Galitskii-2 (1185112), страница 57
Текст из файла (страница 57)
13.63. Взаимодействие частицы со спинам з = 1/2 с внешним полем имев» вид (/ = (/е(т) + с/»(т) 1»г. Найти фазовые сдвиги бе: а) в борновском приближении, 6) в квазиклассическом приближении. Получить также выражение для амплитуды рассеяния в приближении эйконала, исходя из разложений (Х!!!.25) по парциальиым волнам. 206 Глава 12. СтолкноВения частиц Рлшекие. Рсшсиис уравнения Шредингера, отвсчающсс опрсдслсннылл значениям квадрата орбитального момсита !(1+ !), полного лгал~сита у = 1х 1/2 и сто проскплли /„инсат вид й»йт Флгл„х Ф»и,д„,(г), Б = —. 2т ' Здесь Ф»лг, — сини-угловая часть волновой функции (см.
5.24 и 5.25, впрочем в данной зшшчс сс явный вип несуществен). Так как У! фггг, = [/0+ !) — !(!+ !) — — фгл»„ 4) то замсчасм, что радиальнос уравнение Шрйаннгсра лля дл,г имеет точно такой жс внл, как и в случае бссспнновой частицы с орбитальным момснтом ! в потснциалс 1 1'» ('л (л) = //с(г) ~ ~1+ 2 х 2/ 'л( ) (всрхнис и нижние знаки относятся ссотвстствснно к значсниям у = 1 х 1/2). Поэтоыу замена в выражсниях (Х11!.12-Х111 14) потснииала (/(г) на У~ опрсдсллст фазовыс сдвиги б,* в разложениях (Х1П 25) ни вариантных функций амплитуды расссания по парциальным волнам в соответствующих приближениях. Так, обобщение выражсния (Х11!.14) имеет вид — — 1 )!ув(л/рт.Лат) жеро(,/Рт 4 з»)/ ба ! = Рй э ! —,„ /' Используя это соотношение, с помощью формул (Х1П.25), как и в случвс бссспи- новых частиц (1, 4131), можно получить выражения для инварнантных амплитуд А и В и приближении эйконала; прн этом полсзно иметь в виду, что д пп РР,'(соз Р) ш — — /э(1В) = 1/,(1Р)! ! > 1, ВВ Особенно наглядно выглядит а эйкональном поиближснии выражснис для амплитуды расссяния / как оператора (матрицы) в пространства спиновых состояний / = — ф1 — ахр (216 (Мл, р) ) ) е нл Н р, (!) если виссти оператор квазиклассичсского фазового сдвнш (сравнить с (ХП!.19)) х б(йл, р) = — — ~((/л(р,х)+ Ц(р,а) (рав) сг) бз.
(2) 13.64. Для столкновения частицы со спинам з ш 1/2 с бвсспиновой частицей найти связь между амплитудами рассеяния в спиральном представлении (см. 5.20) и икдариантными функциями А и В в (Х111.22). Решение. Пусть плоскость реакции есть плоскость (з, з), причем ось з направлена вдоль импульса ра частицы со спинам з = !/2 в с. ц и. до столкноввиия При жом имссг место рс = (О,О,Р), р = (рз!пВ,О,рсозр) и и =(0,1,0), гак что Уи =а„. Учитывая, что спиральные состояния. Р» — ло столкиовсния и Մ— после рассеяния, описываются спинорами (см.
5.20) / ! ) /0~ /соз(д/2)'5 / — злп(9/2) ~ Ри» = ( О / Рщг» = ! 1/ ' хит = ( зла(9/2) / ' х 'г» ( сщ(д/2)) ' С помощью соотношсння схр(лаУи) =сова+»Уиппа, гдс и = 1, тепеРь ис прсдставляст труда получить эйконапьныс амражснил лля амплитуд А и В а формуле (Х1П.22). 20В ю пава !3. Сгполкнодения частной Замечая, что вектор с компонентзмн зюпб,(-мер„соври о) раасн (рер,[/р р,, и выполняя сулнюиронание но 1, прихолим к выражению лыю векторной аыплитулы «!посеянной волны — коэффициенту перед е' 'ч/г, и асимптотике волновой функции при г, оэ а рассматриваемом канале реакшюи ф(л,) =/(Е,В)[рвр,], /(Е,В) =~ О,(ЕЯ( В), (3) злесь Ою(Е) = Пю(Е)тю/рзрю При этом дифференциальное сечение реакции, просуммированное по сциновым состохниям, ие/ий = (е /а ))Ф1'1 гав ее, — скорости относительного движения частиц е начзлыюм и коне юном состоянии.
Полное сечение реакции л ю = [7юГ рорю[ию! = [«)ю(Е)! чю ев Из условия уюююютваююости Я-матриююы пь текает ограничение на пзрциальные сечения реакции: лы ( (2! + !)Я/Лз, см [1, 4 142) Липли гула реакции с образованием частицы с з = 1 в конкретном спинозом состоянии, описываечоч вектором поляризации в. опрсдслпегся выраженнеы (4) (/[/[ю) = а'Ф = /(Е, б)а' [рер,[. Оююо очевидно зарвюые (н не требует проведенного выше исслсловаиия) нэ спображений о скыюпрнач характере амплитуды реакции, так как преаставлпет единственно возлюжную скзллрную комбинацию, которую можно образовать иэ векторов рс, р, и а (причем в силу припциаа суперпозицнн вектор полнрвзаиии должен зкоднть линейно). При этом слелует учесть. что в хшюяется аксиальным вектором (псевловектором), так как при инверсии /в = +з авилу положительной внутренней четности частицы с з = 1 Заметим, что согласно (4) частица с з = 1, образующаяся а рассматривзеиой реакции, оказывается линейно-полнризованной в ююапраюцюенююи, перпендикулярном плоскости реакиии (проекция спина на зто направление имеет оююрелевеююююое, равное нулю, значение) В сяучве реакции, котла частица соснином з = ! имеет отрицательную внутреннюю чстность, ее вектор поляризации «являетсн полирным векгоролю (так как при инверсии У« = -«).
Соответственно теперь иэ условия скзлярности амплитуды перехода следует, что се спинопвя сюруктура имеет виды' (/[/[ю) ш «'(/ (Е, В)рс + /ю(Е, Е)р,). (5) Пояьинис здесь леул иниарнантных амплитуд /ю ю связано с тела, чта при лап ион орбитальном люоменте 1 стал кньвющихся частиц орби«юлю ьююы й моче нт частил в коне юном состояшюи мажет приничзть лвв значении' ! = 1ж 1. 13.66. Бесспиновдя частица рассеивается на системе одинаковых, распределенных в пространстве центров со спинам з = 1/2. Взаимодействие с отдельным центром описывается выражением о' = Уюю(т) + Ую(т))юу. Исследовать в борновском приблигкеннн амплитуду н дифференциальное сечение рассеяния в случае неполяриэованных центров (Р« = 0). Сравнить с рассеянием на системе бесспиновых центров.
Решение В Оорнопскач нрнблнжсншю змнлнтуш рассеяния оннсываегси ныражсниеч (сравнить с 13 7 и 13 Х) /ш ~ (Аю(Е)+юВл(д)В«м) схр(-юва„); алесь а, — рююююнус-вектор и-го нснгрз; вешсственные функшш Аз(д) и В«(с) оцрелелхютеи фармулзмн нз 13 59 югири юпю». кзк и в нпелыююушсн с.юуюзс, суасстлснна, па «се осюцчнмс бгссннновмс ноннин учзсюлулшюис х Псл«инн, нчсют положительную внутреннюю юсюнасп, (то юнюсю хо южно бить полошпаи.- юлм чю ллнпылсннс. л противном случае змрзюхеннз (4) н (3) люмнны бьютю взаимно ззчснснью лру лрую юн) 209 9 б.
Аналитические сбойстйа и унитарность,. Дифференциальное сечение рассеянии, усреанснное по начальному спиновому состоянию рассеиваюгцих центров и просумчированное по нх конечным спиновыи состояниям, имеет вид (-., = аа — ) =А (О)!~е '""! .1.2Ав(О)В~(О)~ Р„ипп(Е(а,— аь))+ ш .1.
АгВт(т) «.Вез(т) ~ "(гг„и) (аьи) соэ (е(а„- аг)), (2) где черта Означает усреднение по нсходноь«у спиновоьгу состоянию центров. Если лгсжлу состояниями отдельных центров нет корреляции, то (о„г)(аьг) =(Р„и)(рьи), пшй, и в случае нсполяриэоввнных центров, Р„= О, из всек слагаемых в выражении (2) отличны от нуля лишь первое и третье. Первое из них опрелеляется не зависящей от спина частью (/э(г) вэаимодсйстпия и имеет такой же вид, как и в случае рассеяния на бесспиповых пентрах, сравнить с 1ЗЕ.
Слагаемое же ЕВьэ(д) опрсделлется спин-орбитальным взаимовсйствнем. Характернав его особенность — пропорциональность числу рассеивающих центров — указывает на пекогерентность рассеяния. Дело в том, по эго слагаемое отвечает расселг ию, лри котором происходит переворот» спина рассеивающего центра (так что можно указать, на каком именно центре произошло рассеяние; этаких условиях интерференция не возникает, сч. (13)). 13.67. Каково обобщение оптической теоремы на случай столкновения частиц с от- личными от нуля спинами? Решение Из условия унитарности Е-матрицы сведует оцтическан теорема й гт (р,п(/)р,о) = — а, (р,о), «к где р = йй — импульс относительного движения сталкивающихся частиц, а и характеризует их спиновое состояние, так гто в ясную часть равенства нходиг лгнимая час-ь амплитудм упругого рассеяния вперед, Р = О, без изменения спинояого состояния частиц, а в правую часть — полное сечение рассеяния (включая неупругие столкновения) для того ке спиноаого сост оя пил, 6 6.
Аналитические свойства и унитарность амплитуды рассеяния Решение Ачплитулв рассеяния на потенциале нулевого ралиуса лействия (см 1:1.20) /(Е) =- (1) -1/лв — 1/Д /2тЕ Как аналитическая функции комплексной переменной Е онв иьгеет точки ветвления Е = 0 и оо и полюс в точке Еь, лля которой Ез = -Дз/2пзвез. Провелн, как обычно, разрез влоль вещею венной полуоси, см. рис. 15, и выбирая фазу нв верхнем берегу разреза раиной зг = О, замечаем, ч го полюс Ев находится на физическом листе при пв > 0 и соответствует свялпшому состоинию, существующему при этом в потенциале нулевого радиуса (срамить с 2.30) 0 случае лв < 0 полюс находится на нсфизичсском листе и отвечает виртуальному уровню. 13.68.
Обсудить аналитические свойства и дисперсионное соотношение для амплитуды рассеяния на потенциале нулевого радиуса, см. 13.20. Рассмотреть случаи как существования, так и отсутствия связанного состояния в таком потенциала. Сравнить с (ХШ.27). 2!О Глава 13. Столкноаения частиц Рассмотрим взятый по контуру С нв рис. !5 интеграл / /(Е) АЬ" 2кб / (Ь' — Е) с (2) Используя теорему Коши и устремлия радиус окружности контура к бесконечности, Ев со.
в случае аэ > 0 получаем 1 /! /(Е)АЕ (3) гла,(Š— Е,) / Š— Е э Зпесь так:ке учтено, что величина скачка амплитуды на раздезе (при Ьг > О) совпалает с 2т(ш/(Ь") (на нижнем берегу разреза т/Е = -)чгЕ!) и что значение интеграла опрслелястся аюшдом двух полюсов: в точках Е и Ез. В случае аэ < 0 полюс Ьв находится уже нв исфизичсском листе. Ои не вносит вклада в значение иггтепэала (2) и теперь лисцерсионное сгютношснис имеет аналогичный (3) аид, но уже без полюсного слагаемого.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
