Galitskii-2 (1185112), страница 50
Текст из файла (страница 50)
условия (ХП1.7). В этом случае Фаза рассснния в потенциала, прслставлнюшсм супсрпозицию Уг(г) + Уг(г), равна сумма фаз рассеяния для каждого иэ них в отдельности. 3) Обсудим случаИ дальнодсйстоуюшсго кулоновского потенциала, уь = тясз/г. При этом (см (1, $36)) Хи .= — Сг, с ' 'Р(! — +!+1, 2!+2, йггйг/1, б, = агВГ(!+1ж — /1, 1ьг Я~ т! (2йг)' „„.
!. Я Х 1с! / !В Х "' ' о. и (2!+1) (,йов ' ~ ' ~ йов) из Сн — -2й ° (Г(1+1ж —,) ~ = с ( — й,) П ~)(з -1- й, зг злясь й = йов/Я, так что (7) (при ! = О пронзвсдснив эамсняются нл 1). В случае быстрых частил, когда йав гх В (но по-прсжнсму йг, < 1), куюновский потенциал можно рассматривать как возмушснис н из выражснип (5), (7) сладу~от результаты, отмсчснныс выше в 1) и 2). Совсршснно иная ситуация возникаот в случае, когда йаа й Я. Прн этом значсиии С~+,~ сильно отличаются от нсвозмушснного, привсдснного в 1).
В частности, при йав (( В согласно (5) и (7) ллн з-волны получаем: т) Гйбс = бв ' б) /Зба = — с ' 'ба „г г В „, 2яЯ з,гг„„1гг (В) йав йов соотастствснно дяя кулоновского потенциала притяжания и отталкивании. Сушсствсннос нэмснснис величины фазового сдвига — уасзичснис сто а гяЯ/йаа Ъ 1 раз в случае притяжения Инта!рая авось, как и слсдооало ожидать. выражастсв чсрсз алину расссяния с моментом 1 в борновском приближении, см. предыдущую задачу; замсняя сс на точную длину рассснния, прихоаим к нскоиому резуЛьтату; От Ьб) '(й) = — [(2! + 1)н) о!' (5) 181 В 3, Низкознереел)оческов рассеяное и экспанснциальное уменьшение прн отталкивании — имеет очевидную физическую причину в случае мепленных частиц лальнопейстлуюшее ку)юпопскае притяжение (от гщ)ки)ание) сияьно увеличивает (уменыцвет) вероятность нахождения частицы на малых расстояниях Отмеченный эффект проявляется и в изменении сечений неупругих процессов, вызываемых кароткодействуюшим взаимодействием, сопровождающих сталкнощние медленных заряженных частиц.
В заключение отметим, чта проявленное рассмотрение прелполагает, что рассеяние на кораткодействуюшем потенциале носит нсрезонансный характер, т, е в потеь пиале Уз(г) нет «мелкого уровня. При этом а, < гз" и б, щ -а, ли+' <( ! Однако с помощью обсуждавшейся е прелылущей заааче замены длины рассеяния а, выражением (з) (9) формула (5) может быть непосредственно обобщена и на резонансный случаР При этом условием ее применимпсти является малость б)б, « 1 (чта было использована при пре- (Я образованиях выражения (3)).
В связи с этим условием заметим, что для оюэлкинательиого дальнадействуюшего потенциала оно может быть выполнено даже в том случае, когда фаза рассеяния б, на изолированном короткодсйсгвующем потенциале Уз(г) не яелястсл (з) малой 4)); сравнить результат (8 б) теории лазиущелий ла блине рассеянии л)ш отгалкивательноп) кулоновского потенциала с точным выражением для фазового сдви(а из [1, 9138[.
13.38. Как надо модифицировать формулу Резерфорда, чтобы описать дифференциальное сечение рассеяния частиц в кулановскам потенциале, У := жЕе [г, искаженном на малых расстояниях и < гзз Предполагается, что выполняются условия йгз « 1 н Яе) ~ йе. Искажение кулоноескаго поля описывается потенциачом Уз(г), (3) для которого известна длина рассеяния а( 1. Решение.
В условиях рассматриваемой задачи амплитуда рассеяния описывается выражением ге щ ) у = у.м+ у.м) чаи = й ) 2Д Л) пп)(й/2) УЮР ае Это следует из тога, чта мокна ограничиться влиянием кораткодействующсго патснциала Уз(г) лишь на частицы с моментом 1 = 0 (так как йг, (( 1) и рассматривать ктлоновский потенциал как позмущение (авилу Ве» <(йв) При этом согласно прелыдушей задаче фазовый сдвиг в потенциале, представляющем суперпозицию У„м + Уз, равен (приближенно) сумме сдвигов для каждого из потенциалов в отдельности. Отсюда, учитывая их малость, и пРиходим к выраженн)а ()).
Дифференциальное сечение рассеяния описывается выражением )а ('ле 1 ! „,, Веас г (5) +(аь ) (2) ЕП ~ 2та) / з)п '(Е)2) ' ' глез зш )(Е)2) Последнее слашемае здесь отражает интерференцию амплитуд рассеяния для кутановскаго и корсчкодепствую)цещ взаимодействий, Как видно, характер ее зависит ат знака алины (3) рассеяния а( ) 13.39. Иайти длину рассеяния а! с произвольным моментом 1 для следующих потенциалоа: о) непроницаемая сфера радиуса )2; 6) У(г) = -об(т — )2)) б) првмоугольная яма радиуса )2 и глубины Уа. Сравнить со случаем (ш 0 из 13.31. чв При этом я случае большов длины Рассеян ил мажет стать существен пал лсрсиармиравка параметров низказнергстическага рассеяния, см.
ласлылушую зьзачу, а такж«) 342. Глава 13. Столкнобения частиц 182 Решение. Длина рассеиния а, может быть найдена по асимптатике рэлиалыюй волновой функции Ялг(г) для Е = 0: Влг ю г — — ((21 — !)и(21+ 1)!!аг) при г -л оа. 1 1, йа" с!йбг Вы м г' + Вл(гг) —, В, ' = г' '' (21-!)'!(21+ !)н с разложением аффективного радиуса (ХИ1.15). Приведем окончательные результаты. а) для рассеяния на непроницаемой Сфере дтгы (21 — !)п(21+ 1)!! 6) лля рассеяния на 6-яме 2тод аг ш алл != —, ( в 21 — ! ' Лт (2) в) лля рассеяния на прямоугольной потенциальной яме уг тут(Л) 2тУлд' аг= — — а„лп Л= уг и,(Л) " ' ')[ д' (3) Обсудить свойства длины рассеяния а, как функции параметров потенциала (в случаях 6) и е)), во л~ногом аналогичные рвсслготренным в !3.31 ллк з-волны, читателю предлагается самастоятатьно.
Ограничимся лишь зэмс'гвнием. что в момент возникновения связвннога состояния элина рассеяния аг обращается е бесконечность. !3.40. Оценить значение синглетной (с суммарным электронным спинам 5 = О) длины з-рассеяния ае(1) электрона на невозбужденном атоме водорода, учитывая существование слабосвязанного состояния — иона Н вЂ” с энергией связи еа = 0,754 эВ = 0,0277 а.е. и а) пренебрегая конечностью размера атома водорода и области взаимодействия внешнего электрона с атомом; б) рассматривая внешний электрон как слабосвязанный в потенциале конечного радиуса н используя длв него значение Сзе = 2,65 асимптотического коэффициента (см. 11.3Б). Сравнить с результатом вариационного расчета: ае(1) = 5,97 а. е. Решение а) В приближении, соответствующем рассмотрению внешнего электрона как на- халяюегосн в патенцивяе нулевого радиуса, иыеслл (сч.
13 20 н 4 1О): ал = ка ' -- (2сл) ' ' = 4,25 — 01 (а атомных единицах). 6) Рассматривая внешний электрон иана как слабосвязанный в потенциале канечнога ралнуса г„прежае всего воспользуемся связью эффективного радиуса взаилкаействия гл с асиллптотическил~ коэффициентом (см. [1, 5133)). С„л — 1 т Это следует, наорилюр, из сопоствгшенилг выражения лля в ф я шлучае чеяпенных частиц на расстоинилм и чс г и".
1/л (ель [1, Б 132[, 6 — ралиус потенциала) 183 О 3. Нозкознерзелгонеское рассеяное ТепеРь, имея в виду разложение эффективного радиуса (Х18,15) н та обстоятельство, что амплитуда рассеяния каК функция энергии имеет полюс при Е = -га (при этом в полюсе Л с!в ба = тй = -«ь), нвхаднм 2С„'в (2) ха(1+ ~ в) Квк винно, поправка на эффективный рвлиус существенна сказывавтся на значении ллины рассеяния. Эта связана с тем, что в данном случае «вг, ы О б не так уже н мала.
В связи с этим отметим роль следующего, ас Л', члена в правой части разложения эффективного радиуса (Х11!.15) Его обычно записывают как ""ол (3) где Р— так называемый ларамемр ферми. Как правило, числовое значение э-ога параметра мшга, (Р) й 0,1, см. (23). С учетом этоса замечания слелуат ажилать, что гмличина длины Рассеяния (2) определена с точностью порядка нескольких лрацзнтав. 13.41. Для протон-нейтронной системы оценить значение триплетной длины з-рассеяния аа(3), учитывая существование в такой системе слабосвязанного состояния— дейтронв — с энергией связи ев ы 2,23 МэВ.
Сравнить с экспериментальным значением аа(3) = 5,39. 10 '2 см. Решение. В пренебрежении эффактивным радиусом взаимодействия / л2;!72 ав(3)=кь'= ~ — ) =4,3 Ю '2см, 2ргь где Р м гпг)2 — пРиведвннаа масса Рл-системм. Так как РаанУс лействиа ЯдсРных сил г, Ю " см, та квг, 0,3. Такую же точность, - 20 55. имеет полученный резУльтат (1). Учет алащемага с эффективным рааиусам в разложении (Х111.15) воспроизводит экспериментальное значеиие триплетной длины рассеяния, сравнить с предыдуагеп задачей. 13.42. а) Используя экспериментальное значение синглетной длины рассеяния аа(1) = -23,7. 10 '2 см для протон-нейтронной системы, оценить энергию мелкого виртуального уровнямг в такой системе в состоянии с Я = О и 1 = О. б) Для протон-протонной системы аа(1) = -7,77 10 '2 см. Не противоречит ли такое существенное различие длин рассеяния для рп- и рр-систем изотопической инвариантности ядерного взаимодействия7 В связи с этим приведем значения эффективных радиусов взаимодействия га(1), равные 2,67 10 'з см и 2,77 10 '7 см соответственно для рп- и рр-систем.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
