Galitskii-2 (1185112), страница 45
Текст из файла (страница 45)
б) Полставляя [йбь(й)) =- 2пй/(1+!Зй')' в формулу (3) н вычисляя интеграл с поношью вычетов, находим 2ой' ! 2г 1 У(г) = — схрс- — [ Ш Уье ' ". (6) - т (,л]'- Заметим, что Условие )бь(й)1 <! пРсдползгвет, что ]С! б 1 и ]о! С Д; пРи этом найленные потенциалы (5), (6), как и слсловаяо ожидать, удовлетворяют условию применимости, первому из (Х111.7). борнозского приближения при любой энергии. д 2. Взазодая теория рассеяния 163 (2) /(й,р) = — ~ (е — г)с' г. ь ьь2ха Заметим, что фазовый сленг б не зависит от знака гп Согласно формуле (5) полное ссчсннс рассеяния равно 4 ьг = /' (/(' бр = — ~, ми 'б, й е а оптическая теорема в двумерном случае гласит (6) гт/(й,а=о) = / — а(В) бл (7) зьь нори проточные множитель а зтов функони и фаза в выбраны такнч обраюч, что прн б = 0 синит отнка (4) совладает с асннптотнкол функции Бесселя — ршнальнон функции свободного лаижениа га 13.23.
Развить Фазоеую теорию рассеяния в случае двумерного движения частицы в аксиально-симметричном потенциала (/(р). Каково обобщение оптической теоремы на эгог случай? Решение. Фазовую теорию рассеяния а двумерном случае можно разнить в полной аналогии со случаем центрального палл, рассмотренным в (И б!23) Имея в виду содержание этого параграфа, укажем изменения, которые следует внести в соответствующие формулы для обобщения их на рассматриваемый случай. Гамильтоггиан плоского движения а аксиаяьно симметричном поле имеет аиа йт / ! В д ! Вь '3 Й = — — ( - — р — + — — г) +(г(р), (г) гр (,р др др р дрг/ а интересуюшее нас решение уравнения Шредингера имеет асимптотнку ььь ьг /(й р) иь фь'(р) - с'ь + чг — ' е' ', р оо /р (поток частиц падает а напраьиснии оси е, прн агом е = рсшр).
Заметим, что теперь расходшцансл волив — лилинлричсская (а не сферическая), и поэтому нместо Г/и аоняллет- ся !/ /р. Далее, я двумерном случае амплитупа рассеяния /(й, р) имеет размерность корня из длины, а дифференциальное сечение рассеяния ба/Ар = (/(т — размернзсть ллинм Наконец, фазовый множитель чьь паслен лля удобства. Так как оператор Т, = -т д/др коммугируст как с гамильтонианом свободного движения, так и с гвмильтонианом (1), то плоскую двумерную волну и точную в.ф. ф (р) удобна разложить пас.ф ф = с'"" этого оператора (аналогично разложению по шаровым функциям в случае центрального потенциала)г х е'"ь'иг = чг А Эь Дар)еше, фь+ = ~ В„Яь„(р)е™.
(3) Здесь учтено, что радиальная функция свободного лвижснин с ьмаментом» гп выражается через функцию Бесселя 3, ь(йр), лри этом коэффициенты разложения А = ь' ', см. (33, с. 987]. Значения коэффициентов В определяются из усяовии, что разность фь — е'ь* содержит на больших расстояниях лишь расходящиеся, и с'ьь, волны лля квждого члена суммы по и. Записав асимптотику радиальной функции в аиде"' Гг Яь (р) = — вп (йр — — + — -ьб ), (4) ')Г яйр (, 2 4 находим В„х с' "А В результате для амплитуды рассеяния получасы искомое разложение ь по парциальным волнам Глава 13.
Столкновения частиц (при Этом сушестпенпым является отмеченное выше вмдслеиие множителя чгт в выраже- нии (2); в борковском приближении вля двумерного случае, когда !5„1 < 1, так введсннан амплитуда согласно (5) оказыааетсн вешественной). Указание. Ограничиться предельным случаем а О, но конечной величины Фе патока магнитного поля. При этом векторный потенциал удобно выбрать в виде Аг = Фе/2яр, А, = Аг = О. Отметим, что Рассеанис под малыми Углами иным способом РассмстРено в!1,5131).
Решение. Гамильтониан поперечного днижснив заряженной частицы в магнитном палс /бх = (р — сА/с) /2Р длн рассматриваемого случая а полярных координат принимает вив йз / ! О О 1 ( з О От 2 ) Й = — ) — — — р — + —,!лз ь21л — — —,11!1, (1) 2~), д бр ~ф~ где Л = ефв/2кбс. Так как оператор Йх коммутирует с 1„то развитав в прсдыдушсй задаче фазоввя теория рассенннн дян двумерного случая применима и а данной; теперь, однако, фазовый сдвиг б зависит от знака пз, Радиальные функции в рассматриваемой задаче, как и а случае своболного дпижсния, выражаются через функции Бсссел» б„(вр), но уже с индексом и = 1гп — Л1.
Используя их всимптотнку, находим би = — — ((гп — Л( (т)). При этом амплитуда рассеяния (см. формулу (5) из предыдушсй задачи) оказывается равной х /(й, Зз) = — ) (е'*! '" !' — 1) е'"". т т/2вй (2) Обозначив через ше минимальное из значений гп, которые еше больше Л, и разбив сумму на дас: со значениями т ) пгв и с гп ц те — 1, соответственно, находим значения последних (представляющих суммы геометрических прогрессий), что позволяет получить замкнугыс выражения для амплитуды и дифференциального сечения рассеяния; ехр (т(те — 1/2)Р) пп яЛ би згп з(ефе/2йе) к Р х/2яя пп (Р/2) ' бэг 2вй х!п з(Р/2) г-е Интересной особенностью полученного результата является бесконечное значение полного сечения рассеянии, т.е.
рассеянна частиц происхолит даже при сколь угодно болыцом прицельном параметре. С точки зрения классической теории это обстоятельство представляется уаипительиым' магнитное поле н сила лоренца отличны от нуля лишь нз аси и поэтому вообще нс оказывают никакого влияния на движение частиц! Дело в том, что этот эфбзект Ааролоеа-бама является чисто квантовым и исчезает при переходе к классической механикс при Д О также й ' = Ь/р О и расссннис действительно отсутствует. В квантовой механикс взаимодействие заряженной частицм с магнитным полем характеризуется векторным оотенциыюм; именно он входит в гамильтониаи !э'.
В данной задаче, несмотря на то, что ане осн М' = О, векторный потенциал никаким калибровочным преобразованием не может быть обрашен в нуль (у Аб! = Фв), а сто меаленнае, ы 1/р, убывание на больших расстояниях объясняет бесконечность сечснив рассеяния !!1 Свсбояиае лвнжсннс вдоль полн не преаставляст интереса Отметин, по прн расписывании гечнльтаннвиа учтен внл взниэчвльноа «омпанснты Пзшнснта Ог В/яда !!1 См всаюн с этим интересное обсужаснне запроса а реюьнастн векторного пстснанала в Фсямаиовскнх лекннхх ло Физике», т.б, гх 15. 13.24. Используя фазовую теорию рассеяния, найти амплитуду и дифференциаль- ное сечение рассеяния заряженных частиц в аксиально-симметричном магнитном поле йе (Р), направленном вдоль оси л и локализованном на малых расстояниях р < о около этой оси.
О 2. Фазобоя теория рассеяния !65 13,25. Найти энергетическую зависимость фазовых сдвигов бл(й) с фиксированным значением 1 прн й -л со. Рассмотреть случаи потенциалов, имеюц(их на малых расстоянияхг — лбвидУша/г'со) и<1; 6) 1<и<2; д) иш1. Решение.
При больших энергиях применимо, вообще говоря, барновскас приближение и лля фазовых сдвигов можно воспользоваться выражением (Х1Н 12). В нем при й оо во всей области интегрирования, исключая узкую область малых значений г, аргумент функции Бесселя з = йг» 1. Воспольэоваишнсь известной асимптотикой /я(с), получаем 2гп / -л б,(й) = - — / У(г)зш '(йг — — ) бгы — — / У(г)бгый л'й / 2 ) йгй / е е (быстро осциллируюший множитель зш!(а — я!/2) заменен его среднич значением, равным !/2). Этот результат справедлив в случае а), когда гУ(г) О при г О.
Для более сингулярных прн г О потенциалов формула (1) неприменима ввиду расходимости а ней интеграла Тикая расхолимость означает, чта теперь область малых г играет доминирующую роль и в ней нельзя заменять .7л(з) сс всимптотикой. Разбив область интегрирования по г в выражении (Х)П.!2) на две, от г = О до некоторого малого, но конечнога Д и от г = Д до бесконечности, замечаем, что вклдд второго из этих интегралов в значение б,, как и в (1), пропорционален й ~, Доминирующим жс является вклаа первого из интегралов, в катаром можно положить (/ = а/г" и, сделав подстановку а = йг, получить тгпла „г / /ллцз(з)ба гппа Г(и — 1)Г(!+(3 — л)/2) йт ./ х" ' йт 2" грг(и/2)Г(1+ (и+ 1)/2) (2) ! <и<2.
Здесь лля указанных значений тз1 и верхний предел интегрирования, равный й22, при й са заменен на са. Прн и = 1 такая замена нс оправдана ввиду расходимосги интеграла (на верхнем пределе). Воспольэояавшись асимптотнкой Ул(з) при з оо, легко вычислить сто расходящуюся часть н получить ша бл ш - — 1п йд, и = 1 й'й (3) (зта формула имеет логарифмическую глачпагмь в соотеегствии с неопределенностью а значении 32). Отметим, что устанашснная различная зависимость от значения и закала убывания б (й) при й сю отражается на рассеянии частиц с большим изменением их импульса Это связано с тем, чта /а ы (7(б) при больших значениях б определяется особенностями шзтенциала У(г) как функции г. Для сингуллярных прн г О потенциалов У ма/г" имеем !/ые Эы й" ' при 4 оэ.
На величину жс полного сечения рассеяния, а ы 1/Л, определлсмого моментами ! й/2» 1, такое различие а энергетической зависимости фаз с фиксироеанньлм зиачеллнел~! не влияет. Решение В выражении (Х1Н.!2) при значениях 1 - йД '» ! (Д вЂ” радиус потснинала) разобьем область интегрированна на дае от г = О ло г = ге ш (! + 1/2)/й и от г = ге до г = оо. Во втором нз получающихся интегралов воспользуемся лрибгизеегьгем юаигеигами гг! Прн и = 2 независимость феюгапл спек м ат й инсст места прн любых значениях а н ! лаже когда борковское приближение непрчнеична, см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
