учитывать егтественхэ>е шярияу тззбужлсино~о уроинп ротаторе).
В снюи с данной завачей см также 14.14, гле рассмотрено пеупругое расселине фотонои роюторол>, Сумму по ш здесь «южно легко вычислить, сели заметить. что суымнровапие по >и при ! = 1 можно распространить на исе воз«южные значения 1, ш, так как (Уи,)п)У, ) тт О лишь двя ! = 1. Вос>юльэопавшнс~ пасве этого услониеь~ полноты системы шаровых функпнй, 1 Й )(У>т) = 1. и учти значение интеграла ! В 2. Рассеяние фотоноВ 1 ( 1 (0)пяз)0) = — ( ппэ ВП = — бе, 4я,l 3 1 (О ) л пел пг ! 0) — (д эб г + б, Зз~ + йг бг ) .
15 В результате отмеченных преобразовании получшм Ве = ~ Всг„= — (3 е (е',е, ( ) ВПг. <фи,ыз Зз 1 45с" (й -! Зыг)г(й — Зы,)з (2) После усреднения и суммирования по поляризациям фотонов (состветстпснно, до и после расссшгни, сравнить с 14 12) дифференпиальное сечение неупругого рассеяния неполяризоваиных фотонов принимает вид Ве,„, 3 — — (13+ соз В)е„ч„,(ыг), ВП 160 гг полное сечение неупругого рассснния 16. 4-,-( Е (4) 22 сг (Л + уыз)г(й - Зы,) Вблизи порога возбужления ротатора, т. е, при йы, -г Злз/3, имеем 4я Зсг сг' Зйй р йзг( < г/ (5) а при больших частотах фотонов (3) 16Я йэ Л ег, м — —, ы шы㻠—.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
