Galitskii-2 (1185112), страница 80
Текст из файла (страница 80)
15.29. Показать, что операторы (матрицы) Рг м -'(1 ж Тз) являются проекционными. Длв дираковской частицы с массой гл = О эти операторы коммутируют с гамильтонивном. На какие состояния частицы и античастицы проектируют указанные операторы Рз7 т ! Решение Так как Рь = Рв, то эрмитовы операторы Рь = 5(1жтз) являются проекционными, см 1.31. Имея в виду установленную в предылушей задаче связь с.з. оператора тг со спиральностыо А, замечаем, что оператор Р проектирует на смтояния со спиральностью А, = — 1/2, асйсгвуя на решения уравнении Дирака с положительной энергией, н с Л, = Ф1/2 — в случае отрицательной энергии (т е для состояний, сопоставляемых античастице, сравнить с 15.27). Оператор Р проектирует на состояния с противоположными значениями спиральности.
В заключение заметим, что противоположность по знаку значений спиральности частицы и античастицы, соггосга~шяеьгых с, з, Р матрицы Тг, связана с тем, что уравнение Тгф = ЛФ при заряловом сопряжении принимает вил узФ, = -РФ„твк как С/з = — тгС. Ют, зл 290 Глава !5. Релятивистские Волновые ураднения ««5.30. Квантовомеханнческое описание фотона может бьоь осуществлено с помощью двух векторов й(г, !) н йк(г,(), удовлетворяющих'" таким же уравнениям, как уравнения Максвелла классической электродинамики длв свободного электромагнитного поля й'(г,!),мг(г,!) (т.е. для электромагнитных волн в вакууме).
Показать, что эти уравнения можно представить в виде, аналогичном уравнениям Дира«а для деухкомпонентных спнноров (следует учесть, что масса феона тд = О, а его спин з = !). Решенне. Уравнения Днрака зля двухкомпонснтных спиноров в случае безмассовой частицы, ш = О, имеют вид (сравнить с 15.21, о = 29 ш Вгз) . др с , дх с тй — = сгтРХ вЂ” = -з РХ, тй — = серр = — -«рр. в! ' в! з Они солсржат деа спинора р и Х, описывающие спиновыс свойств« частицы з = 1/2 по отношению к чисто пространственному вращению систсым координат и нсзавнсиммм образом преобразуюшиеся при таком преобразовании (на не при преобразошнии Лоренца). Естественное обобщение уравнения (1) на случай частицы с произвольныы спинок з (и массой гн = 0) состоит в отождествлении в этих урввненияк р и Х с лвумя спиновыми функци«мн, отвечающими спину з и имеющими по (2«+ 1) компонент каждая; при этом под 9 следует понимать оператор спина величины 3.
В случае спина з = ! удобно воспользоваться векторным представлением, в котором ком- поненты спинозой функции явл«ются декартовыми компонентами вектора (см. задачи 94 гла- вы 3), а операторы компонент спина определяются соотношениями з,а, ш -ы,на,. При этом д з раь = з,р,о« = -Ьг,м — а, ш Ь(го! а)», Вл, т. е, (з р)а = Ь го! в, и отожлсствив в уравнениях (1) р и Х соответственно с векторами 6' и !««, приходим к уравнениям 1 д 1 д — — В=ю!Ж, -- — Ж'=го!я, сВ! ' свт представляющим собой часть систены уравнений Максвелла. Два других уравнения, ф«В = О и в!чу« = О, выступают как дополнительные условия, накладыввемые на векторы в и РГ. В классической элсктродин«мике они приводят к поперсчиости электромагнитных волн, в в кяантовомехзничсском аспекте соответствуют исключению состояний фотона с рав- ной нулю спнралыюстью.
Заметим, что подробное изложение квантовой механики фотона содержится «книге (29) 15.31, Найти нерелятивистскнй предел (с точностью до членов порядка «1/с» включительно) выражений для плотности заряда н тока днраковской частицы, находящейся во внешнем электромагнитном поле. Решение. Плотность тока и плотность заряда для днраковской частицы описываются выражениями (ХУ.7) (е — заряд частицы): ) = сев'оф ш !«сфтв, Р = еф'Е ш «97«В (1) (подчсркнел!, что они справедливы как для свободной частицы, так и для частицы во внешнем электромапгитном лоле). В перел«тивистском пределе(энергия частицы ею нгс ) в волновой функции (биспиноре) Ф = ! 1! нижний спинор Х, удовлетворяющий уравнению "Хг вх !Ь вЂ” = со ~Р— - Ау! Р - гпс Х + слех, в! ~ с) и! ' Подчерк«еч, что В, ЗЕ, «««и «ектор«ы« пем«ц««я я, пр«этом ««««ютс««онплскснмм«велич«- нами з отя«ч«с вг «еыест«еи«мх соот«етствуюш«к фу«к«ий, «сполюуечы«ът«сп«с«нн««лзсс«ческого юектр«ы«г««нюго поли 291 $ 2.
УроВненпв Дирако приближенно равен (так как при этом тй $ ш тс'2) ! г' е т м — о (Р— — А )р, т.е. )т)» (р!. Соответственно в. ф. частицы описышется ныражениен (2) а комплексно сопряженная в. ф (3) Подстапип выражения (2) и (3) в формулы (!), накопим с точносгью ло членов перелив (!/с)г Р = еФ Ф ш еуг !е, (4) (5) Воспользовавшись соотношением ее„= 6 г+шиег шгя матриц Паули, выражение (5) можно упростить: рр р — (рр )р — — А !Р р+те и(р Огрьр+ (рьр )егр) ) г и так как при этом г,н [Р ег — Р+ — !т /Ргу~ = ен! — тг егп = (ш! (Р от)) ' ба, (бв, ) ! ' Рз, то получаем теп ег ед ! = — — (Р'Чр — (Чр') р) — — Ар'р + — го! (уг'ор), (6) 2пг шс 2т что сом галаег с формулами (Ч! ! 4-Ч! ! 6) нершпгтнпистской теории ллн плотности тока частицы со спином е = !/2, имеющей заряд е и магнитный момент р = еп/2шс. 15.32.
Гамильтониан частицы со олином з = 1/2, находящейся во внешнем электромагнитном поле, имеет вид пс Н = секр + гнс /3 + — ЕР,7„7„ 2 где и — некоторый параметр, характеризующий частицу, УЄ— тензор электромагнитного поля. рассмотрев нерелятивистский предел (с точностью до членов порядка е1/се включительно) волнового уравнения'" Ййу Ф = НФ, выяснить физический смысл ! Это уревгмнче можно гепчсеть е кено Релятивистски инвариант ком ечее ( .
)- ~н геР ь — У„7 7„+же ) в=о (Р нре7е — — Р7 — -7, — ) 292 Глава 15. Релятидистсмие Волнодьге ураВнения т Н = ссх (р — — А) +те)3+еАв Решение. Учитывая явный иид матриц Дирака (ХУ.5) н тснзорв электромагнитного полн -Сег Ри = со,у)), -ггу 0 г,а= »,2,3, ш 0 .УА -.Уг' —.УГ, 0 У~ Уг„-М", рпссматрняаемый ~амильтоггиан легко преобразовать к виду Й = сар — мфЕЛ.
+ тм()ад+ тс~д. (О При этом волновое уравнение гд-,Ф = ЙФ приводит к слелуюигим уравнениям лля дпухкоме понеитнмх сминоров р и Х в биспинорной волновой Функции Ф = ( 1: »Хг д гв — р = сорХ + тс р е Смадд — моде р, дг (2) д г гй — Х = сору — пгс Х вЂ” Схода емаЯ.'Х. дг Дяя перехода к иерелятивистскому пределу, когла энергия частицы с ш пзст, следует, как обычно, выделить из волноваЯ фу»гении множитель е"'"' 'Г", т.е, записать ее я виде Ф = е '"~гть(» 1 и учесть неравенство »Х1 ~СД вЂ” Ф>-)ВФ)«тс')Ф), Ф=( ) (3) е ныраженни Гд Ф е - г" ~тс'Ф + гй Ф1 дг дг (Б — хвр*ктериан величина энергии нерелятипистской чястицы) При этом второе иэ урав- нений [2) принимает вид 2тс'Х вЂ” хоМ'Х+ Гд — Х = (сар — Смогу)р.
дг (4) Из принсдснных соотношений с учетом предполагаемого неравенства ~хрг ) «гпс следует С / гм Хы — »чг Р- — Сг)Р 2тс(, с (заметим, что )Х) «)р), как и в случае сеобслиой нерелятнвистской чтстицы). Далее, полствплня (5) в перпос из ураонений (2) (предварительно яьшслнв иэ спиноров р Гч л и Х множитель е '"* 'г"), получаем д ! / См Х/ иг гд — р = — ( ар 4- — од) ( ор — — о8) р - майер.
(б) дг 2т(, с )», с записав здесь ор = ар„асг = аьггь и восполюотвшись соотношением а еь — — Се+ ге иаг дян матриц Паули, находим (ар)(ад) — (ад)(ор) = (фд) — (ер) + С(р8)а — С)4 р)а, (5) параметра х, т.е. установить его связь с электромагнитными характеристиками ча- стицы. Сравнить со случаем заряженных дираковскнх частиц — электрона и мюона, гамильтониан которых имеет аид 5 2.
Урабнение Диракп 293 причем 3 Вз — Ф= сш(р — -А) +тсд+сАт+ "дбуу„р„~р Вс ~ [, с/ 2 (напомним, что для частицы со анином з = 1/2, имеющеп заряд е и нагнитнмй момент д, *рвзбиениеь последнего иа нормальную и аномальную части определяется соотношениями Р = Дмь + Рече Р ьг - -ед/2тс: Рььан = Р— ед/2тс). 15.33. Найти энергетический спектр заряженной дираковской частицы в однородном магнитном поле.
Решение. Энергетический спектр и соответствующие биапинориые волновые функции ста- ционарных аостоянид частицы определяютаи из решеиив уравнения Дирака в магнитном поле (» — заряп частицы) (со(р — -А) -1-гпср)ц=еи, Ф,(г,з) =ис д = (» ) с 'х, или для двухкомпонентных спиноров / с (с-гпс )р= си[р- -А~у, (а+ те )у = сидр- -А)уь с ] Исключая спинор д из этап системы, получаем т (е — гп с )ем с (сг (р — -А)) уь (2) '41 Слагаемое — 1 — Щт 4', отл и ~нас от нули в тех тачках пространства, гле нвхолятая зарялы, созлаюшяе внешнее электрическое палс, юге = аяя, нс имеет изгляанаа кзассичсскоя ннтершхтацин. (рЮ) — (Фр) = -1ЛЕгтА, [рА] — [4Гр[ = -Рг гагА — 2[4 р] - — 2(4Гр[ (так как гог Х = -ВЯ.'/с Вс, то слагаемое с гаг А можно опустить как имеющее более высокид порядок малости по 1/с; я стационарном отучав оиа обращается в нуль тождественно~.
Учитывая зти соотношения, равенство (ир) = р и пренебрегая слагвемым сг (Х/с), приводим уравнение (б) к виду Вргх/Л тб — р = — р — хсгррр+ — — — фуХ вЂ” [тур]и р. В1 2т птсЧ 2 В пренебрежении малым спинором д в волновой функции Ф, это уравнение является уравнением Шредингера с тмильтонианом р х / Л 22 = — — хи Я.'+ — (- - б1т 41- [Хр]а), (8) 2т тот, 2 сравнить с гамильтонианом Паули (ЧП.1) Отаутствис в Й слагаемого сАе означает, что опиаывасмая им частица является нейтральной (Ае — скалярный потенциал внешнего электростатического поля), а наличие слагаемого -хиРУ указыпает нато, что частица имеет магнитный момент, равныЙ р Ш х.
последний, третий член в выражении (8) описывает спин-орбитальное взаимодействие. при этом слагаемое 1 — — ",[Вр[и в этом взаимодействии являетсл естсственныч квантовонг механическим обобщением энергии взаимодействия движущегося классического магнитного липолв с электростатическим полем, обсуждавшимся е 13.80. Гамильтониаи (1) и его нсрелятивистский предел (8) используют для описания ней- трона в электромагнитном поле.
Выражение -'р')уугу„Е',г применяют также лля описания взаимопсдствия с электромагнитнЫм полем аламлльхсга магнитного момента р заряженных частин со спинам з = 1/2. При этом эшимодействие нормальной части магнитного момента, равной сд/2тс, как и заряда е частицы с полем, описывается выражением -ешА + еАе. Соответственно релятивистское аалнавое уравнение для такой частицы в электромагнитном поле имеет внд 294 Гпввв 1б.
Реяяглибисшские ВолноВые ураВнения Зто урапиение, аоспольюааашись соотношением з 3 (и(9--'Л)) =(-,--'Л) -'— " (см, например, 7.10), можно записать и аиде (3) отличэюшеман тишь заменой Е на (гт — шзс )/2гпс~. от уравнение Паули дзл частицы со спинам з = 1/2. имеющей зарал е магнитный момент д = ей/2тс. Уравнение (3) длл случая однородного магнитного полл .7Ге было решено а 7.9. При выборе векторного потенциала А = (О, У/ех,б) решение уравнения (3) имеет еиа 4 7 1 еда р',1 е„„,— гпс =2гпс Лые(п+-) — — а,+ —, п=0,1,..., 2,/ 2гпс ' 2ш! ' 7 М,гегам = ~е"о™ ехР (- — (х — — ") ~Н„(-(к — — "))гаем (4) (е(,7 е Лс ые= — ', а= тс ' )/ (е~3Ре' где постолнный епинор згю лаллетса собстаенной функцией оператора и,, отаечаюшсй с.з.
а, = Ы (подчеркнем, что ось з направлена адоль магнитного поля). Второе из уравнений (1) опреаеллег спинор Х г„ „„ а тем самым и е ф. Ф„ м„ рассматриеаеммх состопний. Заметим, что а нерелатиаистской теории каантоеае число з, = а,/2 опрсделлет проекцию спина частицы на ась х. В релптиаисгском случае а, уграчиааег агат смысл, так как спинор у„г„гы, уже не ааллетсн с. ф. оператора а„а соотжнстаенно н а, ф.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
