Galitskii-2 (1185112), страница 69
Текст из файла (страница 69)
2? Рс (6) 14.14, В условиях предыдущей задачи найти дифференциальное и полное сечения нвупругого рассеяния фотона ротатором. Какие состояния ротатора при этом возбуждаются? Решение Решение может быть получено в результате просты» преобразований в формулах предылушсй эазачи. Так как в случае )! — !'! ~ 1 матричные элементы (Зш(п(35 „, ) =- О, то замсчасы, что во второы порипке теории возмущений, кроме упругого рассеяния, происходит неупругое рассеяние фотонов, сопровождающееся возбуждением состояний ротвгора только с моменточ ! = 2 При этом для возможных конечных состояний системы имеем в ф.
Здз фу = 3; (п)(1„ын О,.,.) и В, = — + и , = У ,. Поступая, как и в предыдущей зшэчс, гюлучэеч дифференциальное сечение неупрупзга рассеяния фотона ротатором йег = ~(2ш)п,пг )0)ег,ен; '—,, ййг (1) сг ' (й Е Зыг) г(й - Зы,) Выполним суммирование по проекциям моменте т ротвгора. для этого запишем сначала 1 )(2т)л,пз )О)сзе1з! = ет ецеис',„.(0(пп„12гл)(2гп(п,пг(0) и воспользуемся соотношением (0)п,и,(2ш)(2гп!п,я,)0) = (0)п,п, (!пт)(!пг)л,пь(0) — (0(п,пг)0)(0(п,пг(0) = ь 1 = (0)н,п,л,пь(0) — (0(п,л,(0)(0(п,пь)0) = — (Зб„бы + Збибз, — 2бхб„), 45 при млводе которого учтено, что слагаемые суммы 1, гп отличны от нуля лишь при значениях ! = 0 и 2.
использованы условие полноты системы шаровых функций и значения интегралов 230 Глава 14. Кбонтобоя теория озлг/ченпя Последнее выражение, как и сечение упругого рассеяния фотона оно, найденное а преаыдугцей задаче, не солержит постоннной Планка; нри этом полисе се ~енивие рассеяния 16з. йо' Л (7) сонпаввет с результатолг классической электролинаынкн для сечения рассеяния электромагнитной волны сферическим ротатором (27, 078) 2 Ргзр 2 Л -.ггм' Фои = — е ' Уоо, Фв (яал)04 ' (за'о)'1' ге У~ а' = Л/гпыо, и энергии ротатора Е, на Ен = Лыо(ЛГ+ 3/2). Соответственно матричный элемент днпольного момента зла ротатора йо($; )п)Уоо) слелуст заменчть на /3 (01гп(ег)000) = )/ — еа(1; ! а(Ум).
)/ 2 Как и н случае амплитуды рассеяния фотона на ротаторе ва втором порядке теории возлгушений, в сумму по цромежулочным состояниям нносит вклад лишь первый возбужаенный уровень осциллятора с моментом 1 = 1 и при суммировании по значениям его проекции гю-прежнему применим прием, связанный с псреходои к сулгллиралюнию ао полнОЙ системе собспюнных функций гамильтониана осциллятора. В Результате для дифференциального сечении упругого рассеянии фотона на осцилляторе получаем (вместо формулы (2) иэ 14.13 о случае ротатора): 4 йа = — л )(езе,)1™ з ИП. О) (из — шо) Для рассеяния неполнризованных фотонов после усреднения (суммирования) по поляризалгглг~м фотопаа, сравнить с 14 12, имеем йа 3 (1 1 соз В)а(ш) ш'1 1бх где полное сечение рассеяния фотона осциллятаром ) (3) 3 (,тот) (шз ыоз)' Полученные результаты не содержат постоннной Планка н совпадают с классическими результатами ллн рассеяния электромагнитных волн осциллятором (сравнить с прсаылушея эацачей, в связи с атилл отметим, что прн рассеянии фотона на осцилляторе ао втором парлдкс теории аазмушений неупругае рассеяние отсутстлуег, т е.
возбуждение осциллнтора не происходит, в отличие от рассенния на ротаторе) (2) 34.16. Найти дифференциальное и полное сечения рассеяния фотонов нейтральной частицей со спинам э = 1/2, имеющей магнитный момент р. Рассмотреть следующие случаи: 1) до рассеяния частица находится в состоянии с определенным значением проекции спина з„ ш +1/2 на ось х и в процессе рассеяния спиновое состояние частицы не изменяется (ось а направлена вдоль импульса падающих фотонов); 14.15. Найти дифференциальное и полное сечения рассеяния фотонов заряженным сферическим осциллятором, находящимся в основном состоянии.
Решение. Расчет сечения рассеяния мажет быть выполнен как и в залачс 14.13 При этом улобно воспользооатьсх выражением лля взаимодействия частицы с полем излучения в виде (Х1Ч.12). Учитывая аид волновых функций сферического осциллятора, см 4.4 и 4.5, и то обстоятельство, что аля (линейного) асцнллатора матричные элементы дипального нонеита атяичны от нуля лишь доя переходов между сосеанилги уровнями, см. (11 3), замечаем, что все изменение в расчете сечения рассеяния фотона нв асциллятаре па сравнению с рассеянием на ротаторе из 14 13 свовитсн к замене шаровых функций Ум н У, на волновые функции осциллнтора яюгнн 20! 0 2. Рассеяное фогпоноб 2) в процессе столкновения происходит переборогп спина, т.
е. в конечном состоянии уже л, = — 1/2; 3) спиновое состояние частицы после столкновения не детектируется. Обобщить полученные результаты на случай частицы с произвольным значением спина. Решение. Рассматривая галька спиноаую степень свободы (т. е пренебрегая эффектами омдачи при рассеянии), считаем, длн определенности, настилу локализованной в ~очке г = О. Рассчитаем вероятность перекода системы из начального состояния ф,=Х(1„„„0,...), В,=й, в конечное (злесь Х, з — соответствУюшие слиновые фУнкции) фг = Хз)!«».„О," ), Лг =йыз пол влиянием возмущения У = — Д яг" а(0), сравнить с 142й Перекод происходит ао втором порядке теории ьозмушений и его нероатность рассчитывается по формуле (1, $43! В данной задаче сумма по промежуточным состоянинм (ь) содержит четыре слагаемыл, соответствующих состояниям, описываемым ьолноьыми функциями (с л, = ж1/2).
Фм = Х„(0,0,...), Вы=О; Ф„»= Хм)1„„,,1„„„0,...), Е„! =2йы, гле, как обычно, х,, „,г» = гх У, х„,гг = ~17! н Учтено Равенство частот (знеРгнй) фотоноа: ыг = ыг = ю Сумма в выражении (1) принимает вид 2 р»с! — ~;((Хт)аат(хмНХ..(ааг(Х ) — (Хз)фа !Х„)(Х..(оаз(Х )), гла введены обозначения а,г»! = (е,п«а,ш!. Учтя заесь условие полноты, 2 !Х„)(Х,,! = 1, снстемм спинопык фУнкций Х«ы полУчаем Е' = — аьаи (Хг)ай» вЂ” Р«а, (Х~) = 4к»' — агппг м(Х»)Р» (Х~) (при этом использовано коммутационное соотношение лля натрии Паули а,໠— В»Р, = 2!е.»гаг) Отсюаа, имея в пилу соотношения (Х)Чб) н (Х1Ч!4), наладим анфференлиальное сечение рассеяния фотона магнитным моментом гуан = — )е»га),аиХ)а»Х~! Ийз.
йгыз (2) Выполним а этом выражении усрелнение (суммиронание) по поляризапили фотонов. Ллн этого запишем (г,чапаи(а,)г,! = (аг)п(аг)дг,»ге маг,апа, а',„ 1 Так как ам =- г„„сна„, то, воспользовавшись соотношением (Х(Ч8), получаем ! ( а,»аы = — ~~с», еиь,„с „„е„а, = — имл«г»,„е„, (д,„— — аьа„у! = — е»,е„„,лг я>„. 252 Глава 34, /(Оонглобоя говорил цзлученил диалоги пю имеем п],е, = с, с„„,тг, дш. Е' ] Теперь можно выполнигь интегрирование по углам рассеяния фотона 4я ] 3]г В результате описанных преобразований получаем сечение рассеяния нсполяризованных фото]юп и виде ]бя р» ен ы — — (гг])н(я])]]е,нс ]е»г е„а]»Л] 3 Б'с' или, учитывая соотношение с,»,с,м = б],4]г — 4»]6]„ ]бя р' ен (п])н(я])]] (анл + д]ген) ~ 1]г]]1 + (]тн ~ )' (3) 3 Д'с 3 Д'с ( ! Д Сечение зависит от спннового состояния частицы до н после столкновения Отметим слслуюшис случаи !) Ссченис рассеянна из слете]а спинового состояния с вектором гюляризации Р, (Р( = ], без изменения спнноаого состояния 3 А]с» ( т, Д,т ) 3 Д]с' где а — уюл между векторами Р и а,.
Как видно, это сечение максимально а случае, котла спин ориентирован вдоль импульса падающих фотонов (а = О или я). 2) То же, что и а предыду]цем случае, но уже с переворотом» спина, т е Рг — — -Р: 0 = — — [2-]-яп ц). ]ба р»ы] 3 Д]с' (5) 3) Сечение рассеяния в случае, когда спинавсе состояние частицы после столкновения не детектируется, б4я ]Л]' "= яп+ "и = 3 д]с оио, а отличие от (4), (5), уже не зависит от исходного полиризационно го состоянии частицы.
Длл частицы с произвольным значением т спина имеем 3» = рв/т. Чита]ел]а предлагается показать, слелэп необхолимые изменения и припеленном ре]ненни задачи, что полное ссчсннс рассеяния фотонов на неполяризованных частицах, просуммированное по конечным спшювым состояниям фотона и частицы, равно ]бя ]Л]] е+ ! яш — — —, (3) 9 д]с» что при г Ъ ! соипадает с результатом класснчсскоя электродинамики лля сечения расСеяния элекгрома]нитной волны ма]нитных] моментолг, усредненного по рвшичным ориентациям люыснтв в предположении их экеинаяентностн.
Здесь и — гнромагцнгнос отношение — определяется сг]отношением т] = кМ. где М— механический люмент частицы 14,17. Выразить сечение рассеяния фотона малой частоты, Ды -» О, атомом, находящимся в стационарном состоянии с равным нулю моментом, через поляризуемость Д атома (определяющую сдвиг уровня, ЬЕ = -/)еет]/2, в однородном электрическом поле!. б 2. Россеяние фогпоиоб 203 Решение Вероятность перехода и системе «атом т фотон между состояниями Фьг = Фв(1$ыг,г 0 ) Еьг шЕе бы (Фз — волновая функция атома) под влняннелг азанмодействнн электронов с полем нзлучення, нмеюшего в днпольном приближении внд (Х>Ч.12) с 6 = — е д г„(суммирование проводится по ассы электронам атома), рассчнтьаается согласно известной формуле ыорого приближения г сорн н возмушенн й й(с- Š— Е ! (1) сч (1, 043>; в данном случае Рг, = 0 Вхпад во пхоляшую сюда сумму дают промежуточные состояння двух типов, волновые функции н энергии которых Фы = Ф„>0,0,.
), Еы — — Е„, Ф,т = Ф,>1ь, „!анно,...), Е„, = Е„-2йы (ԄŠ— в. ф. н энергия стацнонарных состояний атома) С учетом соотношений (Х>Ч !2) и (Х>Ч. $3) эта сумлга принимает внд —;$ '(0~6,>П)(п>6,(а>~ — """ 4 '"'" 1. р (ые„+ы ые — ь ) Солержашнеси злесь лве суммы имеют слелуюшую тензорную структуру (ввиду сферической симметрии рассматриваемого состоянин атома Фв, имсюшсго равный нулю момент): . (а>6,(п>(п>6,)а> = В(еы)бч. ые ем Вылет~них здесь свертку по индексам т н й, получвсч В(жы) = — ~ ! $(п(6(0>) 3 мы вы (2) и так как в условиях задачи ы О, ~заходим Чг„у 4ггы — — В(0)(е,'е,). Е, — Е„Р Замечая, что В(0) .= — >~й)уг лншь множителем отлнчастсн от значеннв полярнзусмостн $$в рассматриваемого состояния атома, н используя соотношения (Х!Чб) н (Х>Ч.14), ирнхолнм к дифференциальному сечению рассеянны фотона с малой частотой атомом т ° йо = — $езе,> 6П. Веы, т (3) с" После усреднения н суымнроаання по поляризациям фотонов, сравнять с 14.12, получаем днфференцнътьное сечение рассеяния неполярнзованньш фотонов н полное сечение рассеннив 6а ()егы' г йе $)еты' — = — (1+ соя'Е), п(ы) = —— 6П гсг (4) Как нллюстрацню этого соотношения см рассеяние фотона на ротаторе н осцнлянторе я 14 $3 н 14 15, полярнзуемостн этих систем былн найлены в 0.10 н 0 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
