Galitskii-2 (1185112), страница 54
Текст из файла (страница 54)
В случае жс «сильного» потенциала для них следует использовать более пбпгес выражение (Х331.12) Однако это обстоптсльство не отражается на значении амплитуды рассеяния вперед (2). Лспо в том, что лля таких значений 1 в сумме (2), эля которых )У(ге)! > Е (ге — квазиклассическая точка поворота в выражении (Х313.12)), фвювый сдвиг обапдает следуюшими свойствалги: он велик, $4,! >> 1, и быстро изл~еняется с ростом 1, тек что 3бгм — б,! > 1, причем эти свойства следуют как из формулы (ХИ!.13), так и изт'1 (Х!И.14). Это приводит к тому, что в соответствукипей части сумл~ы (2) вклал слагаемых с схр(2!4г) пренебрежимо мал из-за взаимной компенсации, связанной с быстрыми осциллпниями.
Такая компенсация вкладоь соседних слэ~аеммх имеет место независимо пт того, какое выражение — правильное (ХИ1.!3) илн неправильное (ХИ!.14) — используется! для значения же 1, лля коюрык $У(ге)! < е, попрежнему справелзиво (хи! 14). таким образом, вл~г$лггтуда рассспнин вперед быстрьш частно опнсывветсв эйкональным выражением и при нарушении услопия $У(гэ)! ч, Е; отскзла, согласно оптической теореме, и следует утверждение залечи Отметим, что унитарные свойства амплитуды рассеяния в эйкональном приближении рассмптрены п 13.76 В случае потенциального бар~ера (или ямм) нахоанм 94. Рассеяное быстрых чпстоц.
Приближение эйконплп 195 (интеграт вычисляется подстановкой к .= ь/! - Р]/е] ) при значениях ( гк 1 иэ выражения (2) следует результат бариовака]о приближения ]( У«Е х ] ]х е(Е) ю лŠ— ! — ) Ск лЕ ДЕ дяя быстрых частиц (см. 13 1), а при ( » 1 имеем е ы 2лЕ] — известньп\ результат длв сечения рассеяния быстрых частиц непроницаемой сферой (см. 13.57). 1Зм52. Найти полное сечение рассеяния частиц в потенциале У(г) = и/л» с и > 2 и а > В прн энергии Е оо.
Сравнить с 13.2. Реи]ение. Воспользуемсв квазиквасснчсской формулой лля сечения рассеяния иэ предыдущей задачи. учитывая значение интеграла Г би чгла Г((» — 1)/2) У(~/р~ + х] ) Их =. 2ор "+' / ,/ (1+ и])"1] р" ' Г(»/2) (полстановкой 1+ и' = 1/! интеграл приводится к зйлерову интеграту — бета-функции Е(п,у) с э = 1/2 и у = (» — 1)/2), можно виоалннть интегрирование по переменной р и] и получить ]г(Е) = 2]гГ(Л) ив — ~ — ' лЛ Г]/ла Г((] — 1)/2) )" 2 ~ йа Г(»/2) скЕ'"', гдд Л = (»-3)/(»-1) и !г ю 2/(»- !) Как видно иэ формулы (!), убывание ссчсния рассеяния прн Е са является более мелленным, чем а уы]опиях дримснимости Варнавского приближения, когда е ы 1/Е. Это сала]но с тем, что при рассеянии быстрык частиц в пот«ниик«с У аг г " с» > 2 доминирующую роль играют мщые расстояния (малые прицельные параметры), на которых потенциал нельзя рассматривать как возмущение.
Соответственно формула (1) зрн значениях энергии Е сю справеллива для достаточно произвольного потенциала, имеющего рассматриваемый вид лишь на малых расстояниях. Заметим, что лля значения» 2 энергетическая зависимость сечения, определяемая формулой (1), ошивается с результатом, полученным в борновском приближении 13.53. Рассмотреть «потенциале вида У = р(Е)е "/д, зкспоненциально спадающий иа больших расстояниях н с константой связи"', возрастающей степенным образом с увеличением энергии: й(Е) ы ре(Е/Еа) . Показать справедливость следующего ограничения: ] п(Е) < аа )п ( — /! (,Ее/ иа возможный рост сечения рассеяния при Š— со. Решение, Для вычисления сечения рассевния восполюуемсх результатом !3.51.
Квюнклвссический фазовый сдвиг при значениях прииельного параметра р » Е равен б(р) = — /! ехр г - — у/р]+л] ] йэ ю —,/2лре — /1 е г д(Е) (1) 2йа / ( Е Ее -х (вля вычисления интеграла следует воспользоваться разложенном «/т'+ з] ы р ь х]/2р). ]вся«чала дсласн налет«новку э = р и выполняем ннтчгрнрошнке па ~астям, чта привалит к интегралу вива /.т нп (д) лв с э = (» — 1)/2. Выра]ив теперь синус чер«э экспантнты и сделав лааст«павки ь = яы/з', приходим к ннюц]ьчвм, «арса«лающим гамма-функцию ]и и Отметим, чта спин-арвнтвльиас юанчатсаствне, о = э 1/(г), эфбюкп]вна рэьчьт, а че, с уг«лнчсннем 8, сравнить с!3 59 Оасулллемаг ашаннчсннс иа паст ссченля в т«сень снльнмх в]анна«свет«ив эл«мскт«анмх частнп иэв«стна «вк «ью]ммя Фру«ггщю. Глава 13.
Еглолялобения частиц Обозначим через ра значение р, ллн ко«араго б(ра) = 1. В случае и > 1/2 и больагих энергий имеем ра » Е (при Е оо также н ра сю). Теперь заметим, что фазовый сленг летается резкой, быстро убыааюпгея функцией р. Поэтому при вычислении сечения по формула нз 13.51 вклааом области интегрирования р > /и можно пренебречь аообше (так как в не» б ш 0), а а области значений р < д, можно пренебречь вкладом, отвсчаюшим быстро осциллируюшсму слагаемому с соз 2б(р) (ввиду б Ъ |) и получить в результате о(Е) м 2яра(Е). Отсюда, используя выражение 1!), находим ,1 и(Е) ш иа |п — ~1, где иа = 2я~п — -) Я, (г) т.Еаг ' |, 2) в случае л > !/2 (при приближенном вычислении ра(Е) из соотношения |иб(ра) = О пренебрежено слагаемым |и (ра/Н) по сравнению с ра/Е, заметим, что при значениях п < !/2 сечение рассеянии с ростом Е убывает).
13.54. В приближении зйконала найти амплитуду и дифференциальное сечение рассеяния частиц в кулоновском потенциале (/ = гг/и в противоположном борцовскому предельном случае (а(/Да Ъ |, сравнить с 13.1. Замечание При вычислении амплитудь; считать кузюиоггския потенциал «обрезанным» на некогором большом, но конечном расстоянии К (т.с. положить У = 0 ллн г > Е) Решение. Согласно (ХП1.19) имеем ллн значения р с Я е / Дз а 2Е б(р)=- — ш- — Ь— 2ла /,/р~.|. зг Лв р и ллн амплитуды рассснния (Х|11.19) при Е И 0 получаем выражение (Е, )= —" / Ьшлю М 2»гт,|,| тле 2о р Я = — 1и — — ер соз Р. (2) бв 2Н В случае |е| л Ьа фаза экспоненты велика и быстро изменяется с изменением р и Р. В такой ситуации значение интеграла оярелеляется в основном вкладом областей интегрирования а окрестное~их эксгрсмаяьных точек фазы как функции переменных р, Р.
из условия зксгремума находивг 2а = Дерев соз Р„дра мп Ра = О; отсюла ра = 2!о|/две и Ра = 0 а случае о > О или Р = я лля а < 0 (при этом |е|/ра « дяв, т.е 1|г'1 « Е, что оправдывает использование приближенна эяконала). Разлагав б(р,р) В ОКРЕСтиаети ЭКСтРЕМааЬНОЯ тОЧКН Ра, Ра С КааДРатнЧНОЯ тОЧНОСтЬЮ И ИСПОЛЬЗУН ЗиаЧСННС иггтсгршга Пуассона, получас»«амплитуду рассеяния 2«п)е| /(Е Ф) т | | схр М(ра уа)). (3) При этолг дифференциальное сечение рассеяния что, как и н условинх применимости варнавского приближения, сонпааает с формулой Резерфорда (лля углон рассеяния е « 1). Заметим н заключение, что необходнность обрезания потенциала и отсутствие предела прн Е со для амплнтупы рассеяния (но ие ллн лиффсренцнального сечения) связано 9 4.
Рассеяние бысглрых часгпиц. //Риблиэсение заковала 197 13.55. Выразить е приближении эйконала амплитуду рассеяния частиц в поле двух силовых центров, находящихся на расстоянии а друг от друга, т.е. в потенциале и(г) = ио((г-а/2()+ ио((г+а/2(), через амплитуду /е рассеяния на одном центре Ув(г). Какова связь полного сечения рассеяния с одноцентровым ие? Применить полученный результат к вычислению полного сечения рассеянна на слабо связанной системе из двух центров (подобной дейтрону), когда ее характерный размер много больше радиуса взаимодействия налетающей частицы с отдельным центром.
Решение. В прибли:кение эйконала амплитуда рассеяния описывается выражением тй //( /(гг,б ) = — О 1 — ехр ! — — /г 1/(р,х)дз ~ е 'г'4 4 р. 2я,о ( ( Л'а / Отсюда с помощью преобразования Фурье получаем ехр ( — — /г и(р, з) Их ! = 1 . — О /(Л, м,)с * Ы и,. Подставляя теперь в формулу (!) потенциал ифф = и'(' г) ' и'(г+ г) и переходя в получашшемся выражении к однодентровым амплитудам расссвчия /, г на потенциалах и, т(г) согласно соотношению (2), пояучасм амплитуду рассеяния на двух центрвк в зйкоихльном приближении Гг /(й, Еь) = / (д,я„) схр (--еха, 3 ш /т(Л,Е,) ехр 1 — Взаь) Вх '! ! + — Г /, ( Л, мь 1- — ) /т (Л, -м„+ — ) схр (-Гмьа, ) 4 мь, (3) (2) здесь аы мь — составлиюшие векторов, перпендикулярныс напраплснию импульсе падающих ЧаСтИЦ Пег таК, а = Евах+а .
м1 Здесь отношение ганне-фуикний оерсвслхетсл лишь ик 4мзани, которые лико изйпч сел» всспельзоязтьс» известными егинптогикзиилче 1пГ(г), с медленным убыванием кулоновского потенциала, гвк что на больших рвсстсяниях волновал функцил не переходиг в в ф. своболной частицы. Возникавшее при этом иш.ажснис, равное а 13(г) = — — 1п 2дг, Ле Фазы рааиальной функции, см (1, 9 Зб), при обрезании потенциала на расстоянии г =- Я переносится в амплитуду рассеяния в виде множители ехр (2нб(Д)) Соответственно, исключви его из выражении (3), получаем амплитуду рассевния з,д1д! ггпа, ь ! 2а с 2а (а( 2а гг а /(л, у) = /е ' = — — с'г! 'т, р(й, д) = — — 1п — + — 1п — — — ч- — —, (4) Лгрг ' ' Ли 2Д Ле Ле Ле 2 (а!' уже не зависящую от радиуса обрезания и совпадающую, квк и слелоеало ожидать, с амплитудой кулаковского рассеяниям! а Г(1+ га/Ли) )' 2ю Р 1 ехр — — 1и зш— 2гпет з~п'(д/2) Г(! — га/Ле) ( Ле 2 ) ' сы.
(1, 9135), в квазиклассическом случае (а(/Лв 2 ! (причем ллв всех углов зассевния, хотя формально зйкоиальнас приближение применимо дея углов д ш ле/(а)). Глава 13. Столкнобенил частиц 598 е„„= е, + е, + — Вс у гг(гх х)/~(», ха)/з(», -хх) Ю хзй т (5) здесь в, з — сечения рассеяния иа спободных частицах мишени (подчеркнем, что полное сечение рассенния вклЮчаст и процессы с развалом исходной составной системы) Теперь заметим, что специфика рассеяния на слабосвязанной системс определяется тем обстоятельством, что убывание се форифактора происхцант при значениях импульса ггт --'-("— "-) ' где Я вЂ” размер системы, см и р — энергия санзи и прииеденнан масса частиц миэ!ени, причем Я сушсственно превосходит радиус взаимодействия Так как характсрныс значения 4 при рассеянии порядка обратного радиуса взаимодействия, т.е. велики по сравнению с (б), то в выражении (5) амплитуды /из можно вынести из-под интеграла в точке х, = 0 и после этого выполнить следующее преобразование: Р(гх ) цзх, = 3(зЧшр (-Огзр))фв(р х)(т ызр пз ыгхх = х = (2я) ( )Фе(0 з)(т йх = 2я ( — )Фе(г))зсягздг ц гя~ — ) / т тН/' н е Здесь црслположсно, что орбитальный момент составноя системы равен нулю, и поэтому э.
ф. Фв(г) гншяеши сфернчески-симметричной; (Я ') — срстгнее значение обратного квадрата расстояния между частицами мишени. Таким образом, получаем 4я / 1 е,„= е, ч- е, + тз, Д = —, ( —,) йе (/ (»,О)/ (» О)). (7) В частности, если /ьт(»,0) — чисто мнимые величины, то, используя оптическую теорему лля одноцснтроиых амплитуд, находим (б) 1 /1Х = — "г~ 4я 'ХЯз/ (й) Заметим, что такой случай мнимых амплитуд можно рассматривать (моделировать) как рассеяние на непроницасммх (или черных ) сферах, сравнить с 13.57 и 13.90 При этом несколько меггьшее (так как гэ < 0), чем суммарное е, + ет, сечение рассеянии на двух центрах 2(ггн приложения формулы (3) к вычислению алгплитуды упругого рассеянии частицы на связанной системс из двух центров (т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
