Galitskii-2 (1185112), страница 58
Текст из файла (страница 58)
Дисперсионнос соотношение в случае потенциала нулевого радиуса можно подтвердить непосредственным вычислением. Подставив мнимую часть амплитуды рассеяния (1), равную Рис. 1б ЛтЕ 1 1ю /(Е) = ~( — —, Е > О, 2гл )Еэ)+ Е в интеграл в выражении (3) и вычислив его, получаем ГГ Л 1 /(Е)=-,— /~ у 2ш / (Ь' — ЕН)Ее)+Ь") /г /)Е,)- !т/Е е что а случае аэ < 0 (в отсутствие связанного состояния) совпадает с амплитудой рассеяния (1).
В случае жс ае > 0 прихолим к амплитуде рассеяния после побавления, согласно (3), полюсного слагаемого. Установленные дисцерсионныс согжношения отличаются от (ХП1.27) отсутствием борновского слагаемого /э сс ) ?!АУ Это имеет простое объяснение. Потенциал нулевого радиуса можно получить из потенциала конечного радиуса Я предельным перехолом Н О, при котором ?геВ~ = сонэ!, так что ори этом /в сх Г/ей~ О В потенциале конечного радиуса амплитуда рассеянии и пределе Е со совпадает с борновской и для обращения в нуль игпеграла в (2) по окружности бесконечного радиуса иэ / пело вычесть /з, лла потенциала нулслого рааиуса амплитуда рассеяния сама обращается в нуль при Е оэ.
В заключение отметим. что вычет в полюсе Е = Ее в выражении (3) рашн -Лт/птае = -ЛтАт/2пъ. При этом А ы ь/2/аэ = Лйе совпвлает с нормирояочным коэффициентом в волновой функции ехр (-иэг) Фе= А т/яя яг связанного состояния в потенциале нулевого радиуса, см. 4.10, в согласии с (ХП!.27) и (ХП1?Н). 13.69. Воспользовавшись дисперсионным соотношением, показать, что для энергети- ческой зависимости сечения рассеяния частицы в потемциале отталкивания, Г/(г) > О, существует следующее ограничение: п(Е) з т/2гп / — ' АЕ < Ая' — /1 зи(т) Ат, Л /' 211 б б.
Яналитичесние сбобсглба и унитарность... Решение. Так как согласно оптической геореь~е 1ш /(Е, О) = Ло(Е)/4л, то из дисперсного соотношения (Х111 27) при энергии Е = 0 следует / /2щ /о(Е)ОЕ /(Е = 0) = — — ( (Г(г) 43г + — / 21т/ елей ~ГЕ ь ".(Е), й2 "/ — 4Еш4к — /1 (/(г)~ Ог. тгЕ Л,l (2) а ь В заключение укажем, что из соотношения (1) следует полученный ранее а 13 !6 другим способом результат о том, что в отгвлк иаательном потенциале берново кое прибл их«си ив при энергии Е = 0 дает завьгшенное значение сечения рассеяния.
13.70. Показать справедливость соотношения и(Е) 2'л/«1 — 6Е < оз)г — с(0) ГЕ у' гл о для рассеяния в потенциале притяжения, (/(и) < О, в котором, однако, не существует связанных состояний частицы (яма недостаточно глубокая); здесь о(0) = 4«где!в сечение рассеяния при Е = О. В каком случае обе части неравенства близки друг к другу7 Решение Пока в потенциале притяжения иет связанных состояний, справедлило соотношение (1) из предыдущей задачи, однако теперь все три слащемых в неч уже положительные. Отсюда, в частности, сяедуст результат из 13.16 лля потенциала притяжения. Далее, отмеченное в условии задачи нсраленсгво а случае *слабого потенциала должно выполняться с большим запасом, сравнить с предыдущей задачей. Однако при приближении потенциала к «критическому, когда пояеляетсл слатанное состояние, имеем /(Е = О) со; при этом /(Е = 0) Ъ /з и значения обеих частей нераиенстаа уже близки лруг к пруту, так что о(Е) — 4Е ш и)( — о(0) .
Е ь Впрочем, это соотношение в случае сугцсствааания а потенциале мелкого реально!о или виртуалыюго з-уровня до«гаточио очевидно заранес. Согласно (Х111.16) при этэм в области малых энергий сечение рассеяния 2тл» Лт о(Е) ш, сь « —, гп(Е -и с«) щд' аномально велико. Именно эта область вносит ломинирующий вклад а значение интеграла; вычислив его, убеждаемся в справеллипости соотношения (1). з'! Так, лля лр«моугьльиьш ломниишьиого бары ра радиуса д при Уе оз имеем таки«и 1/е! со, а то врсчи как при этом /(В= 0) = -Д=соан Здесь также учтено, что в отталкиеательном потенциале, бг(г) > О, нет связанных состоиний. Отсюда, авилу того, что и таком потенциале /(Е = 0) < 0 (см.
13 16 и 13 31), '.разу приходим к приведенному а условии эщачи неравенству. Заметим, что в случае «слабого потенциала, (Гь « Л~/глдт, рассматриваемое нерзаеиство представляется достаточно очевидным (так как / щ (ге, а о к (/ьт) и должно выл«шляться с большим «запасом«. Однако лля сильнщо отгалкивательного потенциала, бгь Ъ Л /гид~, уже«'! (/в( л 1/(Е = О)! и значения обеих частей неравенства близки друг к другу, так что е этом случае 212 Глава 13.
Сглоякнобення чостцц 13.71. Используя только условие унитарности и дисперсионное соотношение (при дг Ф 0), можно, в принципе, по известному выражению для амплитуды рассеяния в борковском приближении восстановить'" ее в виде ряда по степеням потенциала (кратности) взаимодействия. Показать на примере амплитуды второго приближения при д! = О, что такой расчет ее воспроизводит результат теории возмущений по потенциалу, основанный непосредственно на уравнении Шредингера (см. 13.10). Решение. итерационная процедура вычислении вчплигулы рассеянии 7 = 2, уьэ рассматриваемым способом состоит в сделуюшеч Сначала по известной алгплитуде первого прибтижения, уц! = 7», с помогцью условии унитарности (ХП(,26) находи»» мнимую часть амплитулы нторого приближения» ! (т 7(~1(е, дт), а затеи.
используя дисперсионное соотношение прп дг Ф 0 (аналогичное (ХП(27)), и всю амплитуду 3(гг н целом. Подобным образом еычисляютсн и члснм более высоких приближений В частности, црн значении д = 0 таким способом сразу находим г У "(Е, д = О) = — /' /Г Уа(з) бз. 4» /,/Е' (Е" — Е),/ э е Здесь мнимая часть амплитуды расее»ния с помон(ью оптической теоремы вмражсца через сечение рассеяния в борновском приближении и во избежание загромождения формул использована система единиц й = 2гп = 1, при этом Е = Дт.
Борновскан амплитуда уе записана а нгщс гв(д ) С лругой стороны, во втором порядке теории возмущений согласно резуяьтэту из 13.10 »месь~ (» гл) 3(!(Е д =О)= — т / т Дк= — / 1 Г Уэз((йэ — н!'), 1 Г к дк 7 / Ув(») йв (2) 2»т,/ к! — Е 2я,/ И (к' — Е) / й ( -гс!г Длн Локаютельства рашнства принеденных выражений выполним во »тором иэ них слсдуюгцнс преобразования (заметим, что цри Е 0 равенство станоинтся очевидным, если в соотношении (1) выполнить интегрирование но частям). Прежде всего внутренний» интеграл в формуле (2) разобьем на дпа, с точкой» = 0 в качестве одного нэ пределов ннтв рировгни» далее. н перном»з получающихся нри этом слагаемых сделаем подстановку 2»' = к + чгЕ, а во втором 2»' = к — ъгЕ.
В возникающих интегралах по и' оп»ть разобьем области ннтсгрироиания на две одну в пределах от 0 ло со, а вторую — в пределах от 0 до ж /Е/2 Вклалы втпрьж областей инт грировани» взаимно сокрашаютсн, а сумма вк»»лов пер»ых цз них после подстановки Ь" = (к') носпроизэоднт формулу (1). 13.72, Считая, что для парциальных волн с 1 > Ьо ш ЙЯ 2» 1 взаимодействие пренебрежимо мало, получить ограничения сверху на величину амплитуды рассеяния бесспиновых частиц при высоких знергияк для различных углов рассеянинм'. ЬП Пелчсркнсн, что ур»мкн»с !Орел»»ссра прн таком»одхоле не нспольэуетс»! ьэг 'Пр» этпч, » пр»»ципс.
»плу»эюшсес»»ырвжсннс ецрслел»ет мнимую часть ам»э»гулы» прн нсфнзн кскгг» эначсн»»х з»ср~»» 0 < 8 с Лгд~убм Ы( В зэл» ах 13 72 — 13 75 рассмотрен р»з прес» ьа обмят ирэн»чан»н на с»паст»» эчпл»гул н сечен»в юацчелсйстен» частиц пр» Шаьнно знсрпцх, с»»заннмх, в ос»о»но», с»озчопнос»ью ппе»сбрспс»н» »эе»люлсясг»неч на р»сего»н»»х, »рсэмм»Юшнк сге р»л»уе я Тах»» с»гуане» юрэктер»э дл» физики элсмснюр»мт частиц.
Прн ло» эффект»энып р»л»ус эээ»чсэсйетв»» растет с энерпгса, »о не быстрее, ~стг и!п (ДУЕ»). сн 1353. Пеобхол»носи»споэьюеа»»» рс»»т»»»стеков кинематики 4нкт»ческ» »с о»раж»стс» нв получен»мх результатах б б. Аналитические сбоистбо и рнптарность . 213 ( 2 хи! (Рг(со!В)( < т, к! 5!я В н аншюгичным образом пслу !аем х и! у(й,В) < -( — ~ Л(йд)'Р.
3 т,кипр (3) Заметим, гто из эа оснилляцни полиномов Лежанлра при В Д О такое ограничение лля произвольного угла рассеяния прсдсташгяется слишкол! слабым и должно выполняться с большим запасом. Действительно, вытекающее из неравенства (3) ограничение на величину полного сечениЯ УпРУгого РассеЯниЯ, ен = ) (У(~90 < СД~ ггЯ вообще не пРедстаплает интеРеса, так как заведомо еи < ет ц 4кЯт, а значение йд )> !.
1З.гЗ. 8 условияк предыдущей задачи получить ограничение снизу на величину сечения упругого рассеяния ои быстрых частиц прн заданном значении ггм, полного сечения столкновения. Решение. Из выражений вля пароиальных се!сний (полного и упругого рассеянгн) е, = 2гг(2!+1) — (! — Йеб!), о! ! (21+ !) —, И вЂ” Вг( = (2!+1)к! (! — 2йеВг+)Вг() в! ! следует, что ори заданном значении с,„величина ен минимальна лри !т Я! = О. Соотвств! о! ствеино Аг сн — — ~ с„>сг!.= — 2 (214.!)(! — о!), й! ! ь где о, =- йе Яь Дпн отыскания минимального значения Ун как функции переменных о, пРи звданнои иелнчнне аи.
= 2 а, воспальзУсмсЯ методом нсопРеделенных чножителей М! Лагранжа н введем А(а!) = Зн — Лси, Из условий экстремума (теперь асс переменные а, можно варьировать независимо) лля Д(аг) находим о! = сопз! = о (не заяиснт от !). Замення суьгмироаанне по ! интегрированием и исключая о нэ выражении для е„и с,, получаем неравенство ! |гн > пни Он — ! с„, . (!) Как отлгечалось в !3 53, в теории сильных взаимодействий элементарных часгин устано- влено ограничение на возможный рост радиуса Л взаимодействия с увеличением энер! нн: Е Л< Ле!п — при Д вЂ” гсо Ее (2) так что неравенство (!) принимает вид а Е>С сн(Е) >С,,'"„я . (3) Решение. Н разложении алтлитуды рассеяния (Х!!!.9) по парпиельным волнам ньгеем неравенстно (рг! < !Гй, так что в соответствии с условием задачи полу гаем гь !У(й, 8)! < — ~ (2! Е !)(Р!(сов 8)!.
А, „ (!) Отсюда, заменяя сумьгиронанне интегрированием, вл«углов 9 = О и к находиь! о! ! ! ( < ~ е ! 9 О гг Для углов рассеяния 8, не слишком бяизких к О и к, имеем (см. [1, $49)) Глава 13. Стоякнобения чистик 214 Решение. Обозначив Яг = !Вг)ст'!', имеем для парцнальных амплитуд в (Х111 9) выражения 1 1 1трг = — (1 — )Я! сот 2й), Кс уп —— — (Вг(з1п 2аь при заданном значении 1трг величина (ксеп( максимальна при !Яг( = 1 (в этом случае нсупругос рассеяние огсугстаует и лш = тг»). так что, записал !т рг = (1 — о~)/2Л, получаем ьт )КсУ(Е,О)1< тз (2!+1))Кеул( < — ~ (2! !) /1 — и,'. 1 ° Поступая как и а ирсдыдушсй замчс, приходим к следующему ограничению нв вещественную часть ам плит улы упругого рассеяния впсрса при воган ных полном сечении рассеяния и ралиусс взаимодействия: х !Р )Кс Г(Е,ОИ ~( — туК„ЛЛ~1 — — ) < †.,ул, ЛК.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
