Galitskii-2 (1185112), страница 59
Текст из файла (страница 59)
2ьул " т, 4тд!) 2~~ Отсюда, учитывал, что сш < 4кд', и ограничснис на рост рваиусв азаимоасйствия с увеличением энергии, см. предыдущую зала |у, получаем !7(е,О)(<сйту~, (е) ш— Е Еа (2) (Здесь яля мнимой части амплитуаы рассеяния использована огпичсская теорема). Как отмечалось, ограничение (1) предполагает отсутствие неупругих процессов.
Аналогичныьг образолг (с помощью мвтола неоерсделенных множителей Лагранжа) можно получить мснсс жесткое ограничение на амплитуду рассеяния при заданных значениях как полного п,», так и нсупругого л„» ссчсний столкновения 13.75. Показать, что при высоких энергиях имеют место следующие ограничения на производную по В мнимой части амплитуды упругого рассеяния при В = 0: им, 4 — б — —, 1п 1тУ(Е, 9)~ ~ (—, 9 = 2йып Н, 32к 49! Ы гдв ам, — полное сечение столкновения, а 72 — радиус взаимодействия (на расстояниях, превышающнк 72, оно пренебрежимо мало). Проверить выполнение приведенных ограничений для амплитуды дифракционного рассеяния из 13.57 и 13.90. Решение. Так как лая лолиномов Лежандра Р,'(1) м Ц! + 1]/2, то с помогнью разложение амплитуды рассеяния но паршмльныь аолнвм (Х111.9) при аысоких энергиях получаем — 1ту(Е,В) м~ !з1трь (1) я сота 1г а имея а виду, что 1лз рг б 17л, замечасч, что прн заданном полном сечении расссиниа, а сле- доаатсльно, и мнимой части амплитуды расселина 1т 7(Е, О) (ввиду оптической теоремы), величина суммы (1) принимает минимальное значение, если Г 1 !тувы( Л' О, ! < Вт ! >2п.
(2) (374. Найти при больших энергиях ограничение сверху на величину вещественной части амплитуды упругого рассеяния вперед, В = О, считая известным полное сечение столкновения н предполагая, что взаимодействие частиц на расстояниях, превышаю- щих 22, пренебрежимо мало. Каково ограничение на (7(Е, В = 0)(7 5 б. Лналнглпческие сбойсгпдп и унитарность... 215 При этом значение /ч определяется величиноя полного сечения юаимодсдствия 4» В» и — (2! + 1) 1ш ВЧ ш — ~ 1. г.е Заменяя суммироианис по ! интегрированием, получаем Ьг! = ЬЗ»,и/4» и приходим к следующему ограничению: И вЂ” — 1ш/(Е,9 )~ > — Дп,н(Е).
49 ' [..., 128 г Подчеркнем, что соотношения (2) соответствуют насыщению полного сечения рассеяния за счет нкап~их пврииэльных мзлн. При этом»ш = »н (иет неупругих пропессов) и боксе того, дхя ! й /ч все фюы бг = »/2, так что ограничение (3) должно выполнаться с бщ~ьшим запасом. Анввогичным образом замечаем, что максимальное значение сумма ь выражении (1) принимает в случае, когда полное сечение рассеяния насыщается м счет высших парггиаяьных мын н О, ! <Ьз! 1пз рг оз < ! < ое = ЛЛ. д' Теперь прихолим к следующему ограничению (уже сверху): й Ядам, Г ам Ч ЛЛ».и г 1 т (щ/(Е 9) < — [1" — з] <— (4) Лля амплитуды дифракпионного рассеяния на непрозрачной сфере равиуса Л (см. 13.57 и 13.90) ДЕ /ь.еэ = з — /,(ед) 9 отмеченные в условии задачи ограничения, являющиеся нспосредстненнмм следствием соотношений (3) и (4), принимают вид следующего неравенства (после сокращения на Лз/4): !/4 < 1/2 < !.
В закеючение подчеркнем, что, ках отмечалось выше, ограничения (3) и (4) предполагают отсутствие неупругих проиессов. С помощью метода Лагранжа, как и а 13 73, можно получить менее жесткие ограничении прн мданных независнчыч образом значениях как полного, так и нсупругого сечениЯ стоткновения. 13.76. Показать, что амплитуда рассеяния в эйкональном приближении удовлетворяет условию унитарности. Решение. В условних нримеиимости элкональною приближения существенны лишь малые углы рассеяния. В этой области углов прапая часть соотношении (ХП1.26) с у гстом эдконального выражения (ХП1.18) лля амплитуды рассеяния может быть преобразован! к виду — ! 1[8'(Р) — !] [8(р) — !] ехр ( — !ч р) Ютр (1) 2тг,/,/ (для выполнения интегриронания по углам, приводящего к формуле (!), следует воспользоваться соотношениями 1  — Ве р, Я' — Вешв', В'-Вкв' -В, ВП'м — йз9'„! хотя 9», 9' щ Д, но ввиду быстрого убывания подынтегральнод функиии по 9' можно интегрировать а бесконечных пределах).
Теперь, используя для 8(р) пыражение (ХП1.19), замечаем соотношение [В'(Р) — 1] [8(Р) — !] = [! - 8(Р)] - [В'(Р) — 1], так что (!) принимает вид /(в,ве) — /'(Яе,зг), что и доказывает унитарность аьшлитуды рассеяния в эякональном приближении. Отсюда, в частности, согласно оптическоя теореме следует выражение для сечения рассеяния быстрых частик, обсуждавшееся ь 13.51. Глава 13 СтолкноВения костик 216 В 7. Рассеяние составных частиц. Неулругие столкновения 13.77. Показать, что амплитуда упругого рассеяния электрона иа атоме — составной системе — в борновском приближении в пренебрежении обменными эффектами ей сов- падает с амплитудой рассеяния электрона статическим локальным потенциалом У(г), и выяснить его физический смысл.
Сравнить с 13.4-6. Решение. Вэзимодеиствне налетаю»пего электрона с атомом имеет хнд (г, — радиус-векторы атомных электронов) 7е» е» бг(г, (г,)) = — — + ~ )г — г,) Ам»»лигудл упругого рассеяния электрона на атоме в борнохскоч приближении н пренебре- жении обменных»и эффектами, и»раюл»нми рш»ь. аншюгичную попралкач более пысокого пр»»б»»иже»»ия, описылаегсл подобным (ХП1.6) выражениелс /. = — ",,1 ф;((.) -и'(/(., (.))"'ф.((.) г 2лй' ./ (интегрнрохаиис па (, включает и суммирование по снинохыл» Переменным атол»ных элек- тронох) Выполнил и пел» интегрирование но (, и учитыиах, что рю() = / ( — '-~ —,!))ф ((.И'4 (2) определяет среднее значение электростатического потенциала.
создаваемого атомом, замеча- ем, что выражение (!) принимает лид формулы (Х!и 6) ллп амплитуаы рассеяния в борнох- ском прнбли:кении дли локального потенциала Г/(г) = -ерн(г) Приложения се рассмотрены л задачах ! 3 4- ! 3,6. Замечоняе Иметь и хиву, что рассматриваемый пропссс относится к числу происссов с перераспределением честил, см )25), гл. !8. Решение 16м»»льто»»иан слетел»ы (с бесконечно тяжелил» л.»ром-протоном) аписы»гжетси выршксппем 1, » е е е »» » /7ю — (р, +р,) — — — — + —. 2т ' ' г, г» )г, — г»( Прн этол» нроекпин спинок е, ллл квжлого элок»рона сохранлютсл и электроны с е, = +1/2 и е,. = -!/2 можно рхсслю»ривзть кзк различимые честили (антнснимстриэапия золноной функлпи ие отражается нх результатах) Сооимтетяеино, обозначив через е, электрон с з, = -! !/2, а с, — эяектрон с з,.
— 1/2, темечасл», что рассмтривасчь»й процесс е, + (е»р) е» + (е»р), (!) глс симппл (е,р) соотттстпуст атому водорода с электроном е„является проиессом с лгрероглргделелхем частил, и котором начальный и консчнын канллы рсакнии — различные ь»» » 8 уш»алиях нпнчгчч юсти Ег рильского пянбххжхнхх !.ых бмс»рыл настин) пренебрежение ебчеинылп» эфенхтани енрммхнч; ппн .и»н сумсстхгнне, чгп слнипхпе сосгпхихе схобплно ч электрона, кхк и хтнхгхп. ь н»ючсссх сюлхнаххн» нс изтнхемх, сяххнн ь с »3 78. 13.78. Поляризованный электрон с з, = +1/2 сталкивается с атомом водорода, находящимся в основном состоянии, электрон в котором имеет противоположное значение, з, = — 1/2, проекции саина.
Найти в борновском приближении амплитуду и сечение столкновения с епереворатомь спина (т.е. а случае, когда з, = — 1/2 уже у рассеянного электрона, а з, ю + 1/2 у атомного), атом остается в основном состоянии. Сравнить со случаем упругого рассеяния (беэ изменения спинового состояния электронов), см.
13,22. Р 7. Рассеяние состобньт частиц. Неупруэие столкнодения 217 Амплитуль» таких провессов выражаются через матричные элементы оютвстствуюшего Т оператора, который может бьшь записан в дпух различна»х эндах (см., наг ример, главу 18 в (25)). 7 = — — (а(Т(а). 2 "гй» Такое же соотношение справедлива и и ш»учае неупру»их столкновений, если р, ш р», р, ш р». Воспоя»оо»»э!»и»ись выражением (2а), рассчитаем амплитуду процесса (1) в перлом приближении, т.е. ограничиваясь слагаемым у в т» В да»»нем случве у, = -е»1»ч ее»1(г, — г»! и аиплитуда рассл»атриваемого процесса с переворотол»» спиноз электронои принимает внл е» е»1 7»»!» = 3 1фэ(г»)е "' 1 — -)сип Фе(г»)ЕУ» ОР», (3) 2»гй ,7 [(г» г»( г» ~ где р»,, — импульсы пэлаюшего и рассеянного электронои, фе(г) — в.
ф. основного состояния атома нодорода. Воспользовавшись иь»цульсным представлением (ниже используем атомные единицы с = й = и» = 1) У(г) = — = е'" У(к)»4»н г 'Ре(г) = — е ' = — / еш'т»э(н) 4 н, тгк (2х)»ц 1 йб рэ(н) = в(! н»)» У()=— 2»г»н выражение (3) можно преобриовать а зилу — (2»г) ) / ре(Р»+м)ре(Р»+ м) У»г(м) Н м+ рэ(рг) / ро(р» +м) Уэ(м) Д'к). (4) Так как р, » » ! (как необхолимое условие применимости бориоиского приближения), а рэ(р) при р сю убывает быстрее, чем У(р), то замечаем, что ломинируюшую раль в интегралах (4) играют области интегрирования, в которых аргумент олной из волновых функций рэ(й) норялка ! при этоь» в обоих интегралах н ш (рь»! ш р и можно вь»нести из-под интегралов 0(р), после чего они легко вычисляются (сравнить с 4. !7).
Рз(Р»+м) Р„(Р,+м)а'к= /Р,'(м')Ра(д+м')езн'ш / Рэ(м')т, Рз(м'»а'к'= Г и, » 1б = ( е и'1фе( )(»3У = — Ч = р» — Ш (4 + 4»)» т 1 Именно оии !а ис расхоллшисся изи схолхшисся волны' ) э произм»илии с залив*мни фунлпиями связанных сос»синий, ссопнтсгвгюшил сост шиым аст»иач в кэналат, сравнил с вь.ражением (3), фигурируют в матричных злечеитат (Р!Т(п), онро»елхюших ачлл»пулы рсэвпий. ! т, = У,+»л (2и) Š— 11+»О ! Т» = Ул .1- У» 1'ш (26) Е-11+»О где а, 73 нумеруют каналы реакции, У,л описывают в»аимолейтвие раэлешюпц»хсл комплексов — потенциалы взаимодействия — в каждом из них (а — начальный, »3 — конечный каналы, отметим, что хоти Т В 2», тем не менее амплитуды реакции (б(Т » ! а) совналают).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
