Galitskii-2 (1185112), страница 56
Текст из файла (страница 56)
14 чтососпэдастс результатами классической механики. В заключение при ьсдем рис 14, иллюстрирующий качсстмнную зависимость лнф4юрсннналыюго сечении рассеяния Ваглб)2 ат угла В при рассеянии быстрьш гастнп, йд Ъ 1 (более точно, при (дЛ) г' 3 1), на нспронипаелюй сфере согласно результатам длиной и прслылушей зюшч 22!Онз относнтсч фзхтн2сскн к оггвлкщптедьнану помиаиазу; а нея нраьущсн фаювмн чноннгсаь с ' Г, возникающая прн перстам от сунл2нрозаннз но 1 к ннгс2рнрозанню оо (;что, конечно, нс отрз;кзсгсь нл всзлмннс лиофсраннныьнаго ссчснчн рзссснннь) Лл 4 О 1  — с1 ВЛ оз„= / [Уь„ьл! ВП 2яЛ [ ВВ = яЛ, , у 2,2(дЛВ) В а и — 2, (а) ба = —.
1 2 1 а 2 а Отсюда следует, что экстремум имсстсч лишь у показателя первой экспоненты н (127,2) причем гши экстремальной тачки 12 имеем 1 В 12' 12 В )а+ — =ЛЛСОЛ-, бь = — [)а+-(б — ЛЛЫΠ—. 2 Окончательное выражение лля Лл опрадслястсн не- посредственно формулойлл' (!27 б). принимаю2псй нид 2О2 Глава 13. Столкнобенил часглоц д 5. Рассеяние частиц со сонном 13.59. Оператор взаимодействия частицы со олином з = 1/2 с внешним полем имеет вид'е Решение.
Формулы (Х111.1-Х111.5) очевидныч образом обобшаютсл на случай рассеяния частицы с отличным от нуля олином. Подстановка оператора взаимодействия 0 (вместо потенциала У) и невозмушенной волновой функции е„, = сиых„где х, — спиновая функция частном до столкновения, в (Х111.5) определяет спииорную амплитуду рассеянной волны Р = /Х, в борновском приближении.
Отсюда /(й, йе) = — — 1 с ' ' [Уе(г) + У (г) 1 У[ с' ' бгг = 2вйт „/ пэ (- гд = — —, ~Уе(9) — !!йэй)д — — У (9) ~ (!) 2яйэ д дб где Уь,(9) = / 1/вл (э') ехр (-эег) йу . Согласно (1) и (ХН !.23) полное сечение рассеянии в барновском приближении описывается выражением (сравнить с 134) эээ . /[!ты!' ° ('-'-)'— ""' [ ' э (2) (подчеркнем, что е общем случае слагаемое в дифференциальном сечении гк иРе, описываюнюе азимутальную асимметрию в рассеянии, см (Х11,23), при вычислении полного сечения рвсссниин ив зевает, сечение, просуммированнос ио проскниим спина рассеянных частиц, от вектора поляризации Ро в начаяьном состоинии нс зависит).
Отсюда для быстрых частиц нояучаем Се е(Е) = —, +С„ /д (3) где Сэ = †, ~[Ус(9)[' 49', С, = — э Я ' ! 49'. о е Оставленные здесь слагаемые отвечают различным взэиьгодейстеням, и при бы~ьшой, но копечной энергии онн могут быть одного порядка. Фактически из релятивистского характера и! Илассический аналог енин-орбитыьного вээннодслствик У(г)РТ рассмотрен в !7 ба если эил честном со спинок э = 1/2 записать мвгннтнмй номент е виде рэ = сд/2щс ж л', гас с, нэ— терял и масса чаетннм, а р — ее ээеншшни магнитки момент. то правильнее кюнтоэомегвничгское Обсбшенне КмаССИ ГССКОГО РСЭУЛЬтлтв НЭ !7 67 ПОЛУЧаетен ПРИ НОДСтЭНОВКС ЕЧЕСте М ОПСРЭтОРЭ ВИЭЭ Лен с ле = ел/лыс + и', см, 1542, а также 129!.
Читателю нриыагэстск самостоятельно обсудить юпмж о применимости борковского приближения 57! ,ык сэнн-орбктэльного вэвимслелстэн» и вопрос об ограничении иэ закон убыыиик гг~(г) на болывих рэссгонннкэ, обсспс шээющсм конечность нотного ссчеииэ рэсссэинк Полчсркиси лишь, чю нсэвэкснчосгь от энергии нрк д го сеченая рассеяния прн щком ээаимсдсаетвии оэрэжвсг его эффективный р мт с увеличением Е, так квк гэзе ал сг тГБ. У = Уо(г) + Уг(г)д 1. Рассмотреть рассеяние в борковском приближении.
Какова энергетическая зависимость полного сечения рассеяния для быстрых частиц? Сравнить с рассеянием бесспиновых частиц. Найти зависящую от спина часть амплитуды рассеяния электрона в кулоновском поле ядра, Уо — — — 2ез/т, учитывая, что спин-орбитальное взаимодействие для него описывается выражением У, = (йз/4глзсзг)дУ!/дг. 2ВЗ б $. Рассеяное часпгиц со слоном 2тует ( Лттлт / = — ~ ! — л — з~п р ° (ио) у, Лзрз 4гплст (4) где и = (йлй]/[[Вай][, зависяшая от спина часть амплитуды рассеяния имеет малость - рез/ст. Сделаем замечание о вычислении зависяшей от спина части амплитуды рассеннил в случае спин-орбитального взаимодействия с 27,(г) м з а Уе(г).
Имея в виду длл нее выражение (!), выполним следуюшие преобразовании: е 'му/Дене гзтг = / У, [где]е 'и ар = -7 / е 'т' [Кар(те(г)] йтг = -ту[!лье](те(9). тзоэтому для рассиатриваемою спин-орбитального пзаимачействия амплитуда рассеяния в борноаском приближении описывается выражением /= — —,„, Га(9)(~ -ту[дай]-]. (5) Отсюда, язспользовавшись выражением (Ге — — — 4яЯе /рт для фурье-компоненты кулонопсколо потенпнала и значением параметра "7 = Лл/4гптс', приходим к (4). 13.60. Найти в борновском приближении амплитуду н дифференциальное сечение рассеяния быстрых нейтронов кулоновским полем. Решение.
Сначала установим вид взаимодействия движушеюся магнитного диполи с электрическим полем в классической электродинамике В исходной системе координат имеется только электрическое поле б = -ттр с р = Яе/г Чтобы получить выражение, описывающее взаимодействие с ним нейтрона, двнжушегося со скоростью т = р/М, перейдем в систему координат, свлзанную с нейтроном. В этой системе пояаялется магнитное поле Я - [ят]/с, см. [27[, и энергия взаимопействия оказывается равной (р — магнитный момент нейтрона) ! Лр т/ = -Рл = — — РЬ, ь = [гр[. (г) Мог бг Квантоеомеханическое обобщение этой формулы, получающееся путем валлен; Р нл оператор спинового магнитного моменталтл р = раа, где ра = /ле л/2мс (для нейтрона экспериментальное значение /т = — Ь91), и ь на /л ь определяет оперпюр взаимодействия 7 рте - Рл г дг ' 2Млс» Используя выражения длл амплитуды рассеиния нри спин-орбитальном ж аимодействии в борновском приближении, полученные в предыдушсй задаче, находим ггстМ7, /тгел р / = л — р [Вей] = л — сгд — (у и) (3) Лтбт 2Мсл 2 (и = [йлв]/[[йлй][ — орт нормали к плоскости рассеяния).
2(ифференпиальное сечение рассеяния, просуммиропанное по ониковым состопниялл рассеянноЮ нейтрона, да... ['/уг 'т,в т т — ш.:/./..ш( — ) "-; (4) ай ' Л,2Мст/ 2 здесь Р = /у, — спииорная амплитуда рассеянной полны. Для рассеяния люл чалыми углами, Р -л О, имеем г/п/ай сс д ', так лто полное сечение рассеяния оказывается бесконечным (расходимость сеченил устраняется при учете экранировки заряда ядра). (2) ЗПСм сноску к условию залами 17.59. спин-орбитального взаимодействия для электрона следует, что именно второе, не убыпаюшее с ростом Энергии слашемое и нерелят ивистском случае оказывается менее существенным. 2(ля рассеяния электрона в кулоноаском псле получаем Глава 13, Столкнобения частиц 204 13.61.
Какие ограничения накладывает условие эрмнтовости гамильтониана иа взаимодействие У = Уа(г) ф У,(г)1 В частицы со спиною з = 1/2 с внешним полем? Какова в первом борновском приближении поляризация рассеянных частиц, если первоначально они были не поляризованы? Показать также, что если до столкновения частицы были поляризованы, то в результате расседння происходит лишь поворот вектора поляризации. Решение. Врмитовость оператора вэаилюдействин У = Уе(г) + гу,(г)ВТ предполаюет всшестиенность функций Уэ,(г). При этом вешественны и их фурье-компоненты Ув ~(9), а соответственно н инвариантнме функции А н В а выражении длв амплитуды рассеяния / = А(й, д) + тВ(я, Р)иВ (!) в борновсколг приближении, см формулы (1) и (5) иэ 13.59. Отсюда согласно обшей формула (ХН1.24) длн полнриэацни расссяинмх частиц следует, что вектор псллризации Р = О, если первоначально часгицы были пенолчрнэованы, Рэ = О. Прн рассеянии полнризоввиных частиц вектор поляризации рассеянных частиц раасн тэ1, см.
[1, 1140]: ([А) — )В) ) Ре + 2)В['и (иРь) — 2 йе АВ' [ирь] + 2!а АВ'и )АР+)ВК+21ш АВ'ире Так как и борповском приближении А и  — вешественнме функции. то Рв = — [(А - В ) Рс + 2В и (и Ре) — 2АВ [и Рв] ) А!+В! и. как легко убедиться, Рь = Рв. Поаорот вектора поляризации происходит вокруг нормали к плоскости рвссевнин, при этом иРа = иРь 13.62. Найти поляризацию, воэннкаюгцую при рассеянии быстрых (так что Вез/йе хс 1) неполяризованных электронов в кулоновском поле ядра.
Какова поляризация при рассеянии позитронов? Указание. Спин-орбитальное взаимодействие указано в 13.59. При вычислении амплитуды второго приближении теории возмушсиий рассмотреть сначала экранированный купаловский потенциал Уе(г) = -(Яе~/г) е 'Гл, н в окончательном результате перейти к пределу Я со (сравнить с 13 54). Решение. В нервом порплкс по взаимодействию й! ВУ (г) - Ве! (? =У.(.)+ — "ВТ, л У,(.) = — — ' 4пттстг дг амплитуда рассеяния нмсст вид ?юге! г йг /ш(в,~ ) =, ~! — — т [квй] й)~ю Ап'+ В!'!иВ йт[(к - йь)! + Д-э] '( 4 'с (см.
форчулм (4) и (5) из 13 59) функции А!Ч и Виэ — вешсственнме, н поэтому в первол! порллкс теории возмушений полнрижцин при рассеянии не возникает, см формулу (ХП1.24) Обшсе выражение длл вмллитуаы второю приближения цолучаетсв, как и в случае расссннни бссспнновых частиц (см. ! 3.10;. дгм / '(!г ~) = — „, 1/ '(~м)/и'(~,в ),, (2) При вычислении А! ! — не завнсншей от спина части амллнтуды / гг, в амплитудах первого приближении г/и в выражении (2) слслует учитывать только слагаемые А!'! (вклвд в А!'1 и! Нвчанннль что по сравнению с (1, 9140) в вмражсЄнн (1) перса ииьврнвнтисй функцией Р евсхсн множитель н 2В5 б 5. Рассеяние частиц со саином от »синцовых» слашемых в обеик амплитудах / '1 иыеет дополнительную малость (е/с) ) при этол» Ао» совладаете амплитудой рассеяния второго приближения на потенцию»е у/з(г).
Для потенциала Юкаеы она была рассчитана в 13.12 С пол»ошью формулы ('») этой задачи полу»асм (с заменой в ней и на -Яе ) 1шд = !пуд, В» -. !»1 4(бс~ш) 1 й»!» ' 1» /зая зависящей от спина части амплитуды /!»1 согласно (2) и (1) находим р, ! /Ве»~' (Ен) АП„ Эи1шВ! = — — ЙВ 4»г»,йс/ / [(в,— м)»+Я-»)((к-и)»+Я-»] ()и) = й = !ге, о вычислении ннимой части инте»Рала см., напРимсР, 13.11). В»одшций сюда интеграл запишем в виве и АП„ ,1 = С»(к+ ее) + С»Ч. (5) После умножении на (К+аз) получаем (4) 4й»+2В» ~~.--~ "-п~ --) "=~1 Интеграяы от первых лвух слагаемых здесь вычисляются элементарно, а интеггел от третьего слагаемого непосредственно выражается через мнимую час»ь амп»цпуды р»сосания /! 1 на потенциале Юкавы, см 13.12; э результате получаем при йЯ Ъ 1 (напомним, что (и) = й) 4 (Вс + В) С» — — 2х ~ — — »п 2ЕВ + — ! и од1 . д» у» Замечая, что слагаемое с»я в (5) не вносит вклада в значение интеграла (4) и что (вз ! в)» = ея'соз (Р/2), находим 1 ~ге») ' зж и ~1п 2ЛВ 4д !и уд1 1ш В 4 йс соз»(В/2) Л у» (6) Теперь, используя соптноиюнии (1), (3), (6), по формуле (Х»11.24) получаем поляризацию электрона при рассеянии в кулоновском поле ядра: Вш —,,(1шА»  — А 1гпВ! )и=2 — — 1п(цп — )и; 2 !» 1,1,, Яе' е з»п '(Е/2) / У'» (А!'»)' йс с соз(д/2) 2, [век) и=— !(в в) ! (подчеркнем, что радиус обрезания потенциала а окончательный результат не входит) При рассеянии позигроиоя вектор поляризации имеет противоположное иапраачеиие (амплиту»»а /!'! измеииет знак, а /! ! остается неизменной).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
