Galitskii-2 (1185112), страница 61
Текст из файла (страница 61)
Он наглядно передаю важное свойство амплитуды — сс фактариюганиий вид по отношению к участвуюшим и процессе частицам А и В. На этом рисунке волнистой липин межлу вершинами соеютавхяетси множитель, равный 4зг/Чз, а самим гершииам — формфакторы ерг (Та) (заметим, что изменения нмпульсоп частип А и В в проиессе столкновения маг отличаются знаком).
Отметим ряд саойстп формфактаров. 3) Для точечных (б сструктурнык) частии Р(у) = Я = аопзг, где Яе — заряд частицы. Рг ~ Ргг 2) При О О, рзизашя ехр(-гаг) в яыражении (4) для Р(а) в ряд, замечаем, что отяичен от нуля и рашен при этом Р„„(0) = Я лишь уиругии (без изыенеиия состояния состаииой частицм) форм- фактор, прн ~ем ди» системы с отг~н ~ным от нуля заридалг Яе. Во есех ~л остальных случаях Рг(0) =. 0 (лля заряженной частицы — как следстяие ортагональности волновык функций).
Характер «зануленияг егге(а) формфактора при Ч 0 зависит ог квантоиых чисел — момента и четности — начального и конечного состояний Наиболее медленно, ерг = -т(/(2(з)а сс ч убышет формфактор дхя дипольных (или юг-) переходов. 2(ля переходов с одинаковыми значениями маыснта и четности (напРимеР, лла Я-аастолний) Уже Ри ы ч . по мере Рис гб увсличения разности значений молгентов начального и конечного со. стояний обрашсние формфиктора а нуль при Ч 0 проиаходит есе более резко 'О Оолиавне функции Фжхг састгеиь~х частии анисыеают состояния вхоллмих а иих юстиц тиаси~ельна иситрг масс саатгетствующса системы (ь сгу юс атомов — савпаааюмсга а полажение» нпср). где р = пг„тпв/(ш*+ ша) — приведенная масса частиц А и В.
Ннтегрироеаниге н матричном элементе (2) проаодитсн как по неюписимым внутрснннлы координатам х'„гь (и алучае атома — это координаты всех электронов), так и по радиусу-вектору й относительного движения частиц. Записав в нем х,, = й„+ х'„и гь = йв+ гю воспользовавцись известным разложением в интеграл Фурье кугоновского потенциала 222 Глава 13. Столкнобвнил чослиц Р,-. (Л)= / Ф:~ (г)(!-с '")Фи( )4Р легко вычислить, учтя вид волновых фуькций — см. (!тГ4), если воспользопаться сферичес- кими координатами с полярной осью, направленной нлоль зюктора й: б з.! ч 4т/20з (4 !.
з)з ' ~ зг (О/4 .!. 2)з (5» В случае 2р-состояний улобпо записать угловую частыюлгзоаай функции в аиде ч/3/ля(е(ш)п), тле )в(ш))' = ! (сравнить с 34 ! и 3.42), после чего получвеьг е'(пз) зд Г ( Зг );, е'(гп) й Ри з „- -— — /! ехр с — — — 34гэ гПГ = бч2з 4 /2 ОВ / ( 2 ) (О/4+ дз)з (6) (формфактор отличен от нуля лишь лля состояний с проекцией орбитального момента электрона на направлении вектора й равиой нулю). Перекопа к вычислению сечений сголкнавеиия,заметим, что й = Рз + Рз — 2Рзрг сот В, Рг = Рз — 2Р(е< — аз) Р~ Р1 гле е из > 0 — эиергии связи рассматриввемык систем во и восле столкиовсгзия. Соответствен- но, йй можно заменить иа пйр'/р', и интегрировать па дз в прелелах от 0 ла оз (авилу бмстрой сходимости нэ верхнем проколе, 4'„ш 4Р',).
Заменять нижний прслел интегрирояаиия р(е, — е,)х хз Ои (Р~ Рз) Р! на 0 нельзя, ваш!у возникающей расхолимости, лишь лля таких неупругих столкновеиий, в которых олма из сталкивающихся частиц имеет отличный от нуля зарял и се состояние а процессе столкновении ис изменяется, так что ляя нее Р(0) = В Ф О, а ш~» лругой частицы рассматрилаемый персхол яаяяется липольным, так что еРу ш -Ыцй при д О Элементарное интегрирование приводит к слелуюшим результатам: 4в Г 33гг !) гг(!з!з !з!в) = — / Ри и(д)40 угз / ' " 35(гз' з 4хбт Г 2гтпвз хЯз 2) п(!в 2з) = — / Рй з,(4) 44~ = — Ф 0444 —, угз / ' ' 5 3'зугз ' Рз' с (у) (й) гле (г = р,/р — отиоситсльнап скорость сталкивающихся частиц, Яе — зарял частиззьк сталкивающейся с атолюм водорода Для столкиозюний с перехолом !з 2ргп лля атома водорода полисе сечение, просуммироваинсе по проекциям момента пз (при этом 2'(е(ш)й! = 4 ), улобно вычисяять, и! для атомов я ярнближеии» бесконечная мессы ялрз при д со упругия форифактор у)„р -- й (ои оярелшяегся вкладом исяоззиинеге хара).
3) При 4 со формфактор любой составной системы обращается в нуль"'. Закан убывания формфактора при этом уже существенно зависит от числа частиц в системе и от характера убывания фурье-компоненты потенциала взвимолсйствия. Их физических соображений представлнетсн очевидным, что чем быстрее убывает (г(4) и чем больше частиц в составной системе, тем быстрее убывает и формфактор, сравнить с !3.84. Для рассмятриэаеыых переховов атома эолорола формфакторы б 7. Рассеяние состабньтк частиц. Неулругие столкнобения 223 записав его в виле (и = д', а = 9/4) а(!г 2р) = 283я(-) (-- — / 'ХУ) 'Х 5гбоз / «(и+э)/ г г г 'г = 233Я( — ) —, ~- — т(" )п — т)~ =,е, ~Ш(~бУ ) — — ~, здесь д',„= (гт„— сн)т/У' = 9/64Ут Сумма (3) и (9) изет 2'таЯ» / 255 яЯт / 25Л а(1г- и = 2) = — ()п4У вЂ” — /) ш4,44 — ) ж4У вЂ” — /) 3'гУ' ~, 24/ ' Ут т, 24/ (9) — полное сечение позбужлеиия состояний атома водорода с главным квантоиым числом и = 2 заряженной частицей.
13.81. Рассмотреть столкновение быстрой заряженной частицы с двухатомной молекулой, имеющей собственный дипольный момент г(е и находящейся в основном состоянии; электронный терм молекулы 'Е. Оценить сечения столкновений, сопровождающихся возбуждением различных вращательных н колебательных уровней молекулы; сравнить со случаем столкновений с атомом, см. предыдущую зщачу.
Решение. Как и в предыдущей задаче, сечение столкновения ьюжет быть саязанг с электрическим формфактором молекулы ь еРе,км(4) = (и, Л = ОеКМ) ~ ееч')п,б); тшя начального состояния квантовые числа Л = е = К = М = О, а и характеризует электронное состояние мояекулы. Волновые функции состояггий молекулы с Л = О, вхолпшие и матричный элемент (!), имеют вид Ф к=а,км = Ф,к ь((„К)Ф, (22 — )де)Укм(п) (2) Здесь (, — электронные переменные (координатные и спинопые); К = 2)п = К, — Кт— радиус-вектор относительного положения ядер, их массы — Мьт, а радиусы-векторы в с ц.
и. ьюлекулы: Н, = Мтй/(М, + Мт) и К, = — М,К/(М~ + Мт). Суммирование и (г) ведетса как по электронам молекулы (г„— их радиусы-векторы относительного центра масс люлектлы), так и по ялрам, вклаа которых есть Я,е ""' + Яте 'т"'. Переходи к оценке сечений столкновения заряженной частицы с молекулой 2 Яет т где Яе — заряд частицы, р — приведенная масса ее и молекулы, заметим, что особенно наглядно они мшуг быть получены, если пренебречь изменением состояний вптентг~ых электронов атомов при обраювании молекулы В атом приближении волновая функция электронного герма молекулы Ф,ь ь Ф~(г. Кг)фт(гь — Кз), где Ф,а(гьь) — в.ф атомов, входящих а молекулу, и для формбмктора се получаем Рь- км (еКМ(е шипК(д)+енчмрт(д)))О), (4) где Р, т(д) — формфакторы атомов, входящих в молекулу (включающие и вклааы соответствующих ядер).
Заметим, что при д = О формфактор молекулы, как и любой незаряженной системы, равен нулю (см. обсуждение свойств формфакторов а препылушей залаче). Если впиду мыгости амплитуды колебаний ядер заменить Нщ нх значениями и положении равновесия, то из-за ортогоиальнпсти колебательных в.ф. отличимми от нупя окажутся формфакторы лишь для переходов с е = О (т.е. без изменения колебательногз сосгояния мопекулы). Для таких переходов дифференциальное сечение (Э), просучмироиаг нос по зна- 224 Глава 13. Столкноденил частиц чениям квантовых чисел К.
М конечных состояний молекулы, а нриближенив (4) с учетом условия полноты систсыы шарояых функпий, согласно которому ~((КМ(А(0)( = ~ (0(А'(КМ)(КМ(А(0) = (0)А А(0), клг км принимает аид 2 7ет" г "41",к = ( —,",', / (о!)Р(0)+Рг(4)сч" ('(о), км 2 гг Р.'( пе екч = яоеЯ Ахи~ — ), К Ф1, ~Р)' (5) тле Р— опюсительнаи скорость сталкивающихся частик и Ахм ! лля наиболее существенных переходов Длгг столкновений с возбуждением вращательного уровня с К = 1, связанного с осиовныьг уровнсьг дипольным переходом гг1, при 4 0 имеем (сравнить с предыдущей задачей). дп(0 О!М) 4пб'е'А~ (е(М)В! . (б) 3ассь е (М) — лектор поляризации, определяющий вращательное состояние молекулы с К = ! и спиленный с шаровой функнией соотношением Угм —— ь/3/йя е(м)п, ори этом (е(7 = 1.
Форьгула (б) слелует нз выражений (!) и [3), если учесть, что. !) при д 0 сумьш и (!) принимает пид -щд, где б — оператор дипольного ьючеита молекулы, 2) усреднение 4 по эпектроиноьгу состоянию модскулы с Л = 0 дает И(В)п и 3) при последующеы усреднении но колсбательноьгу состоинию с ч = 0 можно заменить А(В) на 4(Вэ) щ Иэ виилу мы!ости амгглнтуды колебаний ядер (сравнить с !125).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
