Galitskii-2 (1185112), страница 76
Текст из файла (страница 76)
15,2). Для перехода к нерелятианстскому случаю сделаем подстановку Фкг=схр --тс'С~Ф л (л) (выделение здесь экспоненциального сомножителя соответствует записи энергии чаатииы в и<де г = п<с + Е, т.е. выдсмиию из нее энергии покоя <пс') и выполним разложение радикаяа (2) ла степеням р'/п«с . В результате приходим к уравнению ь <й — Ф=( — р — — Ю+ — 9+,.
)Ф, ВС <,2т бт<с< 1бгл<с< (5) тле второе и поспелуюшие слагаемые е скобках в правой части уравнения представляют -< релятивистские попрааки к гал<ильтаниану Нь — — р /2т свободной нсрслитиаистской частицы. В заключение обратим внимание на следующее обстоятельство. Из уравнения Клсйна— Гордона следует сохранение яо времени величины <кь = / р ВР, гле р+ определяется ныраженисм (ХУ.З) с и ж О, см. также 15.1. В то же время согласно уравнению Шредингера (5) сохраняется значение <2 = / РЛУ, где уже р ы ) Р)'. Сравним <7' и <2 Для <2' с учетом уранненин (2) имеел< (2) ь'= — ' /:;,О< +он ь тс',С (б) для справедливости соотношения <2' = с) (= 1 лля нормированных волновых функпий) при переходе от Ф„+, к <иредингероаской а ф.
Ф в принципе следует выполнить, а пополнении к (3), неуиитарнос (Ц преобразование г <и Р Фк<Г ВФ, 8= (1+— ,„) обсе печиаакчисс сохранение нормировки при различмых способах сс опрслсле них (при обычных унитарных преобразованиях остаютси неизменными как значение, так и иил — ) <Ф)~ лУ = тернет физический смысл.
В таких сильных полях возникает также перестройка вакуума. В связи с этим отметим, что неустойчивость вакуума относительно рохасния электрон-по- зитронных пар в лоле ядра с обычной плотностью возникает при заряде идра Ям м 170; см. по затронутыи вопросам (31). 51. Урпбнвнип Клейна — Гордона 275 сопя — нормировочного интеграла). Однако в случае свободной частицы оператор этого пре- образования Я коммутирует с гамильтонианом н поэтому уравнение (2) имеет такой же енл, как н уравнение дая шреаингсроеской в.ф.
Ф = Я 'Ф,+„; сравнить со случаем частицы во внешнем поле, рассмотрсинын в 15.15. з 2 т Й., ю СЗ р — — +тлзее + ЕЮ вЂ” тле с) рененое. Стационарное уравнение Клейна — Гордона для заряженной частицы во внешнем электромагнитном поле < "(т-'-) + ч< ь=ь-и ь с в случае (ер( ч'.
пгст и (е! ч. пгсз, где е = пы~ + е, удобно записать в виде (далее индекс ы! у в.ф. Ф„',, см. 15.1 и 15.3, опускаем): < 1 / е (Е-ер)' — !ХР- — Ау! + е!г-Е уфкг = Фкг. 2гл 'х с 2глст Прн этом правая часть уравнения много меньше кюкдого из слагаемых левой части, и, прснебрегьл ею, получаем в гнулсвом приближен ни уравнение Шредингера нерелятиаистской теории с гзмильтонианом йе = Ф'/2пт+ ер, где Ф = р — еА/с.
Расчет релятивистских поправок к гамнльтониану связан с последовательным вычисленном членов его разложения по степеннм параметра, включающего множитель 1/с', н основан на возможности приближенного преобразования уравнения (1) к внау уравнения Шредингера (с точностью, соответствующей рассматриваемому приближению по 1/с'). Теперь ситуация отличается от случая свободной частицы, для которой сразу можно написать замкнутое выражение лля релятивистского гамильтониана, см, формулу (3) предыдущей залачи. Начнем с вычисления первой, сс 1/ет, поправки.
Имея в виду, что в правой части уравнения (1) уже фигурируют множитель 1/сз, шмечаем, что в ней можно заменить (Š— ер)т Ф„г его значением в ьнулевомь приближении. Так как в этом приближении 1 т (Š— ер)Фхг ю (Ет — ер)Фкг = «Фкг (2) 2пт то а правой части уравнения (1) можно выполнить слелуюшне преобразованию т Ф' Г 1 (Е-ер) Фкг=(Е-ср) — Фкг= 5- — (ер тг )+ — «(Š— ер)~Фхг= 2гл ( 2лт ' 2тп ! 1 -1 ш — — (ер,ф!»- — «гфкг. 2гп ' 4глт В результате это уравнение с рассматриваемой ючностью 1/с, принимает вид < Ф Ф~ 1 — + ер — — + — (ср~ Ф ) Э Фкг = ЕФкг 2гп Вел!с! 4глтсз (3) 15Л5. Исходя из стационарного уравнения Клейма †Гордо для заряженной бесспиновой частицы, находящейся в постоянном электромагнитном поле: и) получить в нерелятивистском пределе уравнение Шредингера; б) найти первые две ( 1/ст и 1/се) релятивистские поправки к гамипьтониану частицы.
Показать, что поправка 1/се включает слагаемые, отличающиеся от разложения гамнльтониана Глава 15. Реллтиеиктские Волноеые ураВнения 226 Й = Й+ [( — У»+си), (У»,еу»)] (7) (ко< оры<2 мы снвблнли штрихом по о< меченному ниже обстоятельству), где -» < -в тг <г »г -» Й = — +ее — — » 2т йт»с1 32т»с< 32<и<с< < — (У, (У, еу»!) . (8) Установленный нид оператора Й я принципе решает поставленную зааачу.
Однако этот шмизьтониац можно несколько упростить, инея в виду пззлюжность выполнения унитарного преобразования, измсняюшего выражение ялн <ами,<ьтоннана, но оставлнюшего неизменным физическое солсржанне теории. Для этого заметим, что с рассматриваемой точностью, - 1/с, -» ао втором слагаемом в правой части соотнонмння (7) можно заменить У /2пз+ ер на Н Прн этом Й' с такой же точностью принимает аид Й'ыЙ+,, <!Й,(У',ее)] шеар [- » < (У',се))Й ехр [» (У',ее)~ (9) и »заме гни. что в нулевом приближения Екг .—. Е. Хотя внешне оно подобно уравнению Шредингера, но таковым ешс нс является. Это снязано с тел<, что Оператор а фигурных скобках, прете ндуюший иа роль шмна ьтон иана, не является эрмнтоиьш. Дяя перехода от уравнение (3) к искомому уравнению Шролингсра сяелует еше выполнить преобразование вояновой функции вида Ек< ВУ [» ] У [!" 1 3 » = [1 — — (Š— еи)+ — (Е- ер) +...] Ф 2тс» бт»с" (4) Такое неунитарное преобразование обеспечивает сохранение нормировки в ф.
» У' — (с — ет)е,ер = /1 !<8( ВУ, гпс» обсуждение этого вопроса см и прелыдушей задаче. поаставия выражение (4) с учетои в пел< членов порнлка<1 1/е и уравнение (3) и заметив, <то я рассматриваемом приближении, как и выше, »южно я слагвеь<ых с 1/с» воспользояатьсн соотношением (2), приходим к уравнению Шредингера с первой реллтинистской поправкой [ — У вЂ” — У +еЕ~Е = ЕЕ » ! ° (3) 2т бп<»с» Как вилно, зта поправка к гамн<штониану, равная -У'/бт»с, такая же, как и в случае свободной частицы, н цргдставлнет собой естественное кяантовомеканическое обобшенис соответствуюшей релнтивистской поправки в классическон теории. С<сдует, однако, под- чсркну<ь, что такан <естественность пропадает уже в членах 1/с'.
/)зл вычисления поправок 1/с (и более высокого порядка) удобно, перенеся в (1) сла- шемое (Š— сы) Фкг напрамз, сначала перейти согласно (4) к уравнению длп шреаннгеровской волновой функции С рассматриваемой точностью получаем уравнение У' (, Š— ер 3(Š— ер)'),Е ( (Š— ер)') как и вы<не, в слагаемых, содсржяшик множителем 1/е<, лля выражения (е-ее)Ф можно воспояьзогютьсн нулевыл<» приближение<< и заменить его на (%' /2<п)У.
В слагаемык же с 1/с» следуег учесть и члены 1-ш порядка, т.е заменить » 1 ° — — С . (,2т йт»с» После простых ялгебраичсскик преобразований уранненис (б) принимает вид уравнения Шреднн<сра с <амильтонианом 277 Я С Уробнение Клейна — /ордене -1 Так как оператор Р = <(Ф,ер) лепятся зрмитовым, а У = ехр (<Р) — унитрным. то согласно (9) операторы Н и ЕЕ' связаны упиттрным преобразованием и с одинаковым правом люгут рассматриваться как гамильтониан частицы. Поскольку выражение для Й несколько проще, чем Й', то более уюбно испольэовать именна его. Как пидно, релятивистские <юправки к <амильтониану, следующие из уравнения Клейна-Горлона, уже я членах 1/с к,=/ю' ' 7+., 15.16. Показать, что в достаточно сильном электростатическом поле заряженная бесспиновая частица испытывает притяжение (в квантовомеханнческом смысле) независимо от знака ее заряда'л<.
Решение. Ограничимся лля наглядности случаем, когда энсрп<я частицы близка к энергии покоя, и запишел< е = плс -<- е, те (е! ч. <пс . стационарное уравнение клелна — Горж<на 2 1 лля частицы в электростатическом поле (-Л~с~д + т<с ) Ф = (е — еу<) Ф при этом можно записать в виде (-' д< (ее<) ŠŠ— — Ел ч- еу< — — + — ер — г Ф = ЕФ, 2пл 2тс' тс' 2тс' ) аналогичном уравнению Шредингера с эффективной потенциалы<од энергией Е (ее) Е (ее) У,ь„ш ер е — ер — — — — ю ер — —.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
