Galitskii-2 (1185112), страница 53
Текст из файла (страница 53)
Нозкоэнераетическое рассеяние где Л = пк/аВ «1, и выражение (!) оказывается равным 2 , д ЛВ - о+ Л - !Л ботс ' Л — пгг + Л+1Л1 Умножив здесь числитель и знаменатель но (2) д 'йг (ЛВ+ пгг Л) т 2пзВ2 „,В1 преобразуем выражение (2) к более улобной форме ь421Е-Ея, -2Гл. /2 лото ~ Š— Ед „+ 1Гд „/2 ' (3) гас бо — — -ЛВ и го! озпгйз / 2 Л 2я' гйг по Еж, = — ~! — — /2, Гд„= — «Ел „. 2тВ' Л ад/' " В' (ЕВ)' й ;гпй Гд „= — в йбуФ = й ° 4Л' т„2тВ" где 23 — коэффициент пронипаемости (при однократном столкновении) б-барьера при энергии, равной Ел „(см. 2.30), а ЬГ = о/2В = опй/2тВ' характеризует число удароя частицы о стенкуь в единицу времени.
Из физических соображений следует ожидать. что аналогичные результаты имеЮг место и Лля значений момента ! Ф 0 Поэтому при значениях ОВ «аВ сечение рассеяния на б-сфере почти сопполет с сечениеч Г„ рассеяния на непроницаемой сфере такого же радиуса, за исключением узких областей ЬЕ вблизи положений коазидискретных уровней Так как парциальное сечение описмвоется выражением .1 Рнс. 1Э о, =4гг(2!+ !) — (Яг — 2! Лг и прн знер2ии частицы, Оянзкоя к резонансной энергии Ед „гшя о-уроьнсй, рассеиння с моментом ! = О не непроницаемой сфере не происходит (при этом бо м па), то разность го! сечений рассеяния на Ь- и непроницаемой сферы в окрестности коазидискрстного о-уровня оказывается равной (рис 23) 1 Ьо =:гВ 1 Гц, > О.
пгяг((Š— Ел „)2+Г)2 „/4] 13.49. Параметры потенциала (/о(г) выбраны так, что в нем имеется связанное состояние с энергией Е = О и моментом ! (длина рассеяния ог = оо). Найти длину 2о! рассеяния ог в этой парциальной волне при малом изменении потенциала на б(/(г). Используя полученный результат, обсудить вопрос о различии зависимостей энергии уровня от б(/(г) в случаяк ! т О и ! Ф 0; сравнить с 4.27 и 4.28. Выражение (3) имеет обычный лля случая резонансного рассеяния на квиидискретноч уровне виа, см. (2, О !34). При этом бо описыяает фазу потенциального рассеинил (т.е. фазу !о! едали от резонанса), а Ея „и Гд „определяют положение и ширину квазиднскрстного уропня.
Таким обрпзом: !) фаза потенпиального рассеяния совпадает с фазой рассеяния на непроницаемой сфере рааиуса В; 2) положение Ед „квозидискретиых уровней почти совпадает с уровнями е бесконечно глубокой яме радиуса В; 3) ширина уроаня, опрсделяюшая время жизни квазистационарного соегоения, может быть предсташ1сна о виде 192 Глвва 13, СтолкноВения чостпц 1'2л~Еа ! т яе и для значений длины рассеяния ле > 0 !при бУ < 0) орнходим к известному результату Е,= — — '„, ~/ би[Х[т(г))'а1 (2) а о квпаратичной зависимости, Ее гх -(би)з, от бУ глубины залешина е-уровни, сравнить с 4.27. В случае а, < О также и ке < О, так что уровень Е, нвляется виртуальным (находится на нефизическом листе) Подчеркнем, что стение э-рассеяния слабо ювиснт от знака 6У(г), см (ХН1.!6) В случае орбитального момента частицы 1 Ф О, воспользовавшись выражениях~ (!) и результатом 13.44 лля эффективного радиуса взаимодействии г, в момент возникновения связанного состояния, зла<внаем, что сдвиг уровня (полюса парцнальной амплитуды) й' Е,м— 1й 1 гпп,)г;( линеси по бУ и сеисыяается первым порядком теории возмущений, сравнить с 4 28.
2(ля значениЯ а~ > 0 уровень — реальный с Е, < 0 Если же а, < О, то Е~ > 0 определяет энергию квазистационарного состоянии; при этом его ширина Е,~ ср (4) -(.А й 1 В случае ! ге 0 характер резонансного рассеяния существенно зависит от знака би(г), определяющего характер уровня, см., например, !346. (3) 94. Рассеяние быстрых частиц. Приближение эйнонала 13.50. Получить вырткенне (ХВВ18] для амплитуды рассеяния быстрых частиц сум- мированием ряда разложения ее по степеням потенциала (кратности взаимодействия), см. 13.10. Решение.
Общее выражение дяя членов разложения, у = д„у™, амплитуды рассеяния по степснялг кратности вэаиьюдействия дается формулой [2) из !3.10. Так как входтцис Решение Обозначим через Х, и Х, регулярные решения уравнения Шредингера (Х = гл) т с нулевой энергией в потенциалах Уь(г) и Уь(г) + бУ(г), нормированные услопиями Х, ' = г ' и Хю — — г ' — г' '((2! — 1)!!(2!+ 1)на~) при г -+ со ~а! (сравнить с !3.39).
написав у. ш. длн х, н х,, умножив первое из пих нэ х,, а второе— на хпг и выч гя ночлснно, проинтегрируслг по г в пределах от 0 до со, в результате получим йт и =-~биХ,Х,'б =- ~би(Х[е) б. (1) 2[(2! — 1)1![ тя~ (сравнить с аналогичным преобраэованиел! в 13.31, подчеркнем, что соотношение (!) справедливо при любом значении момента частицы).
Используя полученный результат и разложение эффективного радиуса (Х! Н 15), из условии сибг(Е)) = ! можно найти положение полюса пярциыьной алгплнтулы рассепиня, определяюпзего изменение уровня Е, = 0 в потенциале Уе(г) под ввняниел~ возмущения бУ(г). 101 В случае моыснта частицы ! = 0 имеем 94. Рассеяние быслгрьш частиц. Приближение зйконаяа 193 а нее фурье-колшоненты потенциала 0(к) существенно отличны от нули лишь при значе- ниях кЯ ж ! (Я вЂ” радиус потенинала), то замечаем, что в случае быстрых чалим, ЙЯ )) 1, и малых углов рассеяния, когда ЕЯ = )Й вЂ” Йа(Я < 1, в интегралах по к„и этой формуле доминируюшую роль играют области интсгрироаани»к в которьш )хл — Йе) < 1»Я записав -в » хл = Йл + м„л„+ х», где пл = Йл/Йл м хл» д лл, имеем для энергетических знаменателей приближенное выражение х» — Йл — !е ю 2Йлк» вЂ” Ы » 2 (1) (здесь пренсбрежено слагаемыми (к,) н (к„",) по сравнению с 2Й»к» что прившит к относительной погрешности 1/ЙЯ) теперь, после подстановки в указанную форчулу выражений лля фурье-компонент потенциала 0(кл — к„,) = Я»Г(рл, з») ехр ( -! ((к»В — х !',) з + (х» — гг»,) р») )» 4 р» езл замечаем, что с помощью соотношения ' '*- ' / ехр (г(р„л, — р»)х»») 4 к»» = (2я) б(рлл, — р ) выполняются интегрированна по м», а появлякиииеся б-функпии позлолиют проинтегриро- вать и по р», так что во всех множителях 2»(рл, з») значения р» (с разными Й) оказынаются одинакоиыми Используя, наконен, значение интеграла ехр (л(зю~ — зл)к») З л»г ак».
= 6(я»+~ — *») 2ЙОк". — »е Йв г)(з) — ступенчатая функиил, см. !3 !4), находим в результате описанных преобразований Й= Йл) »» / "лю —,(- — ) ~ 4»» /бзз... ( бз„О У(р,з,]...2/(р,я„)е 'т* Фр, (2) причем здесь в показателе экспоненты пренебрежено слапшмым -!раз„, так как уз « дл (сраны иль с !3 2). В этом ныражсиии люжно ло всем з» интегрироивть в бесконеч» ых пределах, если ввести л»ножитель (и!) '; после этого получаел» амплигуду рассеяния в лйкональном приближении с6Я~ИШ)(/ ".1)-"'""к =;.//) --(--'./ ")) '""" (3) В заключение укажем условия применимости этого выражения, сяелуюшие из приведенного выше его вывода.
Пренебрежение в показателе экспоненты формчяы (2) слагаемым евя Й д'Я/Й = Йе»Я « ! пред»»ол»гает, что угол рассеяния е «1/ййЯ. так как ЙЯ ял 1, то эта обпасп вюночает углы рассеяния Е < !/ЙЯ, аиосяшие домн»»ируюший ьклад и полное сечение. Лалее, в связи с соотношением (!) отмечалось, что его использовлние вносит оогрсшность 1/ЙЯ Однако вычисляемая (приближенно) величина входит» показатель экспоненты выражении (3). Поэтому условием его прнменммости лвляетсв мхложь по сравнению с единицей абсолютной (в не относительной!) погрешности показателя экспоненты, что приводит к следуюшему оГраничению. 1 ! Йе ЙЯ вЂ” (/Я вЂ” ~ 1, )2/( )! << Я (известному из других соображений, см. (1, 9 !31)). 1».„зл 194 Глава 13. Столкнобенпл часгпиц 13.51.
Показать, что полное сечение рассеяния быстрых частиц ВЕ 'дг 1, в потенциале У(г) радиуса )2 может быть вычислено по формуле се еь р(Е) = 4 Д1 — соз ~ — 2~ У(~/р~+ зз) 33~~ ~Р 3(Р (3) л е(Е) м 4х / ~3 — сох ! 4() 1 — — т Я Р йр = 2ЯН' ~1 — — з(б зш ( + соз б - 1), Ет)) ~ гг (3) 2гпУеЕ (=— эйт зе3 1 это условие трсбустсх ллх врчмсчнчсстн зйкснхльнсго прнвлхжснн» пэн вычксленхи диф4ипснпнельно~е ссченх» рассеяния з'!Тек, согласно (ХИ ! 14) имети (р ! м!У(ге)1 14гы -й)-3-4<~ -.т-(3У( е)!в !Вг ( да а'Л паз независимо от соотношения между энергией частиц и характерной величиной потенциала, т.е.
справедливость формулы не предполагает выполнения условия Е >> (У(г)! применимости приближения эйконалан3. Испольэовать полученный результат для вычисления сечения рассеяния частиц потенциальным барьером (нли ямой): У = Ув прн г < Е и У = В при г > Е. Решение. Приведенное в условии задачи выражение ллх сечения рассеянии следует нз оптической теоремы, если ляя алгплитуды рассеянии воспользоваться эйкональным приближением (ХИ3.17). Условием его применимости элх быстрых частиц является выполнение неравенства $У(г)! < Е; при этом оно снравеллияо для сув$ественной области углов рассеяния Р б 3/йм (си предыдущую задачу). В случае сильного потснниапа, дпп которого (у(г)! > е нри г е, рассеяние под углами р 1/вн уже не описывается эйконвльным выражением.
Однако для рассеяния вперед, т.е. нод углом В = О, амплитуда г (Е, р = О) = — ~ (2! + 3)(е ' ' - 3) 2!й (2) пп-прежнему сохраняет эйкоиальный вил (фактически зто справедливо дяя области малых уюлов рассеяния Р кь 1/ДЕ, пока не начинают сказыватьсн осниллянин полиномов Лежандра с ! б дд и можно положить Р, ю 3 в рахюжении амплитуды (Х$3!.9) по парцнальным волнам). Чтобы пояснить слеланное угвержпсни, зал!стим, что эйкональнап формула ллп амплитуды рассеянип получастсх прн использовании дпя фазовых сдвигое квазикласснческого выражения (хи! 14), см [3, 9131).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
