Galitskii-2 (1185112), страница 60
Текст из файла (страница 60)
В дальнейшем мы будем использо~ать для плоских волн Фр — — е'"Г" относительного движения в каждом из двухчастичных каналов нормировку на единичную плотность вероятности. При этом дифферс»шпальное сечение процесса связано с элементом Т-мтрнцы»гб(Т(а) соотношением †" = " " „ '-' (В(т(.)', ЕП (2в)»й" р где р,, и р, » — иипульсы относительного движения и приведенные массы для сталкиэаюшихся (разлетающихся) частиц в канъ»ах а, РВ НП вЂ” элемент телесного угла рассеннии в с.
ц и Обычно используемая аь»плитуда упругого Рассеяния (р» = р», р» = р») связана с Т-матрицей соотношением 218 Глава 13. Столккобекия частиц (ннтсгргш сводится к формфактору оснольога состоянии атома надорода) и Ы~(р~ + м) 4~к = (Зх)~!~ее(О) = э/8 г. В результате получаем амнлитулу рассматриваемого процесса 32( 1 1 /и, (Рг, Р ) = - — ( —- рэ ( (4+ йэ)з 2(! + р!)з ) ' Е=Р! Рь (5) Отсюда аилно, что доминирующую роль в рассеянии играет область значений 4 б 1, т.с. углов рассел!гни Р ц 1/р. При этом второе слагаемое в выражении (5) пренебрежимо мало, так что дифференциальное, йа/ЮП = !/(, н полное сечения рассеянии оказываются равными йг 4 1 1бх !блазе РС вЂ”; и= — = (4) 4П рч(1 1 рздг/4)4 ' р' Зра З(дав)э (эаиении ггй на 2хдпр, можно интегрировать по 0 е пределах от О до са вниду быстрой сходнлюсгн игпхграла).
Сделаем несколько заключительных замечаний 1) Сечение рассеяния элскграна на атоме водорода с переворотом спинах, прелстагинюшсго фактически неулругий процесс, при больших энсрпгях много меньше сечения упругого рассеянии «,„ = 7х/Зр, см. 13.4. 2) Пои пление дополнительной малости 1/(Рлэ)! е амплитуде (и 1/(раэ)' в сечении) рассматриеаеиого процесаа но сравнению са случаем упругого рассеянии (без переворота спина) имеет простое объяснение Дсйстяительгго, чтобы поменяться местами, электроны должнм рэссентьая друг на друге пол углом м 160' в с.
ц и Зависимость амплитуды реэерфордоэского рассеяния от перелангюга импульса, / У(е) 1/(даэ)э, как рэз и привалит к такай малости! при этом 4 м р (в случае упругого раасеяния уже йаэ 1, значение у„,„!/ав при этом определяется экраннровкой кулоиоэскога потенциала а атоме иа расстояниях ав), 3) Существенным являетс» то обстоятельство, что е рассматриваемом процессе бояьшос изменение импульса имеют именно две частицы (два электрона) и оно может быть обеспечено уже при нх однократном взаимодействии. В других реакнинх с перераспределением частиц вила а+(Ьс) Ь+(ас) в случае пт, ~ пть уже р, Ф рь н большое иэменсни» импульса частиц а и Ь требует также болынай передачи импульса н частице с. Это привалит к появлению дополнительной малости амплитуды процесса«т! У(й)/еэ Такая ситуация возникает и е рассматриваемом процессе (1) при не слишком палых углах расссннни, когда Е Ъ 1, как зто видно нз формулы (5).
Такая дополнительная малость связана с тем, что амплитуда процесса нключает и. ф. атома нолароаа (составная системы в об шеи случае) ээ(р), имеющую при больших импульсах (р 4 >> 1) асиыптатику вида Р(р) У(р)/р 1/р' (дая э-состояний, сравнить с 4 17 н 4.1В) Отьгечениа» малость имеет такой же порядок ясличины, как н н членах этакого приближения по нзаимодсйствию в Т-операторе. В этом случае (когда велико изменение импульса нсех частиц) расчеты амплитуды и сечения пронссаа на основе первого приближении теории возмущений даже при больших энергиях носят лишь качественный характер. Паслелояятельныя расчет асичптатнкн требует учета в Т-операторе членов далее высокого парилка по взаимодействию (лля процессов с баяьшим игменсниеы импульса всех частиц я трехчастичной системе, как, например, н условиях задачи 13.79, следует учитывать члены пторого пориака по взаимодействию р «) 13,79.
Оценить сечение перезарядки прн столкновении быстрого поэитрона с атомом водорода, находящимся в основном состоянии (т. е. найти сечение образования лоэитрония — водородоподобной системы из электрона н познтрона). Воспользоваться приближением Оппенгеймера — бринкмано — Кромерсп (ОБК) для процессов перезарядки, основанным на пренебрежении взаимодействием ядер друг с другом (в данном случае — познтрона с протоном); сравнить с предыдущей задачей, ь 1Срэенитьс г3.79 9 У. Росселние состаВнык чистиц. Неупругие столкноВемил 219 Решение.
Приближение Оппенгеймера — Бринкмапа — Крамерса лля процесса перезарядки Ел Е (Е.р) (Ела ) + Р аСНОШтип НВ ИСПОЛЬЗОваинн ДЛЯ Т-ОПЕРатОРа ИЫРтжсинаеэ| Т ш У. ш Г/г м =- |г, — гт) гае г, т — радиусы-векторы позитрона (электрона). Обозначим через р, импульс налешюшего позитрона (в системе покоя атома водорода, гп„= со), а рз — импульс эбразуюшегося поэитрония (его масса т(е е ) = 2), Из закона сохранения энергии следует, что рт = /2 р< (Е = р;/2 = рзз/4, энергией связи в атоме водорода и в позптронин людно пренебречь, так как рг,з Ъ |). Волновьш функции начального (канал а) и конечного (канал 73) состояний имеют вид 1 г,-гз ф, = .'"" три(гз), ел — — ехр 4 — рз(г, + г ) ) — 7).
)'Л "(,2/ Здесь гры„(г) — в.ф. атома нодорола (с массой т = П), коэффициент 1/ /8 и чножигсль 1/2 в аргументе в. ф. соответствует тому, что радиус Бора для пазитрония в 2 раза больше, чем у атома водорода. Амплитуда процесса н ОБК-приближении описывается выражением (сделзна подстано»- ка р = (г~ — гз)/2) Г! Тоак(|з н|т) ы(73(О °,-(а) ы-л/2 / !Ри(г)енз' мндУ вЂ” грм (Р)е кн н|г Мзр. (1) Р Первый интеграл здесь равен (2к)'Гзрн(8) с й = р, — рт, а второй, с учетом у. Ш., есть (2в) ~- ф — Е ) Р,'„л (йл), тле в1 = 2рл — рт.
зю/| Так как 8, ф Ъ |, то воспользовавшись для волновых функций Р(р) в кулоновском потенциале Г/ = — 1/г (при этом бг(р) = — 1/2л'р') их асимнтотикой при р со соглас ю 4.18: л/8 Г2 2(П) уч (р) — —, Рм (р) — л)7 — ( — 2!)~Лы(0)ул (а) зрч 77 и РМЛ (2) (здесь учтено соотношение для координатньш кулоновских волновых функциИ 2+ (п Е|]' ф г (г) 17 (п)г~Л ~(г) 32 ~(0) см. (|, 936)), получаелл |бт/2лг' (чг2л)'Л„г(0) 1 | 3; (пе) Тоьх(|з л п|т) (3 — 2 л/2 соэ Р) л+'7' ре+' здесь пе = (-рз + 2р~)/(|рг - 2р~!), а также учтено, что 8) = 28! = 2(3 — 2лг2 созе)рт, где Р— угол между вектоРами рз и ри Как видно, в ОБК-приближении углоное распределение образуюшегося нозитрония бт! сЬ/ДП = )Т(з/иг2 л», не зависит от величины импульса пэлетаюшего позитрона, резко анизотропно (значения 3-2т/2 созе для углов Р = 0 и к раэяичаются в ш 35 рэз), я полариэационное состонние образуюшегося познгроння хврактеризуетсн тем, по проекния его орбитального момента на направление вектора пз (лежашего в плоскости реакции) имеет опредеяенное, л"1 Те же Результаты сыауют и нз выбора Т м ут м йи; см.
плеаылушую ылачу, шс слелан ряа ебшнх замечаний о процессах с псрераспрелслсиисч ~летии. Отчетны, что лля процессов псэеларялки |МЗУЛЬШ~ КаК ЮЧиаГЕ ЕМЧниженн» амипитУДЫ Е НЕРЬЕМ ПОРЯЛКС ЫЕРНН ИЗЗНГШСНИЯ СОПНСИО Т = Уыл, шк и в ОБК-приближении носят лишь качсствсннмй харакыр (послеаовательиый Рас ап асиннтотнки ам ил тулы требует учета ч ынае второго приближения) лз! Ом. 13 78 о нормировке амплнтул, сданной заааче м~ = 1, Рз = 2, Рз м йури Глава !3.
Столкнобения частиц равное нулю, т, = О, значение, тек как !ы(9 = О) = т/(2! .!. !)гея б„т. Лля полною сс- гсгггги перезарядки, просул~лгироьзггггшо по знвчсниилг нрсскнии орбитзлыгого люлгента т обрхзующсгося позитрония, получаем г 2'(2! + !)(Р)гдг,(0) ! поьк(!з п!) = б4:тпгв (! Ч. 5)(З вЂ” 2т/2)"и У'т'т'' (4) щс У = ржав/Ь вЂ” относитсяыгая скорость стздкинаюшихсн позитрона и атома яолородя в атомных слииипзх, Отсгода, в частности, сечение перезарядки в пз-состояния позитрония можно записать и виде ггаз 72 89тг 'т пози(!з — пз) = — ~ — ' и У (5) 2гтуз кпз Г241'т поп!(!з пз) = ггпв т — бт( — ' 5пзУ'т и' (ч У (б) (2 — зэрпл частиньг).
Иэ срзвнения (5) и (6) видно, что сечение перезарядки при столк- ногмнии гюзитрона с атомом водорода в т 1 раз больше, чем при столкновении протона (при одинаковых скоростях). 13.80. Выразить в борноеском приближении амплитуду процесса А, + В, -г Ау + Ву столкновения быстрых составных частиц А и В, взаимодействующих электростатиче- ским образом, через электрические формфакторьгм! еЕ~100(й) = ('Рлгпзу ! ~ ев охи ( — тбгз) ! бгл4В! ) а для соответствующих перекодов з Обсудить поведение формфактора при й 0 в зависимости от квантовых чисел начального и конечного состояний. Рассчитать для атома водорода формфакторы перекодов !з (з, !з 2з, !з 2рт; обратить внимание на их поведение при 4 оо.
Найти сечения столкновений для следующнк процессов: Ц Н(!з) + Н(!з) — Н(!з) + Н(!4) — упругое рассеяние атомов водорода друг другом; 2) столкновения заряженной бесструктурной частицы (электрона, мюона, протона и т.д., но не ионаВ с атомом водорода, находящимся в основном состоянии, сопровождающегося возбуждением а) 2зц б) 2р-состояний атома.
Решение. Обозначим через йхгв! рздиусы-векторы центров масс частиц А(В), т„гт! и р,,— из массы н илгпульсы относительного движении до (!) и после (2) столкновения. Волновмс та! Ппзчсвкнеи. что гт яеззстсх рзднусоч-вскторьн я-а зззяженнов чзстиим з состзяиоя снстсис 4(0) относительно пентрз масс зтья системы Облмимя зн и' деянйшгхшд, см (!), 5 !39. соответствует случае, котле зточ ло и пьсят столкновения находите» в ссиовноч состоянии, прн этом Рщ(ч) = 2 — Р„(е). Обратим нниманис нз резкую энергетическую зависимость сечения перезарядки, и м р " " (сравнить с результатом прсдылущсд звазчи и со случаем упругого расссн них, см. !5.4). Огга объясняется теи, что все частицы, участвующие в процессе, имеют болыпос иэмснснис импульса В синан с этим отлгетим, что поаобную энергетическую занисимость имеют н сечения перезарядки при столкновении быстрых твжелых т Ул т„гастиц с атолюм водорода.
Пргг пт ~ т, сечение перезарядки нс зависит от масси налетающей частним (например, прогона, июона и т.д.). В частности, и том случае сечение перезарядки и пз-состояггис $ 7. Рассеяние состобных частиц. Неулругие столкнобения 221 функции начыгьного и конечного состонний системы имеют вид ьг Ф, = ехр ( - р,й) Фл,(х'„)Фп,(ге), й = й — йа, (Л Фг = схр ( — Рзй( Флг(х,)фвг(г(г), йч = Рг - Ри Амплитуда рассматриваемого процесса а барнавсколг приближении описывается выражением (сравнить а !3.77 и )3.78) /и = — — ', то = — — ', (ч, ! ~', — "' ! Ф,), — ' = )/!', 2ийз 2яйг (х.
— г,! ' 4П кь (2) ! 1 дзы — = — / схр (гм(х„— гь))— )х„- гь! 2из,/ и' и учтя вил волновых функций (!), получаем 1 т„= —, Ро(-а)гг(а). Здесь еР, (а) = (Фмггг! ~ е,схр (-гаг,) = (Фжез ) (3) (4) — электри гсакие формфвкгоры ллн соотаетстеуюшнх переходов х ааставных чаатицах А(В) Такой амплитуде (3) можно сопоставить график-диаграмму Фейнмана, приведенный на рис. !б.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
