Galitskii-2 (1185112), страница 77
Текст из файла (страница 77)
тс' 2тс< 2тс' 2тс< Как видно, в случае (ер( > 2тст а соответствующей области пространства У.,зе < О, так что взаимодсдствис частииЫ с полем носит характер яритлжсния независимо от знака ес варила. В связи с этим зачетим, <то в релятивистском случае в опиом и том же сильном электростатическом поле могут существовать связанные состояния как бесспиновой частицы, так и ес античастицы, см.
(3 Г(. 15.17. Найти в борновском приближении амплитуду и дифференциальное сечение рассеяния релятивистской зшэяженной(заряд е<) бесспиновой частицы в купоновском поле ядра с зарядом Яе (ядро считать бесконечно тяжелым). Сравнить со случаем нерелятивнстской частицы. Указать условия применимости полученных результатов. Решение Стаиионарное уравнение Клейна — Гордона, соответствующее временнбму уравне- нию (ХУ 2) с ер = бее</г и А = О, может быть записано в аиде (' д' Ыее<г (бее<)' ), рл< — — Д-:- — — — Ф' = — Ф' 2т тс<г 2тс'г' ) и 2т па* тивнод потенциальной энергией (ювися<иея от полной энергии г частицы) Бее<в (бее<) Уые — — — —. (2) тс<г 2тс<г< Так как интерпретация волновой функции свободной частицы в виде плоскОй волны в рслятиаистскоя и нерелитивистскоя теориях одинакова, то обшил подход к залаче рассеянил в нсрслятивистском случае, осноеанныя нв решении стаиионарного волнового уравнения, имеющем требуемую асимитотику иа больших расс<ояниях (пдоская + расходящаяся волны, см вводные замечания к гл.!3).
Фн(г) м е™ + — е ' < Это угзсрлаеиие счялесалию и длх частиц с отлнчнын от нуля спкион 278 Глава 1б. Реляглибпсглскде болнобье уробненил (4) (б) 15.18. Найти в борновском приближении энергетическую зависимость сечения рассеяния о(с) заряженной бесспиновой частицы во внешнем электростатическом поле р(г) прн е Оз. Указать условия применимости полученного результата; сравнить его в результатом нерелятивистской теории. Решение. Амплитуда рассеяния зарнжен ной бесспиноиой части вы в электростатическом поле с потенциалом р(г) в борковском прибли'кении описывается выражением /в = — — у,тее"н'д г, (!) 2яйз д где эффективная пстенциаяьнвн энергия ее 1 г ~ээ= — р()-2, (ер(.)) (2) (общие соображении по поводу формул (1), (2) и условий применимости борноэского приближения в релптивистском случае см.
в предыдущей задаче), а соответственно и многие результаты теории рассеянии нсрелятнеистских частиц непо- средственно псренослтсн (нли легко обобщаются) на релятивистский случай В частности, амплитуда рассенння вбориовском приближении описывается прежним выражением (Х111.6): гл У„ш- — ~ Гумее '"д', Лв=р-р,. 2 й'д (3) Более внимательнмм следует быть при выяснении условий применимости борновского при- ближения.
Отмеченнан вьние анаяогия уравнения (1) и у. Ш. предполагает использование лля описания ссстониин свободной частицы (на больших расстояниях) ее импульса (а ие скорости или энергии). Поэтому известные условии (Х1Н.7) применимости борновского приближении в рассматриваемом релятивистском случае принимают вид лр йт (ту„е! « —, )туме! « —. пзп пза' Для первого слагаемою в выражении (2) первое из условий (4) требует выполнения неравенства Все,е ! йр Вет в — ~« —, или — « — (! (эс=рс, )е,) е) (5) гистг ~ птг йс с (кяк н э иерелятиэнстском случае; необходимым усяовием применимости теории возмущений нвляется ограничение В «137). Возможность применения теории возмущений длн второго слагаемого в эффективном потенциале (2) ограничивается вторым из условий (4), требующим Как видно, это более слабое условие, чем предыдущее (5).
Теперь заметим, что при вычислении амплитуды рассеяния по формулам (2) и (3) вторым слагаемым в выра;кении (2) следует пренебречь. Это связано с тем, что оно второго порядка малости по параметру Яа, т. е, вносит такой же вклыт, как н первое слагаемое в (2) во втором порядке теории возмущений н поэтому находится за пределами точности рассматриваемого приближения. У !итыаая высказанные соображения и используя значение ннтегры~а 1, з 4я -е'идт = —, и 4 находим амплитуду и дифференциальное сечение рассеяния бссспиновой частицы в электри- ческом кулоновском поле 2бее,е дп з г' бее, Х ! / =- —, — ш(у)'щ ~ — ') (7) Лтстдз ' дй 'Х2эпэеу' з!пь(бгг2)' сравнить с формулой Резерфорда нсрслятивистской теории.
279 б 1. Ура биение Клейна — Гордона В ультрарслитивистском случае, когда с ш рс а», вторым слагаемым в выражении (2) можно пренебречь и амплитуда рассеянна оказывается равной /,( ),- , — ' ;(,) 2 Л' ./ 2яЛ'с Соответственно сечение рассенник описывается выражением ог'гл' ег '= / (/!'4П= — „,, /' йг(4)!'М (напомним, что 4П = (ад'/р') йдг) При р оэ верхний предел интегрирования в (3) лгожно, вообще говоря, положить Равным бесконечности, так что сечение рассеяния а(х) при х сю ншгяется постоянной величиной (в нерелятивистсколг случае ано убывает а сс Е ' 0 при Е сю, см. 13.2). Это связано с тем, чта согласно (2) взаимодействие частицы с электростатическим полем возрастает при увеличении ес энергии.
Применимость борнолюкаго приближения в рассматриваемой задаче олределяетсн первым из выражений (4) предылушей задачи и требует выполнения нсрашнстаа (еого! Ф лс/а где зоо и а — характерные значения потенциала и радиус сго действия. В сильном электростатическом лоле, при нарушении этого условии, борноаское приближение неприменимо. Однако вывод о постоянстассечения рассеяния при г са сохраняется и вэтом случае При этом сечение рассеяния может быть рассчитано по квазикеассическай формуле (е Г ./! -... (-/',!.Рты> .)~,ь (4) .г 1дс 1 о представляющей собой обобщение результата 13.5! иа рассматриваемый релятивистский случай (лля такою обобщения в формуле из 13.51 надо заменить У(г) на Уыю и вместо ЛЛ подставить р ш с/с, см.
прелыдушую задачу). В заключение отметим, что для справедливости полученных результатов требуется, чтобы потенциал иа больших расстояниях убывал быстрее, чем а 1/г'1 в Противиам случае СЕчЕниЕ рассеяния обращается в бесконечность, как и в нерелятиаистской теории, из-за расходимости интеграла в выражении (3) на нижнем прелы~с (за счет малых углол рассеяния). 15.19. Найти в борноаском приближении энергетическую зависимость сечения рассеяния е(с) бесспииовой частицы во внешнем скалярном поле У(г) (см. Замечание к 15.4) при с оо. Указать условия применимости полученного результата; сравнить его с результатами нервлптивисгской теории и предыдущей задачи. Решение Стационарное волновое уравнение дпя релятивистской бссспиновап частицы во вне!пнем настоянном скалярном поле можно Записать в виде ( г г Л вЂ” — гз4-У(г)~Ф = — Ф (с ро =с — лэ с ), ро гг г г 2ш 2т тождественном на форне нерелятивнстскаму ураяьштпо П!Рскингера Ванлу такой аналогии для амплитуды рассеяния можно непосредственно воспользоваться нзвестнычи рсэультагами нерелятивистской теории (сравнить с 15 17).
В борнавском приближении ш Г „,о т /в(4) = — —, у! У(.)е '" йр ш — —, У(4). 2кпг Соответственно сечение рассеяния (сравнить с предыдущей задачей) д "о „ггтлл а(о) =,, !У(4)!' Ид 4:гд рог,г о 2В( 92 Урабнение /»ирака 15.21. Найти решения уравнения Диракв, описывающие свободную частицу, имеющую определенные импульс и энергию. Для конкретизации спинового состояния частицы воспользоваться коммугативностью оператора Л = Ер с операторами р и Й (см. также 15.26). Рек»анна. Рецюния уравнении Днрака лля свободной ча«гицм, соответстную»цие опредшюн- ным значениям энергии е и импульса р, имеют еил Фх,(г,С) = и(р,е) схр — (рг — гС)), (л где биспинор и(р, с) удовлетворяет сгапионарнпму уравнению Дирака, см.
(ХЧ4), (сор+ п»с')!)и(р, г) = си(р, г), (2) !Й или, Лдя двухкочпонентиых спинорон, сггрд.ьтср = гр, (,) » и(Р, е) сггрл — п»с»Х = гХ, Х (3) Второе из уравнений (3) дает с » ара (4) с+ тс» в первое нз уравнений (3) получаем (с учетом и после подстановки этого аыражения соотношения (ар) = Р ) р (е гпс )Р с+ глс» Отаюда следует, по г = *ч»Р»с»+ш»сл. При этом апинор Р остаетси неопределенным и может быть выбран произвольным образом, причем двумя независимымн способами (дяв каждпго из двух рьигича»ашик«я знаком значений с).
Таким образом, прп фиксированном импульсе р, существует четыре независимых решения уравнении Дирака вида (!), для которых биспиноры и(р, с) равны Р »Г Р» и(р,с = Е) = сар, и(р,г -Е) = сар (5) 1, Е+гпс» -Ю + плс» / -*=+ р ° эл *' Сушествонание решений уравнения Дирака, отвечающих формально отрицательной энергии частицы, ассоциируется с сосгояниями античастины, см. 15.27. Име»»но в спнзи с теорией дырок», сбюрмулированной Дираком лля наглядной интерпретации состояний с отрицательной энергией, и возникла концепции антвчагтиггиы. В нерелнтивистском случае первые левять опсраторои коммутируют с гэмильтонианом свободной частицы Йа = р»/2т В релятивистском саучае ситуация несколько иная Сохраняюшанся колщугатнвность оператора импульса р с гамильтоннаном свободной частицы является отражением свойства однородности пространства, так жс как коммутативность оператора суммарного момешэ частицы ! = 1 + э с Й вЂ” следствие его изотропни.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
