Galitskii-2 (1185112), страница 72
Текст из файла (страница 72)
Фь). Функция Ф„+ описывает частицу, имеющую импульс р = Яг и энергию г = Лы > гост. Функция Ф„- формально отвечает состоянию частицы с энергией г' = -Лы < -шсг и импульсом -Л». Такое решение уравнения после выполнения операции зарлдеесго сопрязггкоя сопоставляется уже состоянию анмичастикы, имеющей энергию г = Лы > шс и имлулы Иг, см 15.2. Всвязи с этим подчеркнем, что общее решение (1) уравнения Клейна — Гордона имеет лишь формальный смысл, так как оио нс описывает никакого одночастичного состояния. Одночастичныс состояния описываются лишь функциями Ф+(г,1) и Ф (г,з) в отдельности. Ограничиваясь в выражении (1) суперпозициями Ф+ и Ф по отдельности, подставим их в выражение для Я, приведенное в условии задачи. Элементарное интегрирование с использованием формулы е 'г " 1' в' г = (2я) б(» — »') приводит к следующему соотношению: г2" = »(2 ) — / (1с))о (»)( О». (3) Как видно, г2~ действительно имеют определенный, но разный дпя функций Фь знак.
Однако полынтсгральныс выражения р*(г,1) в координатном представлении лли 1'„зь таким свойством, аообшс гопорп, ие обладают (т. е нс япляются знакоопрсдслснными), так что р, как и р, нельзя интерпретировать как плотность вероятности. В случае заряженных частиц величинам р+ можно дать наглядную интерпретацию, связав ик с обьемной плотностью заряда.
Вля частицм, имеющей заряд с, выражение ел+(г,1) при нормировке О = 1 можно рассматривать как плотность заряда в соответствующем одиочастичнолг состоянии. Величина ср описывает плотность заряда всоотвстстауюшсм состоянии античастицы, ири этом нормировка 12 = — 1 автоматически обеспечивает противоположные знаки зарядов частицы и соответствующей сй античастицы 22ля нейтральных часгип ~заглавная интерпретации локальных величин р" (г, 1), вообще говоря, невозможна. Однако это обстоятельство нс следует рассматривать как порок теории, так как локальныс лростраиственпьге характеристики в релятивистской обласги, как это отмечалось во вводных залгечвнилх к главе, лишены глубокого фгюического смысла.
По агой при ~ине в релятивистских тсорияк физический смысл волновой функции частицы как амплитулы еероятностгг сахранясгся яишь в импульсном (но не в коорлинатном1) прсдстагиснин, сравнить с 15.7. 262 Глава !5. Релятидистские Воянодьге уроВнения 15.2.
Показать, что уравнение Клейна-Гордона длл свободной частицы инвариантно относительно онтияинейного преобразования волновой функции вида Ф- Ф,(г,С) =СФ(г,С) Гд Ф'(г,С). Преобразование С описывает зирядобое сопрязкение. Оно позволяет поставить в соответствие не имеющим непосредственного физического смысла решениям Ф (г, С) уравнения Клейна — Гордона (Ф вЂ” суперпозиция частных решений, отвечающих формально отрицательной энергии частицы, см. !5.1) функцию Ф,+ = СФ, отвечающую уже положительным энергиям и интерпретируемую как волновая функция интичистицы.
Убедиться в том, что, если функция Ф является собственной функцией какого- либо из операторов с = Сйф, р, Сг, (2, то соответствующвя зорядоВо сопряженная функция Ф, татке является собственной функцией. Как связаны собственные значения указанных операторов длл таких функций2 Решение. Инвариантноать уравнения Кзюйив — Гордона для свободной частицы д' (-й~с~гэ+ «ззс )Ф(г, С) = -йз — Ф(г, С) дгз (1) относительно зарялового сопряжения С означает, что, сали Ф(г,г) является решением уравнения (1), то функция Ф, = СФ также является решением этого уравнения, т.с.
Ф и Ф, удовлетворяют одному и тому жс уравнению. Произведя в (1) комплексное сопряжение, очевидным образом убежласмся в рассматриявсмой инввривнтноати уравнения. Твк как оператор С удовлетворяет соотношению С' = 1, то в соответствии с условием хчдвчи общее решение уравнения клейна — Гордона, ем. формулы (1) и (2) предыдущей задачи, можно заоисать в виве Ф = Ф (г,С)+ Ф"(г,з) = Ф+(г,г)+СФ,+(г,з). (2) Аналогично длл решения зарядово-сопряженного уравнения имеем Ф, = Ф,+ + Ф, = Ф,+ + СФ'.
(3) Общие решения рассматриваемых уравнений включают всебя квк волновую функцию частицы Ф+, так и в. ф. Ф,+ соответствующей ей античастицы и имеют лишь формальный смысл (твк квк преобразование С является алюилелевлмл, то рассматривать соотношения (2) и (3) в дукс обычного кеантовомехвническаго принципа супсрпозиции нс имеет глубокого смысла). Физически реализуемые одиочастичные состояния частицы или античастицы описыввютая лишь суперпоэицинми частных решений с частотами (энергиями) одного и того же знака. Отметим, что физический смысл преобразования С квк зарядового сопряжения для бссапиновых частиц наглядно прояалястая при рассмотрении нс свободных, а заряженных частиц, нвходвшихся во внешнем электромагнитном поле, которос по-разному действует на частицы и античастицы, см.
15.3. Так кек Ф, = СФ = Ф',то уравнение /Фг — — /Фг иааф. и се оператора / при зарядовом сопряжении принимает вид /'(Фг)„= /(Фг),. Отсюда следует, «то сали /' = /, тозврядово-сопряжеинал с, ф, (Фг), = Фг также является с.ф. оператора /, отвечающей тому жс самому с.з, /. Если же/' = -/, то(ФС), тожеявляетсяа.ф, ноотеечастужсс.э.. равному-/. Соответственное ф. операторов р = -ЙФ, 1, = -! —, Е= Щ- при зарядовом сопряжении иээг зг мснаотг с.з. нв противоположное познвку, во.ф.
оператора ! при этом гсохрвняст своев.з 15.3, и) Какай вид принимает уравнение Клейна-Гордона для заряженной бесспиноаой частицы во внешнем электромагнитном поле при преобразовании волновой функции Ф Ф,(г, С) = СФ(г, С) ГВ Ф'(г, с)'! 6 1. Урабнение Клебна — Горг)оно 263 (2) з энергия античастицы в рассматриваемом состоянии равна -е. Таким обраюм, общее решение уравнения Клейна — Гордона (!) для частицы е электромагнитном поле прево!валяется, как и в случае свободной частицы, в виде (сравнить с !5.2) Ф = Ф + Ф = Ф+ + СФ,+.
При этом волновая функция Ф,' античастицы имеет правильную» временную зависимость и удовлетворяет уравнению Клейна — Гордона (2) для частицы с зарядом -е, яратиеоположным заряду той частицы, волновой функцией которой ляпнется Ф+. Во избежание недоразумений подчеркнем, что оба уравнения, (!) и (2), несут в себе одинаковую физическую информацию, так как решения каждого из них включают описание состояний как частицы, так н соответствующей сй античастицы (это замечание справедливо и в случае внешних полей любой природы). Однако описание состояний частицы и античастицы в казшом из уравнений яш!ястся «несимметричным», так как одни представлены В Заметим, что така» кеассификзци» решений имеет смысл лишь з случае не очень сильных «неш лик полей, пока нижних границе эисрштического спектра состслиий еу лежит емшс верхней гввичцы спектра со«гсяиий Е, . В сильных полях, коше зти грвинцм слнязютс», олночвстичизх зшычз теряет смысл стзиовгпсх возчохнмм спонтанное рожлснис лзр частице-знтичастива; сн.
по эгону лошшу зша'ег г5.г2 и г5.!3 б) Какое преобразование электромагнитного поля следует осуществить одновременно с указанным преобразованием функции Ф(г, (), чтобы получающееся при этом уравнение имело такой же вид, как и исходное? В) На основании полученных результатов дать интерпретацию преобразования С как ореобразоввния зарядового сопряжения, осуществляющего переход от частицы к античастице (сравнить с 15.2). Решенье. е) Так как Ф, = СФ = Ф', то замечаем, что уравнение Клейна-Гордона для частицы с зарядом е во внешнем электромагнитном поле г с ~-тйгз — -Ау! +т с Ф = ~гтз — — ер) Ф (!) / ) ~а! после выполнения в нем комплексного сопряжения принииает вид т с ~-!Лгу+ -Ау! +ш с Фс = ~гй — +ер) Ф„ с у ) ~ д! что также предстзвлнет собой уравнение Клейна — Гордона, но уже для частицы с зарядом -е и такой жс массой ш, как и в исходном уравнении (!), причем в том же электромагнитном поле.
б) Соверлгив в (Ц одновременно с преобразованием зарвлового сопряжения волновой функции также преобразование потенциалов А А, = -А и и р, = -р, приходим к уравнению ( т с ~-!ЛФ вЂ” — А~у! +ги с Ф,= ~5Л вЂ” — стг, Фи (3) имеющему такой же вил, как и походное уравнение (!). е) Цтобы пать интерпретацию установленным выше закономерностям, рассмотрим постоянное электромагнитное поле (потенциалы А и р не зависят от времени). В этом случае ураинсние (!) имеет «стационарные» решения вида Ф, = е ч'Гзф,(г). Все такис решения можно разбить на две группы, Ф,+ и Ф,, в зависимости ог того, е какие состояния свободной частицы, с е > гпс' или с е ( -тс', они псрехолят при ааиабатическом выключении внешнего поля' !. Решения Ф;, переходящие прн выключении поля в состояния верхнего континуума, имеют смысл волновой функции состояния частицы с энергией е в рассиатривасном электромагнитном псле.
Решения Ф, ассоциируются с состояниями античастицы. При этом, как и в случае отсутствия внешнего поля, волновой функцией античастицы является Ф; =СФ, =(Ф,)', (4) 264 Глава 15. Реллтибистсхие болнабые урабненил непосредственно их волновыми функциями, а лля других переход к волной функции требует выполнения зарядового сопряжении соответсп»уюшего решения уравнения. Лэн»»аи яыи»е ингерпрта»»их преобразования С как зарядового сопряжения, осунмспын»ашота переход от нефизических состояний чэстины к физичсскиы» состаинням соатаетстауюшей ей античастицы, осношна ма результате и а) решенвя. В этом смысле инвариантность уравнении Клейна-уорда»»а, установленная в п.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
