Galitskii-2 (1185112), страница 71
Текст из файла (страница 71)
При этом пренебрежено импульсом фотона Лй по сравнению с импульсами электронов ЛЬ, з (это опраядаио для нерелятивистскнх электронов и соответствует, фактически, использованию липольного приближения при излучении фотона, сраанить с !418), так что энергетические знаменатели оказываются равными -Лы и Ьы, соответственно, дпя состояний м1 и и2 Накояеи, учитышя, что плотность конечных состояний лля рассматриваемого процесса равна ! б'Л, 1 б'Ь Г уйгйг Лгйз,~ рыгйгщ Ь й! бег = / б(Ег — Е,) — — = / б~ — ч.Ьы — — ) КП,бйгбьгб — = (2я)з (2я)з / ~ 2пт 2пт ) (2я)ьйзсз 2щ щрзйгы! Г 2щы = — +-бП.бПгб-, Ц= /А',—— (2я)ьй с ' )/ ' Л 9 г ° ггч Глава 14.
Кботпобоя теория излучения и связь (Х1Ч.14) сечения н вероятности процесса, иахоанм диффсрснииальнос сечение тормозною излучения Ио = — г )ема! 4Пт 4Пз фл. ез (бег)гйз (5) йс 'й сгй,ы Эта формула дает нанболес полную ннформаиню о процессе тормозного излучения Интересуясь лишь спектральным составом тормозного излучения, проделаем следующие преобразонання. 3) Прежле всею выполним в вмражении (5) суммирование по двум независимым поляризаниям фотона с помощью соотношения (Х1Ч.8), что лает йо = — ~1 — — ) йй> г(П> фэ. ез (без)зй / (йй)г'1 (6) кгйзсзй ыйг ( 9>аз ) Теперь выполним интегрирование по направлениям вылета излучаемых фотонов (оно проволитсн элементарно, если выбрать полярную ось вдоль вектора й, при этом йо ск пп В,ОП„).
8 е' (Лез)г йз йо = — — — ййз фя. (2) З йс Лзсгй, .9' Наконеи, выполнив интегрирование по углам вылета рассеянных электронов, которос проводится элементарно, если выбрать полярную ось вполь вектора й, (при этом 9' = й,'4йг-2й йг сова> ), находим дифференциальное сечение тормозного излучения как функиию частоты излучаем ык фотоноа (т.е. спектральное распределение фотонов): 8 а' (без)г 1 (/о+ /ам:"йм)' 3 йс тьзо' ы йы здесь Š— начвльнсл энергия электрона. Так как йо/оы щ 1/ы при ы О, то полное сечение тормозного излучения бесконечно (это — так называемая ямфдакрлгхая катастрофа). Однако этэ расходимоогь сечения несущественна при вычислении потери энергии электроном на изяучение, характеризуемой ° эффективным торможением, или эффективным излучением> х = ( йы Йг,; используя (8), нетрудно получить х г и = й / ыйои = — б — тс г„ 16 ге (9) 3 йс > гис г; = е /гпс — классический радиус электрона.
т ! В заключение поачеркнем, что так как при решении мдвчи действие поля ядра рассматривалось как возмущение, то применимость полученных результатов (5)-(8) требует выполнения ущювнй ле~/й», т < 1 (электрон должен быть быстрым как в начальном, так и в конечном состояниях).
Поэтому они неприменимы, если почти вси энергии налешюшего электрона передастся излучаемому фотону. Однако бюрмулв (9) справедлива прн выполнении лишь одного условия, Яе~/йв, к 1, так как вклаа области интегрировании, примыкающей к верхнему пределу, где неприменимо выражение (8), не играет существенной роли в значении интеграла (9) в иолом. Наконец, укшкем обобщение выражения (8) на случай тормозного излучения лри столкновении двух частии с авралами и массами е,, п>, н ез, тз в случае их чисто электростатического взаимодействия.
Как нструлно сообразить, оно получается из формулы (8) с помощью замен -яег е,ег, е/и> (с,/>н,) — (ез/тг) и имеет вид' 1 8 / е, ег Х р 1 (>/ош- /У-йы) йо м — е,е11Х вЂ” - — /1 — — )п фи, (10) З ч гг) йс>Ю й тле э> — привсленная масса частиц (при этом е = ивг/2, в — относительная скорость сталкияаюшихся чвстии). '" Обращение Доч в нуль в случае е,/ш, = ет/н>1 соогштствут известному уже нз классической элсктрпаннамнки заятту на яипольнсс излучение ала замкнутой систеим частик с одниаковим отношением е/т. /Ггогза 15 Релятивистские волновые уравнения (ХЧ.З) '!дсяствнтсаьно, нз соотношснн» нсапрсдшснностн дрда > Л сдслуст, по покаанэанн» чвстнны а малоа области прасзрвнстш, Ле < Гзгшс.
сопровождасшн псрсдвчса боаьшоа энсртнн частное (требует снпьнмк ансшннк шюсл). при этом ствновнтсн возможным проноса» рождении навык частнн а одночвстнчнва задача тсршт смысл. ЗЗ Прн этом по отношению к прсобрюоввнннм лишь пространьтвсниык коорвннвт, шшючаюшнм н отраженна, аопно вы с фум канн мазут бмть как сксдсрныма, так н псшдсскадсрснмн. Эзн дш соэможностн отвечают чвстннаы с разлнчнымн (противоположны ын) внутрснннмн чстыостамн, см. ! 5.5.
9' Характерная особенность физических явлений в релятивистской области состо- ит в возможности взаимного превращения (рождения и анигиляции) частиц лри их взаимодействии. Поэтому постановка задачи о свойствах состояний одночастичной системы во внешнем поле имеет ограниченную область применимости, а обычная кеантовомеханическая интерпретация волновой функции частицы в координатном прелставлении как амплитуды вероятности оказывается несостоятельной ".
Для обес- печения релятивистской инвариантности теории описание одночастичн ых состояний связано с использованием волновых функций, обладающих определеннмми транс- формационными свойствами относительно преобразования Лоренца. Эти свойства, как и вид соответствующего волнового уравнения, зависят от значения спина частицы. !) В случае бесспнновой частицы волновая функция Ф(г,!) — однокомпо- неитная величина — является четырехмерным скалярам'!.
релятивистское волновое уравнение для такой свободной частицы, уравнение Клейна — Гордона, имеет вид -з уз у' ! д х Гпзсч (рг +па с )Ф=О, или А — — — )Фш ~ — ) Ф. (ХЧ.!) дрз/ ~Ь/ Вол новос уравнен не для зарюке иной бесел и новой части цы, находя щейсн во внешнем электромагнитном поле, описываемом потенциалами А, р, получаетсн из (ХЧ.!) заменами р - р — еА/с, зд(д/дб) зЬ(д/де) — ер (е — заряд частицы) и имеет вид з — (зд — — ер) Ф = [(р — — А) + ш~с~~ Ф.
(ХЧ.2) Из этих уравнений следует уравнение непрерывности др — +Игу) ш О, д! зд Г, дФ дФ' 2зе р = — ~Ф' — — — Ф + — РФ'Ф), 2гпст ~ д! д! Ь зЬ Г 2зе ) = — — ~Ф' хуФ вЂ” Ф туФ' — — АФ'Ф) 2пз ~ Ь и сохранение во времени величины ГГ ш / р(г, !) згр. Хотя зти соотношения внеш- не подобны существующим в нерелятнвистской квантовой механике (и играющим 260 ГЛаВа 15. РелятиВистские ВолкоВеге урибкекил нажную роль н интерпретации теории), существенное отличие состоит в том, что теперь р не зньляется положительно определенной величиной и не может рассматриватьсн квк плотность вероятности.
Однако в связи с отмеченным ныше ограничением на область локализации одночастичного состояния возможность введения плотности вероятности координат р ) О не являетсн необходиьзым элементом релятивистской квантовой теории. Некоторые вопросы, связанные с интерпретацией решений уравнения Клейна-Гордона, и свойства аоста»анни бесспиновой частицы во внешних полях рассмотрены н зааачах 6 ! данной главы. 2) Для свободной частицы со спинам е = 1/2 релятивистское полнозюе уравнение, уриенекие Лирики, имеет вид Ф ей — Ф = Й Ф ед (ссср+ гнезд)Ф, Ф = " = 2 .
(ХЧ,4) Фз При этом волноваи функция Ф частицы является четырехкомпонентной величинойзз — биглинаром; иатрицы Дирака -=(- О) 'ш'=СО -'1) '=(О -') (ХЧ.5) ./О -о» /о 7 = зра = з (, О ), 7з = 7»727»7с = ~ г О ) где и, К О означают двухрлдные матрицы Паули, единичную и нулевую матрицы (символ оператора над ними опушен). Для электрона во внешнем электромагнитном поле с потенциалами А, р = Ае уравнение Дирака получается из (ХЧ4) с помощью указанных выше замен (заряд электрона обозначен как -е < 0): зй — Ф = са з р+ — А) + гнс д - еАо Ф. (ХЧ.6) дг 1, (, с) Отсюда следует наличие у электрона спинового магнитного момента д, = -ед/2гп, так что длв него гиромагнитное отношение'> равно -е/глс в согласии с экспериментальным значением Из (ХЧ4) и (ХЧ.6) следует уравнение непрерынности др — +ейчзшб, ршФ Ф, зшсФ аФ.
дз Коварнантнаи форма уравнения (ХЧ6) имеет нид зс(р + — А) + те~~ Ф(г, Г) = О, (ХЧ 8) с Где Р = Рв и = Р7 +Рсус = Р7 -, 74 йг н А = А„7„ш А7 + зАо74. (ХЧ 7) 'З Упцоснне. по сравненню с нерепптцвис-скнц случаен, нкпс компонент в.ф, о»раиест то евшее обстоцшлшлю. чга ннтсрпрстзцпп рсшецнП рсвцтнацстскпк юзцоаыч уравнения прнишнт к коннспцнн вц цнцюицц. В евшее бесспцноенк чвстпц»оцвпснне пацовпп»евьнаш решения, соответствующих античастице, свпзано с»ен, что урввненцс Клспцв — Горюна, в отмшцс ат урзвнсцнп Днракв. солсрннт вгарнс црацзаалные по щнценц ЧГ Этот резувьтв», «вк и урввненцс (ХУ 6), справеапив в ишь цен чвс»цц со опцион Г/2, цс обпшвюшци сцпьпцл юзць»пас»го»спев».
261 61. Уробнение Клейна-Гордона В 1. Уравнение Клейна †Гордо 15.1. Показать, что если Фь(г,1) представляет собой волновой пакет, составленный из частных решений уравнения Клейна — Гордона, отвечающих энергии (или частоте) определенно~о знака (либо с > пзсз, либо г < — гпсз), то независимо ог конкретного вида такой суперпозиции значение сохраняющейся во времени величины является знокоопределенньглк Решение. Обшсс решение уравнения Клейна — Гордона (ХЧ.1) важно предстаиить в виде супсрпозиции Ф(г 1] = Ф+(г 1) + Ф (г 1), Ф (г 1) = У а*(») Фь (ге) Д~» частных решений этого уравнения, образующих полную систему. (2) (обращаем внимание иа используемое обозначении в.ф.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
