Galitskii-2 (1185112), страница 40
Текст из файла (страница 40)
и ! В Усповикх еУгпсствопани» меккою УРоена с ! и' О жзбгектнеимй РппнУс гг < О, так что, как н сисдуст, Вл,рд > О, см !244 1АЗ СтолкноВения часглиц Воспользовавшись оптической теоремой, получаем согласно (Х1П.18) полное сече- ние рассеянии" а(В) = 2 э( (1 — сох 2 б(р)) г! р. В случае центрального потенциала выражение (Х1 П. !9) для б(р) совпадает с квази- классическим (Х!1!.14) при ! га йр » 1, а (Х|П.18) можно записать также в виде со /(й, В) м т!с (/(1 — е™) Уо(йрб)р г!р, (Х|11.2 !) о (Х1! 1.
20) где .7о(л) — функция Бесселя. 5) При столкновении частиц с отличными от нули спинами и с зависящим от спина взаимодействием амплитуда рассеяния является уже матрицей / — опеРатоРом в пРостРанстве спиновых состолний. Ее матРичные элементы Хг/Хт опРедеяяют амплитуду рассеяния из начального спинового состояния, описываемого спинозой функцией Х„в конечное состояние, описываемое функцией ХР При рассевнии частицы со спинам в = 1/2 на бесспиновой частице и при сохраняющем четность взаимодействии" / = А(й, В) + |В(й, В) и д, и = —.
(вой) |(йой)!' Дифференциальное сечение рассеянна, просуммированное по различным спиновым состояниям рассеянной частицы — = !А!т+ (В[~ ч-2 1гп (АВ')иРо, АП (Х1! 1.23) где Ро = 2Х,'ЗХ, — вектор поляризации частиц в начальнол| (до столкновения) состоянии. Поляризационное состояние рассеянных частиц зависит как от взаимо- действия в системе, так и от начальной поляризации Ро. Если до столкновения частицы были не поляризованы, Ро = О, то после рассеяния вектор поляризации 21|и (АВ)' (Х|11.24) !А!т + !В!т Приведем также разложение амплитуды (Х111,22) по парцнальным волнам. 1 А = — ~ [(! + ! ) (ехр (2т б, ) — 1) Ч- 1(ехр (2в б, ) — ! ) ) Рг(соз О), | о со В= — ~ ~(ехр(2тбв) — ехр(2|б, )) з!пВР,'(созВ), 2сй , , (Х|! !.25) е|дпи сппввслвивосги этого соотиошсиии досгвтоеио выпптисиии пггмь оспою условии.
Ьд Ю |, с . |Збк т| Обрвювем виимвиие ив выделение перед В миожитсви т по срввисиию с формулой (|СОВ) иэ (|!. (лриблилсетгие зйкоилли). Здесь йь — составляющая 4 в направлении, перпендикулярном импульсу ййо падающих частиц (при атом Од ш В = йб, В|! ю йбт/2), а б(р) м е ' !л|, б(р) м — — / !У(р, з) т!з. (ХП1.19) гйв / оь Глава 13. Столкнобения чистик ~(Е,О) = У (0) ч- ~ ~— + — / ЛЕ'. д„! Г ! гп ЦЕ', 0) о (Х111.27) Здесь уа(0) — борновская амплитуда, см, (Х(Н.6); суммирование ведется по всем уровням дискретного спектра, сушествуюшим в потенциале, при этом вычет в соот- ветствующем полюсе Д'А' дн = -(-1) "(21 + 1)— (Х111.28) 2пз определяется нормировочным коэффициентом в асимптотике на больших расстояниях радиальной функции связанного состояния, тЕ = А„ехр(-к„т), с моментом 1„, сравнить с (Х1.5).
$ 'т. Бериевское приближение 13. 1. Найти в борновском приближении амплитуду рассеяния н полное сечение рассеяния частиц в указанных ниже поляк и) У(т) = — е 'т"; б) ы(т) = об(т — Я); В) У(т) = Г)тое Нл; т д) (У(т) = — з, д) (7(т) = (1 ' > ' е) У(т) = Усе 'гл. Исследовать предельные случаи медленных и быстрых частиц. Указать условна применимости результатоа. Решение Вычисления аыплитулы рассеяния в борновскон приближении по формулам (Х1!1.
6, 8) н полного ссчсннв рассеяния согласно в д)ь) нд) (е)=~!71'дг)юг /!У!'з еде= — '" 21 У'(е?де' гпвб с с (е = 2е зю (е(2?? приводят к следующим рсзультвтвл). в) Оно нюнсн» спсдстпнсн умны упытв З-мшнувчы Техов жс вчд высот усвоено уннтврностн н ьын рвссснннн состввных чвстнн, но пншь прн таких знвчснннх внсргнн, прн которых невозможны нсупругнс прпчсссы (.учту ас умвмаувсспн? в) Онв нысст спсдуюшнс осоеыс точхн В = Е н Д .= со — точки вствпсннн н полюсы Д„нв всшсстмнноя попуосн В < в. совпвдвюшнс с подожсннс» дискретных уповнсд чвстнпы. здесь бс — фазовые сдвиги (в радиальных волновых функцнвх) для состояний с определенными значениями орбитального момента! и полного момента г ш 1ж1/2.
6) Амплитуды процессов столкновения обладают определенными аласишичесхими и унитирныии свойствами. В частности для амплитуды рассеяния в гютенциале У(г) справедливо условие унитарности'>: У(й !о? — У'(йо, )с) = — / У(8', !(о)у'(й', й) И' (ХП(26) (при й = йд оно воспроизводит оптическую теорему). Отражением аналитических свойств амплитуд являются дислерсиоиные саотиощения длн них. Наиболее простыми аналитическими свойствами обладает амплитуда рассеяния на угол В = 0 в центральном потенциале, рассматриваемая как функция энергии" в комплексной плоскости Е. Она удовлетворяет (на физическом листе) дисперсионному соотношению вида б 1. Борнобское лриблизкение 2шоЯ' /гпоЯ''3 ' а) /=— г(Е) = 161г~ — /1 «2У+ 2В2)' ( «2 ) 1+4«2В2 (2) ,/г.алгтат 2птоЯ2 пп 9Я 42ппотЯ2 Г пи га (3) Л,Я '"-, Е а В предельных случаях отсюда имеем: 1бгг(гггоя1)2 гггпо!В2 бщЕВ2 а(Е) ы 4, и(Е) ш — !ив а-а Лг в» «2Е «2 (при е со инте1раа и (3) расхшгится; лля аычисления его расходншейся части следует заменить осциллируюший множитель з1п те средним значением, равным 1/2).
4пгУадз бхтЯ4У42 ( 1 е) /=-, дг(1 ! 92Я2)2 3112Е ( (1 1 8щЕЯ2/«2)2~' гтогп ато 2) /=— (5) Л 9 2« 12 згп (В/2) Полное сечение рассснния бесконечно, что связано с дгютаточно меааснным убыванием потенциата на больших расстояниях; о рассеянии на потенциале У = о/г см. 13.19 2шУаЯ / зю 9В 1 д) /=, (созбЯ- — ), «2, 9В (6) В предельных случаях имеем (4) !6:гттУ42Я4 а-а 9«' (случай Е со см. также в 13.2). 2 2 2 Ф е) /=- УегпУаЯ -,га'14 т 222Уад -4 лаггаг е ', е(Е)= (1 — е ).
(2) 2«2 4Л2Е Ввиду экспоненциального убывания /(9) борковское приближенна неприменимо при достаточно богнших значениях 42 (см. 13.!3) саогешстаенио и учет е выражении шга а(Е) при больших значениях Е эксноненниально чалого слагаемого является превышением точности гггпУа'Я4 е Л Е 13.2. Показать, что при больших энергиях частицы, «Я дг 1, полное сечение рассея- ния в потенциале У(г) в борновском приближении описывается выражением "1 02 42 2 о(Е) ю —, ~~~~ // У(р, а) 6 ] йзр (импульс частицы до рассеяния направлен вдоль оси л; р — двумерный радиус-вектор в перпендикулярной ей плоскости). '41 В связи с данное зааачеп сн также 13 14, 13.51, 13 52 При конечном значении В сечение рассеяния имеет также конечную величину.
Однако при В -г оо рассматриваемый короткодействуюший потенциал Юкавы переходит а дэльнолейстеуюший кулоновский потенциал У м о/г. При этом дифференциальное сечение де/бй = лштог/«~94 описываетс» формулой Резерфорда, а полное сечение расссинин— бесконечно. 14б Глава 13. Стоякнобения частиц йх й(й) ю(Г(да) =Яс и'аУ(р,а) ба И'р.
(3) Далее, величина «~еп (ип — элемент телесного угла, заключающий направления нмпульсоа расссн нных частиц) представляет элемент площапи сферы рапиуса «. Часть сферы вблизи полярной оси, направленной вдоль 1ц, можно рассматривать как плоскую поверхность, перпендикулярную «а, и поэтому «тбй = ВЯ = еда,идат = б д . Соотвстстнснно тг и(В)=~)ув(тбПщ . а а О~Я(й,))' тд,. Воспользовавшись здесь пыражснисм (3), нмссм с(Ж) = — Ц~ )Це 'аза(1(р,а)иа б~р) ) оси'~(Г(Р,а ) Еа'б~р~б да.
После вьцюлнсния интсг1знровання по йа / схр (-ада(Р Р)) б да = (2я) б(р - Р') (4) бпаголаря б-функггии сразу можно проиггтегриропать по р' и получить асимптотическое гюасденнс сечения расссання 3 (В)= —,Ц[~(г(р,.) .] б' . н аряаюугольной ямы (барьера) по этой формчлс Длн петен циалоа (Г = (Га ехр (-г /Я ) получаем зт(Гад(а '(г) = 4«~Е соотастствснно, сравнить с !3.1д, а. (Ге!на и с(В) =— ЛзЮ Применить полученный результат к полю (3(т) ю ьуа ехр (-с!Гааз) и к прямоугольной потенциальной яме (барьеру) глубиной (Га н радиусом Я; сравнить с 13.1. Показать также, что в этом случае транспортное сечение рассеяния имеет асимптотическое поведение гги = /(! — сов В) г(а — О ~ / — — бз~ г( р.
(2) -ы указать условия применимости полученных результатов, Решение. 1) В бериевском ариближснин амплитуда рассеяния Ге(д), см (ХП!.6), как и фурье-компонента потенциата (Г(д), Гв(д) = — —, (Г(д), (Г(д) = ~ е '"П(г) ЕР 2абз существенно отлична от нуля лишь при дй < ! ( — ралиус потенциала), так как при дЯ."э ! интеграл мал из-за бысгрых осцнлляций подынтсгральной функции, авязаннмх с множителем с 'ч, Так как дз = 2«з(! — созе), то из условий «В Ъ ! и д)2 < ! следует известный факт, что рассеяние быстрых частиц происходит в основном под маяымн углами В !1«22 « 1, при Этом д ю «д Я ' Дла дальнейгпнх прсобразоюний разложим вектор д на две составляющие: д = д! + да, где д вектор Еа напрашюн вдоль Ва (импульса частицы до рассеяния), а да 3. Ма, рис.д.
При В « ! имеем 1 1г д„= «(! — а В) ю - «В', д, = «вп В = «В, 2 Рис. 9 так что да Ъ да. Прн этом д ю да и 1 1. Борнобсхое приближение 142 ии(В) = /(1 — созе) Ии» ~~В»)У(й»)) 4 В». (5) Теперь вместо (4) появляегся интеграл нида / у~с" чг 4 д -(2я)~х»»6(р) После несложных преобразований в (5) для случая центрыьного потснциата получаем искомую асимптотику - '.= й/И-'Г")" Это выражение нс содержит постоянной Планка и аовпалаег с ач длн быстрых частиц, Е )) У, в класаичсскоя механикс, сслн при вычислении транспортного сечения ии и,(Е) = / (! — са»В(р)) 2арирт» /В~(р)рдр О » воспет»ыоваться известной 4юрмулой для расасяния под малыми углами, см. (26, $20).
Совпадение результата Варнавского приближения с класаичсаким, на первый взгляд, может показаться удивительным. На аамом леле ничею удивительного в этом нет, так как такой жс результат следует и нз квазикласаического зйкональнопз приближения (Х111 18), сравнить со случаем формулы Резерфорда. Условие применимости формулы (2) предполагает, что дифференциальное сечение рассснния при больших исреланных импульсах убыеаег бмсгрсс, чем ск д э, и верхний предел интегрнроваиин по В» можно положить равным бесконечности 13.3. Получить выражение для амплитуды рассеяния частиц в борновском прибли- жении в алучае потенциала, имеющего обменный характер'", так что У,г„ф(г) гд У(»')Ф(-г).
Как амплитуда рассевния в этом случае связана с амплитудой рассеяния на обыч- ном потенциале У(г)? Каково угловое распределение при рассеянии быстрых частиц? Решение. Заманив в формулах (Х1!.4, 5) УФ» на Уы Ф», Ф„+(г) на е'"' и учти вид оператора У,»„, находим Умз„(й„й) =Уыв„(ту) = — — ) с ' У(г)ВР, =, „,,/' (!) засаь Ь = и Е й», при этом Ь' = 2й(1 -и соз В) . Таким образом, Ла„(Е,В) = 1 (Е,х — В), где )в(Е, В) — амплитула рассеяния обычным центральным потенциалом У(г).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
