Galitskii-2 (1185112), страница 55
Текст из файла (страница 55)
с нв некоторой составной частице), ее следует усрсднить с волновой функцией Фе(а) составной системы, т.с. выполнить интегрирование /Взо)фв(а))т (при этом прелполагастся, что скорости частиц мишсниь малы ло сравнению со скоростью налетаюшей частицы) Подчеркнем шкже, что Фе(а) является в.ф. составной системы я се с. ц, и. (причем нишень как целое считается неподвижной) Далее, поскольку радиусы-векторы частиц мишени были выбраны равными»а/2, то имеется л виду, что у них одинаковые массы (подобная дейтрону составная система). Возникаюшие прн отмеченном усреднении интегралы аыражаштся через формфактор составной системы, равный Я(4) / 1Фе(г)( схр 1 — — вг 1 4 г.
г В результате усреднении выражение (3) принимает вид (/(» йх)) = /~(К вз)л (йх) + /з(» вз)е( йз) + + — / / ~»,х + — )/т(»,— + — ~н(гхх) 4 х . (4) Полное сечение рассеяния на составной системе с помошью оптической теоремы (Х111.11) может быть выражено через амплитуду упругого рассеянна на угол В = 0 (при этом вх = 0), так что 94.
Рассеяние быстрых частиц. Прнбянэсенне зйконала 199 наглядно можно обьяснить как результат ювимного затенения сфер. Читателкг предлагается убедиться в том (ограничиваясь, дяя простоты, случаем оаинакоеых рассеивающих центров), что при 2! 'н о расчет эффекта затенения в рамках классической механики воспроизводит результат (8) данной задачи при условии, ~то ралиусы сфер е выбраны такими, что оаноиснтроаые сечения е, = ет - -»ге . 2 (2) 13.57.
В случае рассеяния быстрых частиц, йВ я» 1, идеально отрюкающей (непроницаемой) сферой радиуса В найти амплитуду и дифференциальное сечение рассеяния под малыми углами, когда )»2(В ( 1, а также полное сечение столкновения. Воспользоваться кввэиклассическим выражением (Х81.13) для фазового сдвига. Решение. для вычисления амплитуды рассеяния быстрых частиц воспользусмсл разложением се по парииальиым волнам (ХП! 9) и квазиклассичсским выражениелг (ХП1.!3) дпя фазовых сдвигов. Так как (Г = 0 яри г > 22, то интегрирование по частям в (ХП1.13) дает ( 1'л 1+ 1(2 à — агссоэ — — й 22» — ! -1. - ! ( /, 2) йд 2) ' 1356.
Обобщить приближение эйконвла на случай обменного взаимодействия, когда (Г»аиф(г) гй (Г(г)ф(-г). Какова связь дифференциальных и полных сечений рассеяния для обменного и обычного потенциалов? Сравнить с рассеянием в борновском приближении, рассмотренным в 13.3. Решение. Имев а вилу вывод выражения дяя амплитуды рассеяния в эйкоиальном приближении лля обычного» потенциала, основанный на испольювании кваэиклассического выражения (Х1П.14) для фазового сдвига и замене суммирование по парииахьнылг волнам интегрированием по прицельному параметру, см (1, б 131), и замечая, что в приближении (ХП1лй) лля обл»еиного потенциала фазовый сдвиг Вл,е„ = (- !)'бь,л„„, (!) легко прийти к следующим результатам.
В области малых углов рассеяния, В ~ 1, в случае обменного потенци ла амплитуаа рассеянна описывастси аналогичной (ХП1.18) Формулой с сол 2б, вместо еп»', т. и Г»е„(Й,В) ю — )) (сов зб(р)- 1~ ехр (-!яр) В р = й т .7»я )) и = -!й( (ссе2б(р) — 1)3т(йрр)рйр, е гае б(р) определяется прежним выражением. Это связано с тем, что появпенис множителя (-1) в формуле (1) не изменяет значения часп! амплитуды рассеяния. связанной с четными, как функциями бг, слагаемыми. »Зля нечетных слагаемых, ы вся 2б, м„, происходит сильная взаимная компенсация вкладов соседних членов суммы по ', и этв часть амплитуды пренебрежимо мала. Заметим, что амплитуда (2) — чисто мнимая и совпаааст с мнимой частью амплитуды рассеяния на обычном потенциале (Г(г).
С учетом оптической теоремы совпадлют и ггол~лые сечения рассеянии (одинаковы и парииальные сечения рассеяния е~) б случае обменнто потенциала амплитуда рассеянна имеет резкий максимум я области углов, близких к в (при рассеянии назад, сравнить с 13.3). Учитывая соотношение дхя гюлиночов Дежандра РДз) = (-1)'Рг( — г), находим Ге„(а,е) ю — )) ни 2б(р) схр (-!»Зр) В р = й / ил 2б(р)3»(йр(я — В))рйр, (3) ГГ т .:«2 )) » ГДЕ ГЛ = 1» + Ке. В Этай Обпаетн УГЛОВ аМПЛИтУДа — ВЕЩЕСтееииаа ФУНКЦИ» И СОЯПаДаст с вещественной частью амплитулы рассеяние на обычном потенциале под углом В' = »г- В ч, 1.
Из повучснных выражений (2) н (3) дяя алгплитуды равенство полных сечений рассеяния на обменном н обычном потенциалах очевиано н беэ приплечения оптической теоремы Глава 13. Столкнабения частиц где Б = йд-1/2 (приохал~ г„= к), а зля значений ( > ь получаем (при зтоы гв — — ((+1/2)/й) б,=б, 1>Е. (2) При ( > Е го ~ные фвзоныс сдвиг и экспоиенциально малы; поэтому квазиклассика, не обеспечивающая такой точности, даст б, .= О Заметим также, что, серо~о говоря, и формулу (1) слсловюю бы нвссги дополнительное слагаелюе ранное -зг/4, имеющее такое жс происхождение, кзк и рассмотренная а 9.2 моаификацня правила кван гаванна (лзл ( < Ь в данной задаче кназикласаика применима, вообще гонора, непасрслствснио вп хоть по точки поворота г = Д).
Ука,кем, наконец, что гюлученные рсзультатьл для б, требуют уточнении при значениях (, близких к Ь, так как и этом случае в окрести!жги точки г = Д квазнклассика неприменилга и условии сшивания решении требуют дополнительного исследования (отлгсченныс обстоательспла нссуплественны юля цшшнейших вычислений). Воспользонавшись соаююшениями (1) и (2), алшлитуду рассеяния удобно записать в виде (З) п(с л = — ~(2(+1)Р(созВ), /, = — ~(2(+1)еьггРДсоьб). Поясним, имея в вилу юшьнейшсе исслсдоиание н ланной и в следующей за ней задачах, смысл используеллого разбиения аллплитуды на лифракционную н квассическую» части.
В области мальлх углон рассеяния (факгически цри значсниах В ~ (АД) '(' к 1) имеем (/»„е ! » (/,1. при этом вклаа в полное сечение этой области составляет ядг Рассеяние нод мюгммн углами и условиях, повобных шиной задаче, называют бчфракииаллын, так как по своей физической приролс оно аналагична дифракции плоскопараллельного пучка света, папвлошего на непрозрачный (отражаюц:ий или поглошающий) Экран — дифрнкяви Фрауигафера [27), слл. также!3.90.
Прн углах рассеянна В » (йД) '(' уже пренебрежимо мала часть амнлюУды /л„е . пРи этом /ы описывает изогРопное РаснРеделснне Рассеянных частиц: бя/бй ы (/,!' ш Д'/4, так что сечение рвсселнип пол такими углами также составллет яй~ (квк и в классической механикс). Полное сечение рассеянии равно 2яД~. Наконец, в области углов В (йД) '(' амвлитуды /„», и /„, одного порядка; иклад в сечение от рассеяния под такими углами пренебрежимо мал по сравнению с яЯ~. Дли достаточно малых углов рассеянна (пока не начинают сказыютьсн осцилляции (юлиномоа Лежандра как функций (; цри В = О они вообще отсутствуют, так как Р(!) = 1) ,Знфракционнаи часть амплитуды рассеяния оказывается далгинируюшей и / ы /„„Е .
Действительно, так как фазоаые сдвиги (!) велики, (б,! » 1, н быстро изменяются, то в сумме дви /, происходит нзанмная комленсация, из-за осцилляций евг', вкладов различных слагаемых. Воспользовавшись соотношением Р~(со!В) ю (с(((+1/2)В) при ( >> 1, В ~ 1 и заменян суыл~иро~ланис н /„»Л» интегрированием по (, получаем (Е ю ЙЯ): /, )/(„1) „И„)В) б(ю(Д 2Д) 2)) В (4) с (здесь испояьзоюна формула / я/е(я) бс = яХ,(п)) Амплитуда диффракционного расссянил — чисто мнииан.
Воспользовавшись оптической теоремой и соотношениелл 2, ю я/2 при я О, находил» полное сечение рассеяния р = 2я(?~, ~ ло н лпа разя превышает класслюеское сечение (сравнить с 13.51) В области палых углов рассеянии днфферениивльное сечение ба/бй = (/„„л (з лги~летел аспид>ярую~глад функцией В, причем расстояние между соселнимн лгвкснмумалли илгеет порялок иеличнны глб 1/йИ Воспользовавшись известныл(н асимптотиками функций Бсссеви, согласно (4) находим г(р»Ф» (((? з( 1 ба Фл 2!?згп (( 'В я/ ) бй гкюл 4 ' бй ~(»лала~ гйВз Наибольшую величину днффереиинальнаа сечение рассеянии имеет в области углов В Ц 1/йЯ и быстро спаласт с рвотам В.
б 4. Рассеяние быстрых частиц. Приближение зйконпла 201 Полное сечение дифракпионного рассеяния 2 с. состаплист половину полного сечения рассеянна; авилу быстрого убмпания 2 одынтсгрзль- ной функции интегрирование распространено ло бесконечности н использовано значение интеграла 13.5Я. То же, что н в предыдущей задаче, но в случае не очень малых углов Рассеяния В Ъ (ЙЛ) 01.
Сравнить с результатом классической механики. Решение Рассмотрим часть 7„, амплитуды рассеяния с У„, = — ~ (21- !)езаР(созВ), б =)сЛ, -з гм бг лаются формулой (1) предыдущей зшлачи Общий подход к эы 2ислению сумм аида (1) в каазиюласси леском случае чможен в [1, 1127[ 1)а повторяя вывода основных формул, укатаем лишь результаты их применения к рассматриеаемому случаю Формула (!27.3) из [1) принимает эил бй НО 1+ 17'2 2згссоз жВ =б, лл 12 12 2 Г В) /„, = -- Л ехр 1 -22ДЛмп — ) 2 ( 2 ~ (2) О Огсюла имеем Л2 ВП "' 4' Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
