Galitskii-2 (1185112), страница 70
Текст из файла (страница 70)
Заметим в заключение, что формулы (4) в явном вгшс не содержат постоянной Планка (в отличие от самих полнрнзуемостей квангопык систем) н совпадают с апалогичнылш результатамн классической электродинамики для рассеяния электромагнитной волны полярнзуюшейся системой 14.чтоо. Найти сечение фотоэффекгпп для еодородоподобного атома, находящегосв в основном состоянин, Предполагается, что частота фотона удовлетворяет условию йш лг 1, где 1 — потенциал ионизация атома. 284 Глава 14.
Кбоятобоя теория излечения Решение. В системе водоролоподобный атом + фотонь, начолншейся в состоянии. описы- ваемом волновой функиией ш(бег)2 ф, = Фе(г))1м,б, ); Фе = — е 'Г', Е, =йы —— (а = Л~/Еще ), в результате поглощения фотона электроном, лроисхадяшего под действием иозмушснна Р = — ',А„,и(г)р, сравнить с (Х1Ч2), может произойти ионизания атома.
Так как в рассматриваемом случае нри этом энергия электрона ранна Еум йы Ъ 1 = ш(Вез) /2Л, т е вылетаюший электрон являетсн быстрым, то е конечном состоянии можно пренебречь влилиием пояя пдра иа электрон и выбрать соотеектвуюшие волновые функпии в виде Ф = — ехрг — рту ~0), ЕГ и —. /И (й ) ' 2гл Вероитность перехода рассчитывается согласно формуле он = — 'ь'(Уг,)2 ояг, матричный элемент еозмушении в которой описыааетсл выражением (сравнить с (х)ч4)) ЧЛ = — 4 — еь //е ии ""ре 'г'4'г (1) шр У ыаг Интеграл здесь легко иычнслнть, перенеся предварительно действие оператора р на экспоненту слева от него; после чего он вычисляется в сферических координатак и оказывается равным 8х.да а яд и — р, (1 г„о2ит)2 р4о где и = р/И вЂ” й; а послелпем равенстве учтено, что р Ъ Ид, как это следует из соотношений — ш ды = дед ~ шс р 2пт (возможность пренебрежения Д соответствует замене я матричном элементе е'2' ш 1 и липоль- ном приближении), н ра/й 32 1 ванду условия йы м 1 наконен, учитываю выражение для плотности конечных состонний р Х Чрдр 422 трЧ ояг= Ы -1- ) 2ш) 2(2яй)2 (22гй)2 и синзь (Х1Ч.14) сечении с вероятностью прояесса, находим диффереиниальное сечение фотоэффекта егй 1222 1 р( Оо = 32 — — ~еь - ~ ш2.
( ° 222 ~ Выполнив в нем усрелнсние по нолнризаниям фотона с помошью соотношения (Х1Ч8), что дает )смр(2 = 2,рт ни ге (е — угол между векторами р и в), получаем дифференпиальнос сечение фотоэффекта Лля неполнризоаанных фотонои Фг = 328 ( — ) ( —,) ( — ) зги гоаТ2. (3) Заметим, что преимушественный вылет электронов перпснликулярно импульсу фотона от. ражает преобладаниет и нерелятивистском случае волновых свойств фотона.
именно в этом направлении действует на электрон сила Лоренгга со стороны элсктромзгнитной волны В реляшшистском случае. лля более жестких фотонон, начинают лрояш2итьсн их корнускулирные снойстиа, что прииодит к преимушестаеиному иылету электронов в направлении импульса фото2а, см. (29!.
Интегрирование иыражения (3) но углам лает полисе сечение фотоэффекта - = — ",'я "(,".') (.— ",')'(,".')" где 1в = 1/л' = 1З,б эВ иотеиниаа иоиизапин атома водорода Заметим, что сечение (4) лля значений 8 = 1 и йы = 5 кзВ состагшяет 6 03 24 смт 255 $ 2. Рассеяние фотоноВ Выражение (4), умноженное на 2 (дпа К-электрона), можно использовать и лля (приближенного) вычисления сечения фотоэффекта на атомах, отличных ат водоралоподабного. Вкчаа в сечение других электроноа атома, находящихся в возбужденных состояниях, меньше, чем К-электронов они более слабо снязаны с ялром, а в провале сваболных электронов поглощенна нми фотоноа не происходит Оценка сечения фотоэффекта на таких электронах атома может быть выполнена аналогично таму, кяк это сделано в следующей задаче 14 19 дяя процесса радиационной рекомбинации электрона 14.19.
Найти сечение радиационной рекомбинации быстрого электрона с покоящимся протоном (процвсс, обратный фотоэффекту) с образованием атома водорода вискозном состоянии. Решение. Решен не данной задачи может быть получено в результате простых замен в решении прельшушей задачи (заметнм, что общее соотношение между сеченинми изаимно обратных процессов фотоэффекта н радиационной рекомбинации электрона непосредственно следует нз принципа летального равновесия, см. !3.93). Перестановка начальною и конечнага состояний не изменяет значения )Уг,)' в силу эрл<нтовости оператора У, следует произвести слелуюшие изменения 1) н еырвжеинн лля ало<ности канеч <ых сос<ою ий, тсяерь Ирт описывается формулой (Х1Ч б) с йы = г, Е! м е,; 2) э соотношении (Х)Ч.14), связынаюшси вероятность и сечение, я данной зааяче Иа = Уйыта,< 3) заменить усреднение по паллризацням фотона суммированием по ним, что лает дополнительный множитель 2 в сечении процесса.
В результате указанных замен приходим к следующим выражениям для лиффсренцнавьного и полного сечений радиационной рекомбинации быстрого электрона на основной уровень водаролопааобного атома(иона): Отметим, что рекомбинация быстрого электрона на эозбу<каенные уровни атома ил<ест значнтеяьно ман ынив сечении. Действитаяы<о, из формулы (1) предыдущей задачи следует, что Ут, сс ерФ,(р), гле Ф,(р) — волновая функция рассматриваемого состояния электрона в аоиородоподобнам атоме в импульсном прелстаы<енин.
Дяя пз-состоиний асимптотика этой в ф при больших импульсах имеет аид Ф„, м Сгчтп<р', так чтои! а „„, и 1гпт (лля состояний с орбитальным мамонтом ! м 0 и. ф. Фм(р), в соответственно и сечение рекомбинации убывает при р оо еше более быстро, чем э случае я-состояний, см 4!8) Поэтому учет рекомбинации на аозбужденныс уровни сводится к умножению сечений (1) на ) п л = ((3) = 1,202 (С(я) — дзета-функция Римана), те.
увеличивает сечение рекочбннации псе<а нэ 20 98. 14.20. Найти дифференциальное и полное сечения фоторасщепления дейтрона, т.е. процесса у + д -< р+ п. Указание Волновую функцию лейтрона шить и приближении но<сивилла нулевого радиуса, а в конечном состоянии протон и нейтран рассматривать как сяоболные. Решение. Процесс фатарасшеш<ения лейтрона по своей физической природе аналогичен фотоэффекту н расчет сечения ега дублирует решение задачи 14!8. Укажем изменения, которые следует произвести в формулах этой задачи прил<сиятельно к данной.
и<такую же зявнсимастл, а„, х и т, имеет сечение фотоэффекта из яозаужденнага пл-актаяння валааолаподабиога атома. 286 Гилее 14 Кбантобая теория излучения (2) 14.2чл. Найти дифференциальное сечение тормозного излучения электрона в куло- новском поле ядра. Исследовать угловое и спектральное распределения излучаемых фотонов. Взаимодействие электрона с ядром рассматривать как возмущение. Решение 1) В тормозноч излучении быстрого электрона начальное состояние системы— свободные электрон н вакуум фотонов — опнсыиоегси волновая функциед Е, = — екр ~- р,г~ !0), Е, = — р, ,ЮУ (» )' "' ' 2 рассеянно эясктрона, сонровождаюссеесв нзлученисы одного фотона, происходит цод влия- нием возмущения 3 Яе е В = — — ь — А,(г) р, П) тс сраиингь с (Х1Ч.2) (слалвелсое ос А, опушено, так как оно отвечает эа перекопы с четным излссисннсм числа фотанон), Г!ол познавал функцией Ел(г] тнсрь сясгуш нанимать в ф,ссдтронэ, имеющую в приближении потенциала нуяеного ралнуса вело!вин сил вид /к е"' Ь к Ел(г) = С л)) — —, гл = —.
(1) ""1(2я г ' М Злссь ㄠ— энергии синан леетранв !М вЂ” масса нуклона, Р = М/2 — припеленная масса рп-системы) и, соответственно. Е, = Лы — сс Заметим, сто н волновую функцию (1) введен всичпготичсскид коэФфициент С„е, учлстыссающнй поправку на конечность радиуса взаимодействия, см по этому поводу 12,1, а также 11 36 В выражении длн язанмодействил (протона) с гюлсы излучения'слеаует произвести замены. е -с. т М, г г„= г/2 Внл волновык Функций конечных состоннид ег не изменяется, но теперь ег = р /м з Соответственно измснястсн и значение интеграла в матричном элементе возмущения (см сйормузлу (1) из 14.18), лснсрь он равен з ,„!л е с 4 ЯД е р — фг= Р г ( 3 дзиз) (слагаемое гйг/2 н показателе экспоненты опушюю по указанной в 14.18 причине). Плотность конечных состояние в условиях даннан юла и ~з 3 У яз~ Мрт ЕП ЛРЗ ш ( 4(лы — ге — — ) — =, р = 3/М(лы ел).
М) (2згд)з 2(2хй)з ' Учтыяая сказанное, прихопнм к слелуюшему выражению для дифференциального сечсни» фоторасщсплсния лейтрона: 1 Еи = 2 — Сы — !ер( 4П. г, р,/ге Дс " ДМля з (3) После усрелненил по аолвриэацияы фотонов (сравнить с 14 18) позучасм Еи — С„л зт О 4П. е з р ,/ел 3 з Дс ДМлззыз (4) Интегрирование по углам зшет полное сечение фоторасщеплсния дсйтрона Вя с' з л/ел(ды-сл) е = — — Сзе (5) 3 Дс Млыз Сделаелс заключительное звлссчание н огношении области применимости полученных результвтоп. Осси основаны фактически нв использовании приближении нулевого ралиуса для потенциала ря-взанмоледствия Такое рассмотрение лсрщслкаагает, что в задаче существенны расстоянии, ллного больилие радиуса действия ядерных сил Как пидна из иыражсния (2), оно оправдано при р дн, т с. нрн твкгх частотах фотонов, что Лы сл (и неприменимо при значенлых импульсов освобожлаюшгхся нуклоноя р>Л/ге, где гл — радиус ядерноговзаичолсдсгния.
"ри бал ьилих импульсах из-за быстрых ос с!глядя пие экспоненты в интеграле (2) сусцсственпы палые ресстонния, на которых ужс важен ыщ точной «олнопад функции дейтроиа) 5 2. Рпсселлде фщлоноб 257 Для конечны» состояний Фг = — ехР) -Рзг/(1ы,О,...), Ег = — Рг+лы. игу (Л ) ' ' ' 2щ Вероятность рассматриваемого перехода, происходящего во втором порядке теории возмущений, рассчитывается по формуле (1, 543) Рг„у„, Л~ Е,-Е, (2) Отметим, что матричный элемент позмущеиии Рг, отличен от нуля уже в первом порядке за счет второго слагаемого в возмущении (1) Однако он содержит множитель б он ь„, выражающий сохранение импульса при излучении фотона сяободным электроном, что совместно с законом со~ранения энергии прияодит к невозможности ишучеиия фотона свободным электроном. Поэтому взаимодействие с внешним полем, приводящее к передаче импульса нару, яяляется существенным элементом рассматриваемого процесса.
Промежуточные состояния К в сумме (2), дающие отличный от нуля актами, описыва- ются волновыми функциями двух типов: 1 Л'и' (3) 1 Лгн Ф„, ы — е"'(О)„ " ы,Ф Ею = —, 2гп ' при этом суммирование по Ш, сводится к сумме по всем позможным значениям волнового вектора М электрона я промежуточном сосгоннии 2) используя явный вид волновых функций и оператора А,(г), см (х!ч.г), нвхолим матричные элементы возмущения, входящие в выра:кение (2) Рь = — (А 4 р)„н = — )/ — е„',/ е '"' реипбР = — 3/ — (емйг)бь, „,„, гпс у)/ ыр / пг')(ыр е — ей )2тЛ Рт.т = — (Аче Р) „= — )/ — (аь х)б„,ьг,ь! пю "е г г щ)/ыр (,,/ы р / («,-и)'р' Г'1'З 4 гег Чг., = -ге!~-/ рь! = Лйь! (,/,, (- )р' Наличие е них множителя аида бм кш позволяет сразу выполнить суммироняние по и в выражении (2) (в сумме по состоянинм н1 отлично от нуля лишь одно слащемое с и = Мг-Л, а для состояний и2 — лишь с и = й! Л) и получить Р „У„, 4яЗе' еЛ Г2~гЛ ~; -б-"-"-'- = — — )/ — е'„(Л, - й!), (4) Е,— Е„йыд! щу !/ыр тле Лй = Л(йг — Л! - Л) Л(й, — йг) — импульс, переданный ядру.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
